IV.3 Les arbres en Y

IV.3.1 Classification

a. Énumération

On étudie la famille des arbres ayant un unique sommet de valence 3, tous les autres étant de valence 1 ou 2. Si les branches de l'arbre ont pour longueurs a,b,c, Pakovitch [36, chap. 2] les note Y_a,b,c. Nous les appelons arbres en Y ou Y-arbres.

Comme pour tous les arbres, nous séparons les sommets des arbres en Y en deux types et . Les types des trois sommets de valence 1 forment un invariant Galoisien qui détermine quatre familles d'arbres en Y. Nous supposons que le sommet de valence 3 est de type et nous comptons le nombres d'arbres de chaque type avec la formule du paragraphe II.3.4. Ici, k est un entier naturel quelconque.

[Type A] Extrémités de types , , .
Il y a n_A(k) = (k+1)(k+2) / 6 dessins de type [3+2k; 3 2^k; 2^k 1³].
[Type B] Extrémités de types , , .
Il y a n_B(k) = (k+1)(k+2) / 2 dessins de type [4+2k; 3 2^k 1; 2^k+1 1²].
[Type C] Extrémités de types , , .
Il y a n_C(k) = (k+1)(k+2) / 2 dessins de type [5+2k; 3 2^k 1²; 2^k+2 1].
[Type D] Extrémités de types , , .
Il y a n_D(k) = (k+1)(k+2) / 6 dessins de type [6+2k; 3 2^k 1³; 2^k+3].

On remarque que si k est un multiple de 3, les nombres n_A(k) et n_D(k) ne sont pas entiers. La valeur 1/3 correspond à l'arbre dont les trois branches sont de longueurs égales ((2k+6)/3 ou (2k+3)/3), qui admet un automorphisme d'ordre 3 (la rotation d'un tiers de tour).

b. Action de Galois

Voici ce qu'on peut conjecturer sur les orbites sous l'action de Galois. La preuve de la dernière conjecture est immédiate, car les branches des Y-arbres de type D sont de longueur paire. Ces conjectures font que les Y-arbres de type B ou C sont de bons candidats pour avoir des corps des modules de degré assez élevé, ce qui permet de tester nos algorithmes.

Les Y-arbres de type A sont les conjugués des Y_1,1,2k+1 et les multiples impairs de ces arbres (cette conjecture est vérifiée pour k < 13).
Les Y-arbres de type B sont les conjugués des Y_1,1,2k+2 et les multiples impairs de ces arbres (cette conjecture est vérifiée pour k < 11).
Les Y-arbres de type C sont les conjugués des Y_2,2,2k+1 et les multiples impairs de ces arbres (cette conjecture est vérifiée pour k < 10).
Les Y-arbres de type D sont les doubles (au sens du § II.3.3.c.) d'un autre Y-arbre de degré moitié.

Nous appelons donc Y-arbre irréductible un arbre Y_1,1,N-2 ou un arbre Y_2,2,2k+1. Nous vérifions notre conjecture en calculant le degré des corps des modules des Y-arbres irréductibles.

IV.3.2 Résultats

a. Description des tables

La première table donne, pour les Y-arbres de type B, les temps et mémoire utilisés pour le calcul d'un polynôme P définissant le corps des modules. On voit que la méthode numérique est au moins aussi performante qu'une utilisation classique de bases de Gröbner.

Une seconde table donne, pour les Y-arbres de type A, B ou C la longueur des orbites galoisiennes. On donne le discriminant du corps des modules des Y-arbres irréductibles, ou un multiple de ce discriminant si le calcul est impraticable.

La troisième table donne les polynômes P obtenus par nos calculs. Lorsque le corps est de petit degré, nous donnons aussi un autre polynôme Q, unitaire, définissant le corps des modules de façon un peu plus canonique (voir l'algorithme polred [11, p166]).

Voici quelques précisions sur le calcul du polynôme P : pour les arbres de type B, on place le sommet de valence 3 en 0, le sommet de valence 1 en 1, et le polynôme P est le polynôme minimal de la somme des deux sommets de valence 1.

Pour les arbres de type C, on place le sommet de valence 3 en 0, le sommet de valence 1 en 1, et le polynôme P est le polynôme minimal de la somme des deux sommets de valence 1.

Pour les arbres de type A, si nous plaçons le sommet de valence 3 en 0 et si nous imposons la somme des sommets de valence 1 à 1, alors la somme des sommets de même type est toujours rationnelle. Le polynôme P est donc ici le polynôme minimal de la deuxième fonction symétrique des trois sommets de valence 1.

Le calcul de d(K) est bien plus lent et ne peut être mené à terme que pour les petits corps de définition. Pour B(5), le calcul de d(K) à l'aide de Pari (algorithme Round 4) met 120 heures en utilisant 450 Mo de mémoire.

Il faut construire une base intégrale de K, à partir d'un ordre que l'on grossit pour chaque nombre premier. Les algorithmes Round 4 et Round 2 implantés dans Pari partent de l'ordre engendré par une racine d'un polynôme P unitaire. Comme le coefficient dominant des polynômes que nous calculons a de nombreux petits facteurs, ces algorithmes perdent beaucoup de temps à éliminer ces facteurs. Il serait donc utile de développer une extension de ces algorithmes aux ordres engendrés par un P quelconque.

b. Le choix de l'approximation initiale

Pour le calcul par approximation se pose le problème du choix de la position initiale des sommets de l'arbre. Sa solution est ici très facile.

Une première approche est de calculer les propriétés de Y_1,1,n en calculant successivement Y_1,1,1 , Y_1,1,2 , ..., Y_1,1,n-1 et Y_1,1,n , chacun s'obtenant par rajout d'un point dans la branche la plus longue du précédent.

