IV.4 Divers dessins

IV.4.1 Dessins esthétiques

Le plus célèbre est sans conteste le bonhomme dont il existe deux variantes : un dessin propre de degré 14 et un dessin de degré 8 (le petit bonhomme de la figure II.5).

Les 10 dessins de même valence que le bonhomme de degré 14 sont conjugués, ils sont définis sur un corps de discriminant d(K) = 2⁸3⁵5²7¹11²13⁸,    P = 1323 x¹⁰ - 119826 x⁹ + 6988572 x⁸ - 222996780 x⁷ + 4891137480 x⁶ - 43596377072 x⁵ + 170896287880 x⁴ - 348444339716 x³ + 374432911288 x² - 155498695280 x + 25675962256 (voir aussi le polynôme unitaire de [37, p76]).

IV.4.2 Distance entre sommets adjacents 

Les familles d'arbres ci-dessous montrent la ressemblance géométrique entre des dessins ayant une ressemblance combinatoire.

 
Figure IV.2: Familles d'arbres

Les deux dessins ci-desssous (vrai et faux extraterrestre) sont presque superposables. Leur structure combinatoire est en effet assez proche, mais leurs propriétés algébriques sont radicalement différentes. Ce type de ressemblance reste mystérieux.

 
Figure IV.3: Mélange du vrai et du faux extraterrestre.

IV.4.3 Exemple résistant à la résolution formelle  

L'exemple ci-dessous (figure IV.4) que j'appelle le Bouddha (voir aussi figure I.2), m'a été fourni par N. Magot. Il se résout très simplement en quatre étapes. Je calcule un dessin de valences [3 1 4²; 4³; 2⁵ 1²] plutôt que le dessin de valences [1 3 4²; 4³; 2⁵ 1²] (remarquer le changement du choix de la face à l'infini) pour une meilleure stabilité numérique.

Le système III.3 résiste à une résolution par bases de Gröbner car la variété a des composantes parasites.

 
Figure IV.4: Bouddha : les quatre étapes du calcul.

Son corps des modules est défini par x⁴ - 2x³ - 2x + 1, il est de discriminant -2⁶3³ (remarquer que ce corps de degré 4, qui est aussi Q(⁴12), n'est pas dans la liste de Malle [30]).