de valence 3 est en 0 et le
sommet de valence 1 est en 1.
Nous fixons donc pa = 0 et pb = -1.
Le fichier dessins.mp ci-dessous définit la procédure systeme qui calcule les équations du système III.3 à partir de la factorisation des polynômes P, Q et R.
La commande gbasis du package grobner résout ensuite ce système. La solution se présente sous la forme d'une liste dont chaque élément décrit une composante irréductible, sous forme triangulaire.
systeme := proc (Pv, Qv, Rv)
local v, P, Q, R, P0, Q0, R0, P1, Q1, R1,
eq0, eq1, sys, i;
description `Calcul pour un dessin de genre 0`;
P:=mul(Pv[i*2-1]^Pv[i*2],i=1..(nops(Pv)/2));
Q:=mul(Qv[i*2-1]^Qv[i*2],i=1..(nops(Qv)/2));
R:=mul(Rv[i*2-1]^Rv[i*2],i=1..(nops(Rv)/2));
v:=degree(P);
P0:=mul(Pv[i*2-1],i=1..(nops(Pv)/2));
Q0:=mul(Qv[i*2-1],i=1..(nops(Qv)/2));
R0:=mul(Rv[i*2-1],i=1..(nops(Rv)/2));
P1:=factor(diff(P,x))*P0/P:
Q1:=factor(diff(Q,x))*Q0/Q:
R1:=factor(diff(R,x))*R0/R:
eq0:=collect(P1*R0-P0*R1-v*Q/Q0,x):
eq1:=collect(Q1*R0-Q0*R1-v*P/P0,x):
sys:=[coeffs(eq0,x),coeffs(eq1,x)]:
end:
La syntaxe est proche de celle de Maple. Le système est résolu avec la commande gbasis du package groebner. On demande une résolution pour l'ordre lexicographique (LexOrder) qui fournit un système triangulaire.
Dans le fichier dessins.mb ci-dessous, nous devons redéfinissons Factor qui est buggué dans la version 1.3 de MuPAD.
FFactor := proc (pol)
begin
if (pol = 0) or (pol = 1) or (pol = -1)
then pol:
else Factor(pol):
end_if:
end_proc:
MkPol := proc (v)
local p, q, i;
begin
p := 1: q := 1: i := 1:
while i < nops(v) do
p := p * v[i]^v[i+1]:
q := q * v[i]:
i := i + 2:
end_while:
[p,q]:
end_proc:
systeme := proc (Pv, Qv, Rv)
local v, P, Q, R, P0, Q0, R0, P1, Q1, R1,
eq0, eq1, sys, mk;
begin
mk:=MkPol(Pv): P:=mk[1]: P0:=mk[2]:
mk:=MkPol(Qv): Q:=mk[1]: Q0:=mk[2]:
mk:=MkPol(Rv): R:=mk[1]: R0:=mk[2]:
v:=degree(P):
P1:=FFactor(diff(P,x))*P0/P:
Q1:=FFactor(diff(Q,x))*Q0/Q:
R1:=FFactor(diff(R,x))*R0/R:
eq0:=P1*R0-P0*R1-v*Q/Q0:
eq1:=Q1*R0-Q0*R1-v*P/P0:
sys:=[coeff(eq0,[x]),coeff(eq1,[x])]:
end_proc:
Les équations du système sont calculées avec Maple par exemple. Dans la session GB, on calcule d'abord avec tgroebner une base pour l'ordre du degré, qui est ensuite transformée avec totolex en un système triangulaire.
Ce sont les dessins dont la liste des valences est [2n+4; 3 2n 1; 2n+1 12] (voir aussi § IV.3). Il y a 2n+5 inconnues qui sont les coefficients des polynômes P et Q.
Pour fixer la position du dessin dans P1C,
nous imposons la position de deux célibataires :
le sommet de valence 3 est en 0 et le
sommet de valence 1 est en 1.
Nous fixons donc pa = 0 et pb = -1.
Il y a 21 arbres ayant cette liste de valences. Le calcul montre que tous sont conjugués.
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>> read("dessins.mb"):
>> sys:=systeme(
&> [x,3, x-1,1, x^5+pc*x^4+pd*x^3+pe*x^2+pf*x+pg,2],
&> [x^2+qa*x+qb,1, x^6+qc*x^5+qd*x^4+qe*x^3+qf*x^2+qg*x+qh,2],
&> []):
>> time((sol:=groebner::gbasis(sys,LexOrder)));
37000
>> degree(sol[2]);
21
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\ MAPLE / reserved. Maple and Maple V are registered trademarks of
<____ ____> Waterloo Maple Inc.
| Type ? for help.