Nos considérations sur l'aspect du tracé d'un dessin dans le plan suggèrent que la longueur de cette branche a peu d'influence sur ce qui se passe à ses extrémités. Nous choisissons donc de remplacer l'arête du milieu (qui est aussi la plus longue) par deux arêtes ayant cette longueur.

Ajout au milieu

Une seconde approche est de remarquer que l'arbre Y_1,1,n est "similaire" à la ligne avec n+2 sommets, dont on connaît bien la fonction de Belyi (polynôme de Tchebitchev).

Puisque nous savons qu'au voisinage d'un sommet de valence 3, les arêtes font un angle 1/3 de tour, nous remplaçons la dernière arête de la ligne par deux arêtes de même longueur, symétriques. Chacune de ces deux approches permet d'être dans la zone de convergence de l'algorithme de Newton.

Ajout au bout

c. Performance des différentes méthodes

sur SS20/71 B(5) B(6) B(7) B(8) B(9) B(10)

Maple : mini

10s

2.2 Mo

84s

4.5 Mo

193s

4.5 Mo

28 min

8 Mo

162 min

Maple : standard

71s

3.4 Mo

4h21

25 Mo

>64h

>320Mo

>36h

>190Mo

>85h

>140Mo

>55h

>350Mo

MuPAD

37s

5.7 Mo

557s

6.3 Mo

12 Mo

	modular
	comput.
GB	check
	totolex
	mémoire

0.3s

1.1s

36s

10 Mo

0.5s

0.6s

2.3s

213s

13 Mo

0.8s

2.3s

6.5s

19 min

23 Mo

1.9s

5.8s

17s

94 min

46 Mo

4.6s

14s

47s

613 min

109 Mo

71s

110s

200s

35h

234 Mo

Numérique

convergence

LLL

précision

mémoire

78s

410 d

6 Mo

282s

48s

850 d

11 Mo

513s

126s

1100 d

15 Mo

44 min

9 min

1900 d

30 Mo

108 min

35 min

3200 d

52 Mo

242 min

114 min

3900 d

56 Mo

d. Discriminant du corps de définition

n_A(0) = 1/3. Q.
n_A(1) = 1. Q.
n_A(2) = 2. d(K) = 3 7.
n_A(3) = 3 + 1/3. d(K) = -3³ 5.
L'orbite de longueur 1 est le triple de A(0) .
n_A(4) = 5. d(K) = -3³ 5² 7 11³.
n_A(5) = 7. d(K) = 3⁴ 5³ 7² 13⁶.
n_A(6) = 8 + 1 + 1/3. d(K) = -3⁷ 5⁷ 7³ 11.
Les orbites de longueur 1 sont le quintuple de A(0) et le triple de A(1).
n_A(7) = 12. d(K) = 3⁸ 5⁵ 7⁴ 11² 13 17¹⁰.
n_A(8) = 15. d(K) = -3¹² 5⁷ 7⁵ 11³ 13² 19¹³.
n_A(9) = 16 + 2 + 1/3. d(K) = -3¹⁴ 5⁷ 7¹⁵ 11⁴ 13³ 17.
L'orbite de longueur 1 est le septuple de A(0) et celle de longueur 2 le triple de A(2).
n_A(10) = 22. d(K) = 3¹⁸ 5¹¹ 7⁷ 11⁵ 13⁴ 17² 19 23¹⁹.
n_A(11) = 25 + 1. d(K) = 3¹⁷ 5⁴³ 7⁹ 11⁶ 13⁵ 17³ 19².
L'orbite de longueur 1 est le quintuple de A(1)
n_A(12) = 27 + 3 + 1/3. d(K) = -3⁶⁵ 5¹² 7⁹ 11⁷ 13⁶ 17⁴ 19³ 23.
L'orbite de longueur 1 est le nonuple de A(0) et celle de longueur 3 le triple de A(3).

n_B(0) = 1. Q.
n_B(1) = 3. d(K) = -2² 3³.
n_B(2) = 6. d(K) = 2⁹ 3⁴ 5².
n_B(3) = 10. d(K) = 2⁸ 3⁶ 5¹⁰ 7².
n_B(4) = 14 + 1. d(K) = 2²⁰ 3¹³ 5⁶ 7⁴.
L'orbite de longueur 1 est le triple de B(0).
n_B(5) = 21. d(K) = -2¹⁸ 3¹⁶ 5⁸ 7²¹ 11².
n_B(6) = 28. d(K) = 2⁷⁷ 3²² 5¹² 7⁸ 11⁴ 13².
n_B(7) = 33 + 3. d(K) = -2²⁸ 3⁵⁷ 5¹⁴ 7¹⁰ 11⁶ 13⁴.
L'orbite de longueur 3 est le triple de B(1).
n_B(8) = 44 + 1. d(K)f² = 2¹⁵⁵⁰ 3⁶⁴⁶ 5⁴³ 7¹¹⁸ 11⁸⁸ 13⁷⁸ 17³⁴ N².
L'orbite de longueur 1 est le quintuple de B(0).
n_B(9) = 55. d(K)f² = -2¹⁷⁹⁶ 3¹⁰⁴⁶ 5³³² 7¹⁶⁶ 11²⁸¹ 13¹⁰⁴ 17⁶⁸ 19³⁸ N².
n_B(10) = 60 + 6. d(K)f² = -2³²⁹² 3¹²² 5³⁵² 7²³⁰ 11¹³² 13¹³⁰ 17¹⁰² 19⁷⁶ N².
L'orbite de longueur 6 est le triple de B(2).

