Truy lùng dấu vết kẻ phản bội

Trước tiên, chúng ta hãy đề cập đến vấn đề thứ nhất.

Đặt vấn đề: Năm 2024, các thành viên của diễn đàn toán học đã miệt mài chọn lựa và tổng hợp 10000 bài viết hay nhất của diễn đàn toán học. Đó là sự tổng hợp các bài viết xuất sắc kỷ niệm 20 năm ngày diễn đàn toán học ra đời. Những thành viên của diễn đàn muốn góp phần đẩy mạnh sự phát triển các tài năng toán học bằng cách lập quĩ "tuổi trẻ sáng tạo" của diễn đàn. Mỗi người mua đĩa tổng hợp này sẽ đóng góp 100 đồng (khi đó bằng 1000 USD) cho quĩ "tuổi trẻ sáng tạo".

Tuy nhiên, lại có nhiều kẻ can tâm làm điều xấu: mua đĩa của diễn đàn rồi sản xuất các đĩa giả và bán ra ngoài!

Mục đích: Nhiệm vụ của đội "bảo vệ công lý" của diễn đàn là làm sao từ một đĩa lậu có thể truy lùng lại kẻ nào đã phát tán các đĩa giả!

Bạn đã bao giờ tìm hiểu đến vấn đề thực tế này chưa? Dù chưa hay có, chúng ta hãy thử đề xuất các phương án để thực thi nhiệm vụ truy lùng này!

Trước hết chúng ta hãy xem xét vấn đề đơn giản: Đĩa CD giả do chỉ 1 kẻ phản bội sản xuất. (Vấn đề tiếp theo: Đĩa CD giả do nhiều kẻ phản bội cấu kết với nhau sản xuất)

Chúng ta sẽ chẳng làm gì được nếu kẻ phản bội đó không nhét cái đĩa lấy cắp đấy vào máy tính và vô tình khởi động một chương trình "an ninh"... — nemo

Chú nemo có 2 điểm chưa thể trở thành cảnh sát điều tra :D

- Một là đánh giá thấp khả năng điều tra của mình, không có gì là ta không làm được cả.
- Hai là đánh giá thấp khả năng của kẻ phản bội, không có gì là hắn không thể làm cả.

Tuy vậy chú có tương lai sẽ trở thành một chiến sỹ chuyên nghiệp vì đã nêu ra rất nhiều phương án thú vị có thể bắt được những tội phạm... ngây thơ :)

Chúng ta hãy xem xét rằng kẻ phản bội rất chuyên nghiệp. Đối với chúng, cái đĩa CD của ta chỉ như một chuỗi dữ liệu 0,1 và do đó để sao chép thì chúng có thể tự tạo ra những chương trình riêng để sao chép từng bít 0,1 mà không cần dùng bất kể chương trình gì của chúng ta.

Ngoài ra các vấn đề password cũng không ăn thua, kẻ gian có thể đưa password hợp lệ vào, mở file, lấy dữ liệu rồi sao chép toàn bộ dữ liệu sang đĩa khác. Tất cả các thao tác này hắn ta đều thực hiện mà không cần chạy bất cứ chương trình nào của chúng ta.

Chúng ta hãy giả thiết ở mức cao nhất rằng kẻ phản bội có thể sao chép dữ liệu thoải mái. Vấn đề là khi bắt được một bản sao chép giả, làm thế nào ta có thể lần lại dấu vết của chúng.

nemo nói là không thể là đánh giá sai cả tiền bối của chúng ta. Một trăm năm trước, khi mà thế giới còn chưa có các máy móc hiện đại như ngày nay, các bậc tiền bối đã nghĩ ra cách bán những bảng tính logarithm với những kỹ thuật thông minh hòng có thể truy ra kẻ sản xuất phi pháp. Mọi người đã từng nghe cha ông chúng ta kể lại chưa nhỉ?

Kỹ thuật "Đánh dấu vân tay" (Fingerprinting technique)

Bây giờ RC trình bày kỹ thuật của các bậc tiền bối truyền lại từ vài trăm năm trước:

Cách ta hàng vài thế kỷ người ta đã lập ra những bảng tính logarithm rất đồ sộ để tính log(x) với x chạy từ 1 đến hàng vài chục nghìn. Một bảng tính công phu như vậy ắt hẳn không muốn bị sao chép bất hợp pháp. Muốn vậy, người ta đã đánh dấu vào mỗi bảng tính một đặc trưng riêng nhằm hai mục đích:

1. Mỗi bảng tính có đặc trưng khác biệt riêng mà không làm ảnh hưởng đáng kể đến nội dung của nó. Nếu ta bán một bảng tính cho Nemo thì đặc trưng đó sẽ gắn với Nemo và do vậy nếu Nemo copy và đem bán cho leoteo thì bản giả của leoteo vẫn sẽ mang đặc trưng của Nemo và do vậy, chỉ cần bắt 1 bản giả do Nemo phát tán, ta có thể lần lại dấu vết kẻ phát tán là... Nemo!

2. Đặc trưng riêng này cần phải làm theo cách nào để không thể bị phát hiện. Tức là ta phải đánh dấu một đặc trưng duy nhất lên bảng tính để Nemo không thể phát hiện được ta đã đánh dấu vào đâu. (Ngược lại, nếu Nemo có thể phát hiện thì Nemo có thể sửa đặc trưng đó khác đi để xóa dấu vết). Việc đánh dấu thỏa mãn yêu cầu này gọi là đánh dấu ẩn (watermarking).