> read `dessins.mp`;
> sys:=systeme(
> [x,3, x-1,1, x^5+pc*x^4+pd*x^3+pe*x^2+pf*x+pg,2],
> [x^2+qa*x+qb,1, x^6+qc*x^5+qd*x^4+qe*x^3+qf*x^2+qg*x+qh,2],
> []):
bytes used=1000256, alloc=851812, time=0.66
> sol:=grobner[gsolve](sys):
bytes used=2001020, alloc=1179432, time=1.69
bytes used=3001316, alloc=1376004, time=3.17
(...)
bytes used=41264396, alloc=2948580, time=41.59
bytes used=42298668, alloc=2948580, time=41.99
> lprint(degree(sol[1][13]));
21
Il y a 45 arbres ayant cette liste de valences. L'un d'entre eux est le quintuple de B(0). Le calcul montre que les 44 autres sont conjugués.
On a calculé les équations du système avec Maple par exemple.
> read `dessins.mp`; > sys:=systeme( > [x,3, x-1,1, x^8+pa*x^7+pb*x^6+pc*x^5+pd*x^4+pe*x^3+pf*x^2+pg*x+ph,2], > [x^2+qa*x+qb,1, > x^9+qc*x^8+qd*x^7+qe*x^6+qf*x^5+qg*x^4+qh*x^3+qi*x^2+qj*x+qk,2], > []):
La session GB ressemble à ce qui suit.
Grobner Basis Computations (C++ version) (ASAP)
Author:Jean-Charles Faugere *** CNRS & Universite Paris 6/LITP - IBP ***
Working directory /users/grecc/granboul
GB> S1:=-3*ph-20*qk;
GB> S2:=-20*qj-5*pg+4*ph;
GB> S3:=-19+18*pa-20*qc;
GB> S4:=16*pb-17*pa-20*qd;
GB> S5:=14*pc-20*qe-15*pb;
GB> S6:=-20*qf-13*pc+12*pd;
GB> S7:=-11*pd-20*qg+10*pe;
GB> S8:=-20*qh+8*pf-9*pe;
GB> S9:=-20*qi+6*pg-7*pf;
GB> S10:=2*qb*qj+qa*qk;
GB> S11:=4*qb*qi+3*qa*qj+2*qk;
GB> S12:=18*qb-20*pb+17*qa*qc+16*qd;
GB> S13:=-20*pc+15*qa*qd+14*qe+16*qb*qc;
GB> S14:=12*qf+13*qa*qe+14*qb*qd-20*pd;
GB> S15:=-20*pe+11*qa*qf+10*qg+12*qb*qe;
GB> S16:=8*qh-20*pf+9*qa*qg+10*qb*qf;
GB> S17:=8*qb*qg-20*pg+7*qa*qh+6*qi;
GB> S18:=5*qa*qi+6*qb*qh+4*qj-20*ph;
GB> S19:=19*qa-20*pa+18*qc;
GB>
GB> D:=HDMP([qk,ph,qj,pg,qi,pf,qh,pe,qg,pd,qf,pc,qe,pb,qd,qa,pa,qc,qb],INT);
GB> S:List(D)
GB> S:=[S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10,S11,S12,S13,S14,S15,S16,S17,S18,S19];
GB>
GB> g:=tgroebner(S);
(...)
End of modular computation (5.75 sec)
(...)
End of gbasis computation (1.60 sec)!
End of minimal gbasis computation !
a) done in 1.93 sec + 5.75 sec
b) Check that input polynomials are in gbasis ...done in 0.00 sec
c) Check that gbasis is a groebner basis
(...)
End of gbasis computation (17.24 sec)!
c) done in 17.28 sec
GB>
GB> dimension(g)
45
Type: Integer
GB>
GB>
GB> h:=totolex(g);
(...) [94 minutes et 46 Mo]
GB> size(h)
19
Type: Integer
GB> h.19
(...) [un polynôme de degré 45]
Ensuite, ce polynôme est factorisé en 6 minutes et 18 Mo avec Pari-GP. Ses facteurs sont de degré 1 et 44.