n_C(0) = 1. Q.
n_C(1) = 3. d(K) = -2² 3 7²
n_C(2) = 6. d(K) = 2⁴ 3¹⁰ 5.
n_C(3) = 10. d(K) = 2⁸ 3⁷ 5² 7 11⁸
n_C(4) = 15. d(K) = 2¹² 3¹⁰ 5⁵ 7² 13¹²
n_C(5) = 20 + 1. d(K) = -2¹⁶ 3¹⁹ 5²⁰ 7³ 11.
L'orbite de longueur 1 est le triple de C(0).
n_C(6) = 28. d(K) = 2²⁴ 3²² 5¹¹ 7⁶ 11² 13 17²⁴.
n_C(7) = 36. d(K)f² = 2³³⁶⁴ 3⁵⁹² 5¹⁹⁷ 7¹²¹ 11⁴⁵ 13³² 19¹⁴⁰ N².
n_C(8) = 42 + 3. d(K)f² = -2⁴⁵⁶⁰ 3⁸¹ 5²⁵⁵ 7⁴² 11⁶⁴ 13⁵¹ 17¹⁹ N².
L'orbite de longueur 3 est le triple de C(1).
n_C(9) = 55. d(K)f² = -2⁷⁸⁸⁴ 3¹³⁵² 5⁴⁶¹ 7²³³ 11⁸⁵ 13⁷² 17⁴⁰ 19²¹ 23²⁷⁰ N².

e. Polynômes caractérisant les corps de définition

A(3): Q = x³ + 3x - 1,
P = 3x³ + 12x² + 27x + 5.
A(4): Q = x⁵ - x⁴ - 9x³ + 3x² - 9,
P = 361x⁵ - 4474x⁴ - 38273x³ - 65627x² - 41455x - 4325.
A(5): Q = x⁷ - 2x⁶ - 15x⁵ - 17x⁴ + 406x³ - 1185x² + 1528x - 797,
P = 54289x⁷ - 282278x⁶ - 3283899x⁵ - 31969477x⁴ - 78654736x³ - 65823135x² - 20988650x - 1404125.
A(6): Q = x⁸ - x⁷ - 8x⁶ + 47x⁵ - 65x⁴ - 7x³ + 217x² - 154x + 91,
P = 289x⁸ - 4885x⁷ - 46400x⁶ - 342915x⁵ - 1089480x⁴ - 1739622x³ - 996660x² - 214785x - 10305.
A(7): P = 98207651161x¹² + 870318338439x¹¹ - 225964214871x¹⁰ - 120603046889300x⁹ - 1641468242003715x⁸ - 8545487217454683x⁷ - 23874722290036452x⁶ - 38144830567619007x⁵ - 35366172814693935x⁴ - 18277692100532150x³ - 4874726982487875x² - 585383786486250x - 19309256928125.
A(8): P = 870144924171961x¹⁵ - 31272534505579827x¹⁴ + 3409826827410834x¹³ + 1631528313606604292x¹² + 25545284053437227001x¹¹ + 265781178080254774527x¹⁰ + 1656478912849790418811x⁹ + 6206289995712665940813x⁸ + 14144169927465834515019x⁷ + 20094178519992806367157x⁶ + 17902864566095038971675x⁵ + 9866732665267344460200x⁴ + 3223408046591823300500x³ + 576457341066342065625x² + 48553143846669318750x + 1206449284005015625.
A(9): P = 92811821263x¹⁶ + 2185900990315x¹⁵ + 45151781389620x¹⁴ + 529427232145945x¹³ + 4647506123797600x¹² + 28962371220779367x¹¹ + 128594938811688720x¹⁰ + 406119437724414015x⁹ + 902761895287107765x⁸ + 1392468619368942000x⁷ + 1462963566390250932x⁶ + 1022154080759090055x⁵ + 457850422093506750x⁴ + 123967037149475625x³ + 18361060568707500x² + 1270568722106250x + 25781283703125.
A(10): P = 51109675742232059162815081x²² - 1222855031957479455016606244x²¹ - 33339533013059925808858928358x²⁰ - 176587156452636149850433811942x¹⁹ + 348622602175388288979081326095x¹⁸ + 24884847684057802873707363914604x¹⁷ + 439207448836219867986760498269369x¹⁶ + 4852935494438817287737345818051768x¹⁵ + 35084749352147350986571673594602077x¹⁴ + 173915157982809729913031460240111950x¹³ + 609804567556133082118145018126777759x¹² + 1544739507078353087800675396870208289x¹¹ + 2860271423122088700985131214538825543x¹⁰ + 3886404275079347133591396941957087822x⁹ + 3865938157918915333099831680499340370x⁸ + 2792815798059667267473122722875005625x⁷ + 1444839482062782541267491192975673500x⁶ + 523731890421570789353429311796881875x⁵ + 128660108139561133850161428552428125x⁴ + 20333324629864201224102987769890625x³ + 1897902407627305324013017906406250x² + 89172188853981460591162052734375x + 1366808126272895577235041015625.
A(11): P = 22028597127867789918064321x²⁵ - 157097838122150956691122685x²⁴ + 1916846593202473307608849635x²³ - 139509067092638121891060343885x²² - 1151394592136979970414782132790x²¹ + 878364548094972935771145209370x²⁰ + 120462860834784888254767546254085x¹⁹ + 2233088278804411372483919546447215x¹⁸ + 25668425441333273660814531432522285x¹⁷ + 205906551849460957881253465328405765x¹⁶ + 1197031385121657648321833046341492720x¹⁵ + 5120647423725156888101898981582221865x¹⁴ + 16248704064188296821227381901541038460x¹³ + 38471846683417178603653622531252181790x¹² + 68218639604342600499888216881238965535x¹¹ + 90689988351840735527561195514821924900x¹⁰ + 90179757628905495914028778111875967610x⁹ + 66667952668687129479428454167573728815x⁸ + 36265830918014862670238503260679873060x⁷ + 14292502185461894708632449353282818240x⁶ + 3989224511813535581408140215071936265x⁵ + 762493000918268063921002668712038140x⁴ + 94772184968545561476484255568169185x³ + 7037425341291554045535134429285565x² + 266306914994407378687794743366260x + 3360856796510637621867259412161.
A(12): P = 62988609009298392434369403x²⁷ - 2332551347079881215471219764x²⁶ - 30668233624242162370408947285x²⁵ - 529876740736746814114788761835x²⁴ - 3877197676066819870808386257090x²³ - 12660604020408321548374495522572x²² + 369828433241452431712870952963526x²¹ + 8546705458594281500723513941952610x²⁰ + 118186809580809328874131082522847735x¹⁹ + 1132945527793722216977233510798248540x¹⁸ + 7863182561861811687130578415618699176x¹⁷ + 40601544033588737696927149755551661522x¹⁶ + 157579908245340055362410583271625726085x¹⁵ + 462292650354789103158368106241062332160x¹⁴ + 1031209227170942595420802076785157258565x¹³ + 1759046530728901161977714677041466452864x¹² + 2304051022208495839331341462080867395328x¹¹ + 2320576437670917405945143206327212499200x¹⁰ + 1793453331972140397279079374458782875825x⁹ + 1057037086516691965551691776388240026375x⁸ + 469860326566059597781780345154823450000x⁷ + 154808338577620452555653131847884987500x⁶ + 36845230536646283953174746000283453125x⁵ + 6098176957769173885488336550129218750x⁴ + 662547205405272240602748452035546875x³ + 43091047723513831384746029273437500x² + 1422986981521391200555139707031250x + 15522928406114874760081689453125.

