Les dessins d'enfants ont été nommés d'après
les remarques de Grothendieck, qui proposait
d'étudier le groupe de Galois absolu
Gal(
/ Q)
au moyen de concepts élémentaires,
si simples qu'un enfant peut les
connaître en jouant [24].
De nombreux mathématiciens ou physiciens
ont en effet joué avec ces concepts (voir par exemple
l'excellent panorama réuni par L. Schneps [38]).
On peut regrouper les propriétés des dessins en deux ensembles : les propriétés combinatoires, et les propriétés géométriques. Les propriétés combinatoires mêlent théorie des groupes et topologie ; les propriétés géométriques mêlent géométrie algébrique ou analytique et arithmétique. Le lien entre ces deux ensembles de propriétés est souvent appelé correspondance de Grothendieck.
Ce chapitre est découpé en trois sections.
La première section sert d'introduction,
la seconde définit explicitement les
dessins d'enfants et les variantes,
la troisième section donne quelques
propriétés sur le corps des modules
d'un dessin, qui facilitent le calcul
de la correspondance de Grothendieck.
Nous commençons par décrire de façon
informelle et peu rigoureuse les
dessins, en présentant rapidement
les deux aspects principaux.
Ensuite, il est nécessaire de rappeler
les nombreuses définitions de combinatoire
et de géométrie qui interviennent
pour une présentation plus complète des dessins.
Nous parlerons des graphes et de leurs
plongements dans une surface : les cartes.
Les cartes ont naturellement une structure
combinatoire et nous rappelerons quelques
faits sur les groupes opérant sur un ensemble.
Nous définirons aussi les revêtements de
variétés, et leur groupe de monodromie.
Nous étudierons plus en détail la sphère.
Après cet inventaire de définitions,
nous explicitons dans la seconde section
les principales propriétés des
dessins d'enfants, qui peuvent être
vus de nombreuses manières.
Évitant le langage des catégories
(avec objets et flèches) nous donnons
des présentations équivalentes, se
correspondant bijectivement,
en commençant par les définitions
combinatoires (variations sur le
thème du graphe) et en continuant
avec les définitions géométriques
(en terme de revêtements).
Nous ferons attention à préciser le
vocabulaire,
car il n'existe pas de terminologie officielle
et chaque auteur adapte le principe des
dessins d'enfants aux buts de son étude.
La troisième section s'intéresse au corps des modules d'un dessin, dont le degré est une bonne estimation de la difficulté de calcul de la correspondance de Grothendieck. L'étude des morphismes de dessins permet de parfois se ramener à un dessin plus simple. L'étude de l'action de Galois et l'énumération des dessins ayant même liste de valence permet d'avoir une borne a priori sur le nombre de conjugués galoisiens.
Nous présentons rapidement
la théorie de la rigidité,
qui permet de
réduire certaines instances du problème
de Galois inverse sur Q(T) au calcul
explicite de la correspondance de
Grothendieck.
Plus généralement, l'action de
Gal( / Q)
sur l'ensemble des dessins peut donner
des indices sur la structure de ce groupe
assez mystérieux.