I. Résolution d'un système algébrique

Nous commençons par énumérer les concepts mathématiques dont nous aurons besoin, en fixant les conventions de notation et en rappelant les propriétés dont nous nous servons. Nous définirons ainsi le problème de la résolution d'un système algébrique, que nous attaquerons de deux façons.

La recherche de bases de Gröbner est l'une de ces approches, c'est l'objet de la seconde section. Nous ne prétendons pas exposer l'intégralité des travaux dans le domaine, ni même une synthèse de ceux-ci, mais nous voulons plutôt donner un aperçu des principes de cette méthode. Nous regarderons en particulier le cas des systèmes de dimension 0. Il s'agit de pouvoir comparer cette méthode algébrique avec notre approche numérique.

La troisième section décrit donc la méthode de résolution numérique, que nous avons utilisée pour les dessins d'enfants. Nous verrons que son inconvénient est qu'elle ne peut prétendre fournir l'ensemble de la solution, ce qui peut devenir un avantage lorsque le système est mal défini. De plus cette approche numérique utilise plus facilement la description géométrique de la solution.

I.1 Notions d'algèbre
I.1.1 Définitions
a. Anneau
b. Idéal
c. Polynôme à une indéterminée
d. Polynôme à plusieurs indéterminées
e. Fonction polynomiale
f. Irréducibilité
g. Corps
h. Extension algébrique
i. Transcendance
j. Polynôme caractéristique, trace et norme
k. Clôture algébrique
I.1.2 Corps de nombres
a. Anneau des entiers
b. Élément primitif
c. Plongements
d. Discriminant
e. Représentation d'un corps de nombres
f. Représentation d'un nombre algébrique
I.1.3 Approximation d'un nombre algébrique
a. Corps métrique
b. Valeur absolue p-adique
c. Places de Q et de ses extensions
d. Complétion
e. Approximation d'un rationnel dans la métrique usuelle
f. Approximation d'un rationnel dans une métrique p-adique
g. Approximation d'un nombre algébrique dans C
h. Approximation p-adique d'un nombre algébrique
I.1.4 Système algébrique
a. Espace affine, projectif
b. Variété algébrique
c. Homogénéisation, déshomogénéisation
d. Idéal engendré
e. Corps de définition
f. Composantes irréductibles
g. Fonctions rationnelles
h. Systèmes équivalents
i. Dimension de la solution
j. Résolution d'un système algébrique
k. Exemple de système, pour un dessin très simple
l. Exemple pour un dessin plus élaboré
I.2 Calcul de bases de Gröbner
I.2.1 Un calcul formel sur les polynômes
a. Étapes d'une résolution par bases de Gröbner
b. Valeur des résultats obtenus
c. Affine ou projectif
I.2.2 Réduction dans K[X]
a. Terme dominant d'un polynôme
b. Principe
c. Le cas des polynômes à une variable
d. Le cas linéaire
e. Généralisation
f. Ordre sur les monômes
g. Calcul du reste
h. Notion de base de Gröbner
I.2.3 Réduction de S-polynômes
a. Les S-polynômes
b. Calcul d'une base de Gröbner
c. Choix de l'ordre des monômes
d. Dimension 0 et systèmes triangulaires
I.3 Méthode numérique
I.3.1 Un calcul approché dans un corps de nombres
a. Méthode en trois étapes
b. Valeur des résultats obtenus
I.3.2 Convergence
a. Algorithme de Newton
b. Choix de la norme
c. Dans Qp
d. Dans C
I.3.3 Choix de l'approximation initiale
a. Problématique
b. Difficulté du cas général
c. Résolution successives de problèmes proches
I.3.4 Algébrisation
a. Conditions
b. Dépendance algébrique, pour une solution de dimension 0
c. Utilisation de l'algorithme LLL
d. Précision nécessaire
e. Solution de dimension 1