B(1): Q = x³ + 2,
P = 25x³ - 42x² + 12x + 8.
B(2): Q = x⁶ -2x⁵ -x⁴ +6x³ -2x² -4x -1,
P = 192x⁶ + 1600x⁵ + 5488x⁴ + 8464x³ + 5960x² + 1784x + 137.
B(3): Q = x¹⁰ - 5x⁹ - 10x⁸ - 330x⁷ + 3780x⁶ - 23538x⁵ + 146520x⁴ - 900210x³ + 4617195x² - 8099745x - 6066414,
P = 288x¹⁰ + 4920x⁹ + 37400x⁸ + 154160x⁷ + 379100x⁶ + 574424x⁵ + 534980x⁴ + 295250x³ + 89690x² + 12950x + 563.
B(4): P = 5120x¹⁴ + 149504x¹³ + 2014208x¹² + 15777280x¹¹ + 79923712x¹⁰ + 275166208x⁹ + 658361216x⁸ + 1101880256x⁷ + 1283578112x⁶ + 1023671040x⁵ + 541541472x⁴ + 180018720x³ + 34297616x² + 3188528x + 92633.
B(5): P = 24883200x²¹ + 1158312960x²⁰ + 25502867712x¹⁹ + 341618429376x¹⁸ + 3109936201344x¹⁷ + 20392715344064x¹⁶ + 99638796203968x¹⁵ + 370504764844224x¹⁴ + 1062741483903680x¹³ + 2370640833511888x¹² + 4128644196255936x¹¹ + 5614827771514976x¹⁰ + 5942714032340512x⁹ + 4860315116093808x⁸ + 3036961695710128x⁷ + 1425822458726372x⁶ + 491072052205560x⁵ + 119836481716252x⁴ + 19663328827436x³ + 1993132055040x² + 106550236828x + 2000024111.
B(6): P = 513684799488000x²⁸ - 34901212948070400x²⁷ + 1137545530142883840x²⁶ - 23094430990658961408x²⁵ + 326698815564602671104x²⁴ - 3421329382195643547648x²³ + 27523540095132109897728x²² - 174305408754660243668992x²¹ + 883931948169484761563136x²⁰ - 3633243437315754018471936x¹⁹ + 12208911396657704553414656x¹⁸ - 33740348646985795280830464x¹⁷ + 76979469564829984977911808x¹⁶ - 145292021332525428824211456x¹⁵ + 226960358645737432122753024x¹⁴ - 293120952934211895334699008x¹³ + 312191481069764390293626880x¹² - 273058909744499620720631808x¹¹ + 194957884663016060566106112x¹⁰ - 112699121083547276423794688x⁹ + 52176655480973862044680704x⁸ - 19071337921265203163214336x⁷ + 5399626220939144567968512x⁶ - 1154053132723323568606464x⁵ + 179599504361044758896448x⁴ - 19299434128448598021184x³ + 1315528871847908959392x² - 48630693359656374240x + 658418172827465249.
B(7): P = 128450560000x³³ - 11707809792000x³² + 515906676326400x³¹ - 14320455719649280x³⁰ + 280278666945232896x²⁹ - 4112010196865513472x²⁸ + 46962642048178507264x²⁷ - 428236816106298382848x²⁶ + 3174061201133603157504x²⁵ - 19372769702192537887488x²⁴ + 98305223546172769210368x²³ - 417686500832906293682688x²² + 1493724878756594616210432x²¹ - 4512769265396529128088576x²⁰ + 11546134536650775044859648x¹⁹ - 25052844127927284357151488x¹⁸ + 46120547173023714432494592x¹⁷ - 72002596612591111053052800x¹⁶ + 95199167018173601085387456x¹⁵ - 106357485558642750786858048x¹⁴ + 100078973730597608483119488x¹³ - 78970049026910168467295136x¹² + 51958955637812070724883328x¹¹ - 28299178126805457249292896x¹⁰ + 12640465685125959112475328x⁹ - 4575645926936732962787328x⁸ + 1321740712875893316349680x⁷ - 298567190658186756100976x⁶ + 51320083437219286364736x⁵ - 6461987207673914870592x⁴ + 563746426651493261606x³ - 31198295910054895890x² + 932905167417746466x - 10118390704879427.
B(8): P = 9394859377925554176x⁴⁴ - 1173388111352495603712x⁴³ + 71448077328882874712064x⁴² - 2780015926599994476331008x⁴¹ + 77422331852032749198114816x⁴⁰ - 1642402295245685222446989312x³⁹ + 27595316583078351282125144064x³⁸ - 377133789254279866596194254848x³⁷ + 4273710531384938117910522494976x³⁶ - 40740319074997723094066053251072x³⁵ + 330353567266620648162945725890560x³⁴ - 2298598756136751047199964822241280x³³ + 13819827277318218281101778464276480x³² - 72199011711251117446930106668810240x³¹ + 329240635765647781433612734006558720x³⁰ - 1315316548836346248737638889881075712x²⁹ + 4616808635541020223278013269566029824x²⁸ - 14270281831217176293899375198515232768x²⁷ + 38908477686379152579596273809795055616x²⁶ - 93691608427885137130668400469949284352x²⁵ + 199399791480130310728340908243358318592x²⁴ - 375188476955331131897350251091432833024x²³ + 624058395359951497629690764814490533888x²² - 917109081104150047114685270652231745536x²¹ + 1189659067560680152083638002026897211392x²⁰ - 1360271723542821496081641704468433862656x¹⁹ + 1368438842133738805764353493062580436992x¹⁸ - 1208369177810057324216201580820720779264x¹⁷ + 933872161056270213473375312536066326528x¹⁶ - 629447879472638774118609414237634584576x¹⁵ + 368452569953959818137395218403091770368x¹⁴ - 186363919646205211005540323730318759936x¹³ + 80963231005465055431231309139582948352x¹² - 29994223389861610018683069707826276864x¹¹ + 9394226540023502908676634116224409088x¹⁰ - 2461583279680711471859846831616316416x⁹ + 532752680782978676549575414759642752x⁸ - 93722753670264864804888618414375744x⁷ + 13131402670602394299584333377291008x⁶ - 1426531501133005458306557969858816x⁵ + 115830768852467777831456275003424x⁴ - 6665669357160822264930339318368x³ + 249931301580110806288721893936x² - 5235606039815235509102372752x + 42053103397718025129673369.
B(9): P = 6658606584104736522240000000x⁵⁵ - 1078062755921157383258112000000x⁵⁴ + 85536161235193746456104140800000x⁵³ - 4372046023231479792951676108800000x⁵² + 161318471713543361535156840038400000x⁵¹ - 4574520993146953054496685405555916800x⁵⁰ + 103707882294023875517628438374976061440x⁴⁹ - 1931270934412677931854105984358517047296x⁴⁸ + 30129018192497362894261512430781304668160x⁴⁷ - 399670712380551271105623667681694981947392x⁴⁶ + 4560740470619315055913315131125369508888576x⁴⁵ - 45186044503113285714192401156700103272726528x⁴⁴ + 391628020872984325108359303360288188439724032x⁴³ - 2987662255558756424138422163024222389686190080x⁴² + 20165726889847790015503205665809424787591135232x⁴¹ - 120947147363230360113039448128689659923564904448x⁴⁰ + 646928096224170808375771433166927677996422144000x³⁹ - 3095483204201644325319387295590586420658051506176x³⁸ + 13284289524754136012455432333636432103560599347200x³⁷ - 51242717333303827951863941148383589873061023444992x³⁶ + 177991862562444697277570353857512909352896131571712x³⁵ + 557562963539983202950691185462801065540725088264192x³⁴ + 1577030598282891711627871845517571153503680865904640x³³ - 4031355006407679581510340088237124629945702313908224x³² + 9320359108770148566726830291020142357508994547003392x³¹ - 19498017707740074863105993611122477732885838046508032x³⁰ + 36917622407933007707591207527855087843401265870534656x²⁹ - 63267096157303351735591162217056900841844882144447488x²⁸ + 98117343437835396610929618461689230673920942360812032x²⁷ - 137647138568449687304093633523852876065348682650976768x²⁶ + 174573112145310071129807575580039339572697009775656448x²⁵ - 199992586141058806412294522911173007780459799455329024x²⁴ + 206734187166780667367389033001118161693782211050257408x²³ - 192574938664678688530901838672535874100945425617703424x²² + 161393923381751121129281862262305305700271471210142592x²¹ - 121467156951310355803305324565969723316823132273061248x²⁰ - 81914307091912289239727046172116727761301978566859776x¹⁹ - 49371842718027401767568644806880416717266225110452672x¹⁸ + 26517437794377160931097351789646070815460827122864384x¹⁷ - 12648231413882660861286679791033484384912047575614272x¹⁶ + 5336484662604667578631882756675639804489817243827296x¹⁵ - 1982516704261427164713638931135138783194891086018464x¹⁴ + 645059377822701742103935191747246560044012627107808x¹³ - 182682974642336401178456487920641420843900476505424x¹² + 44701978223308224633810906714599616362128447465632x¹¹ - 9369170023670130301142557162275050714450300870432x¹⁰ + 1664453923300763991366876751622333731454433911032x⁹ - 247450931086264938045712250664343672185343595304x⁸ + 30301004268689512113386967850861704617367658320x⁷ - 2995034372940790154197150337328967090818065532x⁶ + 232708537025651093654259832996385499856374072x⁵ - 13707236139496964340620953393151765582638388x⁴ + 580782654055874340787700938178662406300926x³ - 16292257846517878837094859211571218061502x² + 260117200922134949258306409122197197946x - 1638075168736052964113158952499236561.
B(10): P = 14635757607000735744000000000x⁶⁰ + 2861715112497504898252800000000x⁵⁹ + 274943969090775430966804480000000x⁵⁸ + 17068281223043461657325993984000000x⁵⁷ + 767287718430620548958613248409600000x⁵⁶ + 26593123573273611623178374280642560000x⁵⁵ + 739240675412294047489303864737267712000x⁵⁴ + 16935167653330622995755712112714003251200x⁵³ + 326095803806505108284100359901038992424960x⁵² + 5357191014616576523392303593701335424303104x⁵¹ + 75966947740946554634950058941611847987494912x⁵⁰ + 938531719812983235443232940716123198681251840x⁴⁹ + 10178829092180843265695439239690585802790666240x⁴⁸ + 97518214203867427604096600707522395568418586624x⁴⁷ + 829621336333930213703092173156532653032269152256x⁴⁶ + 6294935860014800301566933739122157305954406760448x⁴⁵ + 42760416130140174414625321249641224257128389148672x⁴⁴ + 260864783169804030555281906484844315877596196765696x⁴³ + 1433164590469502429556328507135704002504202888675328x⁴² + 7107197751564817284662358136064827080789739828150272x⁴¹ + 31877989725466687445545471245326373474649022557847552x⁴⁰ + 129543119718765637104817677007452755915320911921676288x³⁹ + 477634908236491224561562728507575867873965530308149248x³⁸ + 1599784614652415422999513015127783357170721440745390080x³⁷ + 4872403163798730912946686636341339776184769301780103168x³⁶ + 13504784533437013789200225432496305394085904381558915072x³⁵ + 34084793818713770975839959595543023244790472770685239296x³⁴ + 78370272480681784494417049229122878411878328681346629632x³³ + 164200645552674795873154942417946428233203917835301027840x³² + 313526373131064731655235302013214195970273880942177157120x³¹ + 545532243270450260052616476368153018972914058591865929728x³⁰ + 864796055626920749048683896288732219386282445343442337792x²⁹ + 1248478634216103755955746803235379062408968913248363479040x²⁸ + 1640496989789200714009360418030439339028111701203040075776x²⁷ + 1960524467645976689272497366929311566226964388699262943232x²⁶ + 2128954263609478729765531027646435696959039559510593110016x²⁵ + 2098295963082473871752331797148145494274479643469891502080x²⁴ + 1874524173008117040880151427018780610012438354864814161920x²³ + 1515506598101378134036102950638005385519171115087483109376x²² + 1106821851514361503444788409369920646993848394485348696064x²¹ + 728689131534252108873099205238952205957484429377391296512x²⁰ + 431430120577839412226635972458454968683201605912329453568x¹⁹ + 229082438414199474826702699700313311142410875268407230464x¹⁸ + 108749124987534097236842856594610005561981576091600945152x¹⁷ + 45989206466649145690216370016162199490544914108063612928x¹⁶ + 17254296614707669095571650797029589694905604233641033728x¹⁵ + 5716035123867046921679052366827435837495030353746788352x¹⁴ + 1662916961207961644455247736610711932926165683744079872x¹³ + 422136554356421413674379706136517275553004278087270400x¹² + 92807919905643649786010134585735055590256875745820672x¹¹ + 17514535463222622640662079801206641233028701967638528x¹⁰ + 2806989448574866421248432603767857312404472260419584x⁹ + 377074252440858304071244976144561895129908827849728x⁸ + 41771276621016612682679851396992869345740084177920x⁷ + 3737357394805943943743197930616926848662752151040x⁶ + 262794113865459730462427194221876008085866568192x⁵ + 13988711517879796391402873654850171597954470528x⁴ + 533967443850703183450593313160551320351736960x³ + 13419881266613014817006005535028255355316544x² + 190183880528759758990508532345771001310144x + 1043718457971658827739065564585623235937.

C(1): Q = x³ - x² + 5x + 1,
P = 45x³ + 273x² + 791x + 427.
C(2): Q = x⁶ - 3x⁵ + 4x³ + 3x² - 9x - 8,
P = 175x⁶ + 2430x⁵ + 19017x⁴ + 64068x³ + 96849x² + 65502x + 14103.
C(3): P = 4465125x¹⁰ + 114448950x⁹ + 1717178265x⁸ + 13590342216x⁷ + 64780856250x⁶ + 190045721668x⁵ + 345207245482x⁴ + 376373703112x³ + 232122416801x² + 72368288630x + 8271649661
C(4): P = 46414974375x¹⁵ + 1935912990375x¹⁴ + 47642771951775x¹³ + 679387553811135x¹² + 6409498796289459x¹¹ + 41441755477203315x¹⁰ + 186714655833929691x⁹ + 592398220222283579x⁸ + 1329789279364354133x⁷ + 2109332508307537877x⁶ + 2342269666378397405x⁵ + 1783536720101601725x⁴ + 896749201669458449x³ + 278709535385588177x² + 47252708713917161x + 3194956880159369.
C(5): P = 33990957x²⁰ + 2066170260x¹⁹ + 74666366110x¹⁸ + 1631856979620x¹⁷ + 24611630588625x¹⁶ + 266019245095440x¹⁵ + 2109653107162920x¹⁴ + 12489093935915280x¹³ + 55920663405670730x¹² + 190918816431017880x¹¹ + 498880666211503668x¹⁰ + 997491312345752120x⁹ + 1519957436433127770x⁸ + 1751012290740378960x⁷ + 1506000289549705640x⁶ + 949210838451943632x⁵ + 426524139389956425x⁴ + 131002511542763380x³ + 25680204113378910x² + 2831323762830660x + 128953327629845.
C(6): P = 12714083695698776015625x²⁸ + 1120748524109664262312500x²⁷ + 57932563572251162785856250x²⁶ + 1892177466425428784158462500x²⁵ + 43909208220618548969489251875x²⁴ + 758092200911073737253972545400x²³ + 10025138329822562476810869601380x²² + 103714482141650900394345114152568x²¹ + 852821642617789924119326347588401x²⁰ + 5638872391161332880603516326983260x¹⁹ + 30236126600372747891562842066146278x¹⁸ + 132302811233171030834279826571062348x¹⁷ + 474549947715716153182346460436658627x¹⁶ + 1399561783623525706921294566000827344x¹⁵ + 3399709827516384207967064492097608952x¹⁴ + 6804503836358553175105355044194027344x¹³ + 11210406695245754458208568294556851475x¹² + 15164600636056464602949538789069164204x¹¹ + 16772766334005620201864939469243783974x¹⁰ + 15075106075062159481220712426915177340x⁹ + 10916068272134699647500006566594835585x⁸ + 6294437221399060971901979957863369528x⁷ + 2845051570593642241155761065561201508x⁶ + 986558046370922512642081687153003704x⁵ + 254655169100199472612495154296938163x⁴ + 46810377310770276273113256289006148x³ + 5712327818280188039476572427110714x² + 407530111261671567203245308353428x + 12528354714335602493796372103577.
C(7): P = 438120013555654794702228515625x³⁶ + 52159336887503771380534767187500x³⁵ + 3620498455879214210677300768593750x³⁴ + 162403784641633545880539075901687500x³³ + 5264661149047477361323993504975340625x³² + 129472760905531572410213222525202540000x³¹ + 2492043588540203828904082500509491002000x³⁰ + 38388362414885821861871547859243945768800x²⁹ + 481182170246522749896746263006865892202260x²⁸ + 4969354620272733638376380165277357773617296x²⁷ + 42694952682059085248499417139591106649186024x²⁶ + 307549710995946552875807151256795690482347664x²⁵ + 1869292905817131057233263721850134407687841892x²⁴ + 9636542077913459701466058149810305897309244832x²³ + 42312238090549463600079425961098676018940492272x²² + 158756811211009412422407684018072611385175599904x²¹ + 510238603086453895162310927438419013737786355742x²⁰ + 1407011552533420257353009232922961339099482368456x¹⁹ + 3331859964694969468079529214568852878970494207364x¹⁸ + 6776470668203057547206859796942329839074785541128x¹⁷ + 11830248005146609339758302737302218860919499842430x¹⁶ + 17704262057551745876140880144164521007871901744672x¹⁵ + 22663733694067693074628159528522649255713444397040x¹⁴ + 24743143798661045591190384349571775250117550755488x¹³ + 22946945298691782878446364260445408179250108380708x¹² + 17985660359193825201063775954487985522458754116112x¹¹ + 11837372398823589011637736861725585870069830635752x¹⁰ + 6489041478426275875049465966382694044087742642448x⁹ + 2932547999370610138970054468937012986506120886868x⁸ + 1078380580802221455107075866627705056924457236576x⁷ + 317258260050695747451310334711593582837834537104x⁶ + 73016343806481444988042907345096990657726236896x⁵ + 12746562667964817552151149773179726206084591489x⁴ + 1614050192081379062637308334693453719175566188x³ + 138195294992886800605459048143406833605584470x² + 7049731770073321764690143539043276665428876x + 158320694832222900012097032628451757776249.
C(8): P = 19978981326387509765625x⁴² + 2983185126665458558593750x⁴¹ + 261140441674339488589453125x⁴⁰ + 14895541280747211525065625000x³⁹ + 619928588824336051802775406250x³⁸ + 19746431081104682830862599812500x³⁷ + 496931097760175099404038922726250x³⁶ + 10104553672895574567257607215793000x³⁵ + 168763551357708334525933574330774625x³⁴ + 2343769314924275723009257850055024030x³³ + 27327311635707106216349418952703586629x³² + 269586130758399823281680276840789379872x³¹ + 2264592996585577879119155922986124134744x³⁰ + 16284308646074667643684714843315004084720x²⁹ + 100678850545126535517925780418346313469336x²⁸ + 537130768625113392337031272077559663440800x²⁷ + 2480363896643816675438666427111182437483762x²⁶ + 9939063824429909070224720213589346503547660x²⁵ + 34632130649757908618507525522506211386456810x²⁴ + 105110805998395589428492727213862366094422320x²³ + 278231503795299031447078051209411310696920092x²² + 642887124127653808431677180360346076125745400x²¹ + 1297256648380934159482155037810595472640663516x²⁰ + 2286002792191346688643833593936669898338330416x¹⁹ + 3516206336487619227598254496187972651841395146x¹⁸ + 4716062671826499738665222453827978526944876044x¹⁷ + 5506898780728422364162513440339108785882682258x¹⁶ + 5585994174003805145599616210217779076226756512x¹⁵ + 4907952137392685729209804527599765010041353240x¹⁴ + 3721371244109326434209927557392504742264326640x¹³ + 2423852958766756705861796591798003533876481752x¹² + 1348454696316409948521633268660324150388416288x¹¹ + 636280360180638678683209907648708802449087029x¹⁰ + 252457646266680061053087282606004655589333022x⁹ + 83328746480937673884206932856164556224051377x⁸ + 22573914153763372836973954116827233325352552x⁷ + 4933071235602063533458628950369562648627658x⁶ + 850061838049804629499098294258033614956948x⁵ + 111973939498654066613232275562288819911242x⁴ + 10781172185433712334113804061493625143976x³ + 707362324830242750821335230343132326581x² + 27879339953976590435166859062127141462x + 488342166322371232909880230533140041.
C(9): P = 3943988517696329309474874414036059896739501953125x⁵⁵ + 778311923110674963236504321809947069645837158203125x⁵⁴ + 88521665310388080821128397451986702836385689306640625x⁵³ + 6686991597713205367021085074111958316398055809619140625x⁵² + 372641574642624233763962527496220943439328473636560546875x⁵¹ + 16124880337696730645648527983558550437350539946557416796875x⁵⁰ + 560014154423120530661496406913754271430408755528615290234375x⁴⁹ + 15978615430187676465988665223784630517917750901284065776234375x⁴⁸ + 381084810566558809659509254874856779232837286021618225662543750x⁴⁷ + 7698280504231519249876745237539002318530166892990040995053963750x⁴⁶ + 133111821381452473891242341153370497197382910149864700230367468750x⁴⁵ + 1987074663214034291989740864788129009310269997082285944739021102350x⁴⁴ + 25792046498356966293147593767828052053166243802743830665267602955570x⁴³ + 292850217672353760894509359054892452380945657793971075078818568862482x⁴² + 2923619222156391543925396346245746575234037500775923930388325806267930x⁴¹ + 25776597802872637845957390671796400755690111467562319213205912698806426x⁴⁰ + 201472502452438427787488450193534099322309620306910842966130946534890359x³⁹ + 1400652501436078810474567349912176713271409254397821099492187261182496295x³⁸ + 8686050334554010369362786776707770402463833590529078476795305296513316251x³⁷ + 48170496991258275498391149642575854976464196906187567841665699910019520123x³⁶ + 239414274307765658042780881799097354300549483109016797109083193325075633105x³⁵ + 1068413179313362889992274443312036048064954013894980724833327692405704752385x³⁴ + 4287814773025326266291417954225831822418149921229752655772299133868563527445x³³ + 15495764552272754605450375707287025946212812358102144519777688673280412101909x³² + 50481788460369003605156275189980045978839363124320697188113853821160951260932x³¹ + 148375703803697601745538956272427706378003036213636859845464359981796723573060x³⁰ + 393694965292990297040093338717700928652178252928609396675942807679393163414196x²⁹ + 943392711863977354736154491543373869539141474302917809162904270926562931963444x²⁸ + 2041892849291404929193252814646794469318665375289034644412994681691792436244524x²⁷ + 3991714971856941209438623784056175817657559326226597291525556766723912435449196x²⁶ + 7046219599935337399607836500579195566771614689465930988938386042105589040847388x²⁵ + 11225625074833297081425610004670032321151286497194033397324978855017606111677212x²⁴ + 16129121062391858147261960885315323374792674094403141862554089633600020132003331x²³ + 20880481716541195334871837785296508268190249580966945478191506089016970747526387x²² + 24326133286386448309226527939876163883039669710707391243674913290757183994479895x²¹ + 25466094980744234411614769057032238464071974194228146746918567792928793735944183x²⁰ + 23912903559330518439060098689690378788784754870230000029666716207815057458281517x¹⁹ + 20098484668173596078629456910452535276496425582580201324654900186720722796027933x¹⁸ + 15082555418352942398253074437396138126620857773772841428314236286848464070470337x¹⁷ + 10076375561561334971892783543532763597425834001819964792120207142700848938216513x¹⁶ + 5972815992777494749973546457430725158007831256768818441171913222517389941609750x¹⁵ + 3128834877467709222509883654425438955499748358424221954364812822004495564659318x¹⁴ + 1441815133475930355632725885349172716966301631184879585827004125402323843265950x¹³ + 581310659414440101060887497078507226275076677683019991339409824678886684880350x¹² + 203753239862036592300698890035381368775920149169406019715099630366114072066178x¹¹ + 61616761543562395121724144396829980386607208979489841865280110288483383191394x¹⁰ + 15930354344229279182010563900877932010889379053541041590880628158713706840362x⁹ + 3482184908760173407631686843047113825376817868568663365963815175740588379562x⁸ + 634725940515403047111777636601741146764186511197573189033805690166826304129x⁷ + 94804837914445716818920104094546132350672770651965319198794693138080874577x⁶ + 11341261078023732544244316088710980435428322902536173908288986155865925437x⁵ + 1053402360466354870278414398289461563794297582871654068090911920041566301x⁴ + 72653045799828251122928523910557125493397353259197144767539054780485095x³ + 3470325051608917926388109769591785678814574252345836617237235396632631x² + 101293142985556017475649988344042219200453662149554823788707729870531x + 1339528345709395891100601544080319508719136732164912389838408109507.

IV.3.3 Remarques

a. Groupe de monodromie

Nous pouvons assez facilement calculer le groupe de monodromie de ces arbres ; pour les arbres irréductibles c'est le groupe alterné (pour A(k) et C(k) avec k pair) ou le groupe symétrique (pour B(k) et les autres A(k) et C(k)).

Si nous notons G_N le groupe engendré par les deux permutations (1,2,...,N) et (1,2,3), ce groupe est _N. si N est pair et A_N si N est impair. Nous montrons ci-dessous que le groupe de monodromie de tout Y-arbre irréductible contient G_N, et la signature de ₀ et ₁ permet de conclure.

Pour les Y_1,1,N-2, la permutation est un cycle de longueur N, par exemple (1,2,...,N) et la permutation ₀² est alors le cycle (1,2,3). Pour les Y_2,2,2k+1, si = (1, 2, ... , 2k+5), alors ₀² est le cycle (1,3,5). Comme la longueur de est impaire, ² = (1, 3, 5, ... ) est aussi un cycle de longueur 2k+5. On voit d'ailleurs que cette construction ne marche pas avec les Y_2,2,2k, pour lesquels la longueur du cycle de est un nombre pair. Ce sont des Y-arbres de type D dont le groupe de monodromie est le carré du groupe de monodromie de Y_1,1,k.

b. Les arbres Y_1,1,2k+1

Pour k < 13, le nombre premier 2 ne se ramifie pas dans le corps des modules. Cette particularité n'a pas de preuve élémentaire.