Quá trình làm thỏa mãn 2 điều kiện trên được gọi là quá trình đánh dấu vân tay lên sản phẩm (Fingerprinting). Các cụ tiền bối đã làm thế nào?

Các cụ đã khéo léo đánh dấu vào bảng tính bằng cách thay đổi chút xíu giá trị kết quả bảng tính: thay đổi chữ số thứ 10 sau dấu phẩy chẳng hạn không làm thay đổi nhiều đến độ chính xác.

Cụ thể: Nếu các cụ định bán 1000 bản thì các cụ sẽ chọn ra 3 giá trị trên bảng tính: chẳng hạn với x₁ = 17, x₂ = 567, x₃ = 8999. Khi Nemo đến mua 1 bảng tính của các cụ thì các cụ sẽ bán cho Nemo bảng tính với số hiệu 931 (c₁ = 9, c₂ = 3, c₃ = 1) chẳng hạn. Một cách ngầm định, giá trị bảng tính log(x) sẽ được giữ nguyên trừ ba giá trị của log(x₁), log(x₂), log(x₃):

- Chữ số thứ 10 sau dấu phẩy của log(x₁) sẽ bị gán giá trị c₁ = 9.
- Chữ số thứ 10 sau dấu phẩy của log(x₂) sẽ bị gán giá trị c₂ = 3.
- Chữ số thứ 10 sau dấu phẩy của log(x₃) sẽ bị gán giá trị c₃ = 1.

Rõ ràng Nemo có thể dùng bảng tính mình mua không vấn đề gì. Nhưng một khi Nemo copy và bán cho Leoteo thì chỉ cần kiểm tra giá trị ở ba vị trí x₁, x₂, x₃ là ra số hiệu 931 gắn với người đã phát tán - Nemo.

Cách đánh dấu vân tay trên đạt độ an toàn (Secure Fingerprinting) vì khi mua về Nemo không có cách nào biết được người bán đã đánh dấu vào đâu, tức là không thể biết được vị trí x₁, x₂, x₃.

Tuy nhiên bạn có thấy là phương pháp trên sẽ không còn an toàn nếu như Nemo mua 1 bản, anh Badman mua 1 bản rồi kết hợp với nhau để tạo ra 1 bản copy giả bán cho leoteo?

Câu hỏi:
1. Bạn hãy tìm ra chỗ hổng, tức là chỉ ra rằng việc kết cấu có thể xóa dấu vết.
2. Bạn hãy đề xuất cách khắc phục:
   a. Trước hết bạn hãy đề xuất 1 cách đơn giản để sự kết cấu giữa nhiều kẻ phản bội không thể tạo ra dấu vết "giả" quy tội cho một người vô tội.
   b. Bạn hãy đề xuất một cách giải vấn đề: từ một bản copy giả, chúng ta sẽ lần ra dấu vết của 1 trong các kẻ phản bội.

Nemo đã bắt đầu có dáng dấp của kẻ phạm tội chuyên nghiệp rồi đấy :D

Ý kiến của Nemo đánh đúng vào điều quan trọng: Đó là phải đánh dấu thế nào để người mua không biết ta đánh dấu vào đâu! Thực ra ngày trước các cụ phải giấu kín thông tin là "tôi đánh dấu vào chữ số thứ 10 sau dấu thập phân của một số giá trị". Điều đó có lẽ là bí mật của một vài cụ bô lão thôi chứ không nói cho ai biết cả.

Ngày nay thì ta có thể làm thực tế hơn, không dấu giếm gì như các bậc tiền bối :D. Ta có thể có nhiều kiểu đánh dấu khác nhau. Ví dụ: sự khác biệt rất nhỏ trong vị trí các từ trên dòng - chữ "for" của dòng thứ 2 lệch sang trái 1 chút so với dòng bên trên. Hai dòng này có thể coi là hoàn toàn giống nhau nhưng chữ "for" đã bị đánh dấu, và nếu ta chỉ nhận được 1 phiên bản thì ta không thể nào phát hiện được là nó đã bị đánh dấu!

Tất nhiên việc chống làm giả chỉ áp dụng để chống photocopy tài liệu bất hợp pháp, chống sao chép đĩa bằng thủ thuật sao từng bít,... Nếu kẻ gian ngồi đọc rồi đánh lại toàn bộ văn bản theo cách của nó thì ta có lẽ đành bó tay.

Ta từ đây đặt giả thiết rất thực tế rằng: Dữ liệu của ta là một chuỗi nhị phân 0,1. Trên đó ta có thể đánh dấu 1 số vị trí mà từ 1 bản thì không ai có thể phát hiện được. Kẻ phản bội có thể thay đổi tùy ý trạng thái các bít (từ 0 sang 1 và ngược lại) trên văn bản theo ý của chúng trước khi tán phát.

Kỹ thuật đánh dấu trực tiếp trên văn bản bằng cách modify tại 1 vài nơi nào đó của văn bản thường rất dễ bị phá vỡ. Vì kẻ làm giả chỉ cần so sánh 2 phiên bản để có thể phát hiện ra chỗ đánh giấu. — queofr

Đây chính là lời giải câu hỏi số 1 ở trên: việc kết cấu có thể xóa dấu vết! Như vậy chúng ta có thể quan tâm đến câu hỏi thứ 2!

Đơn giản kẻ phản bội chỉ cần sử dụng "Blind Attack" có nghĩa là thay đổi thông tin một cách ngẫu nhiên ở tất cả mọi nơi trên văn bản miễn là văn bản vẫn còn giữ được giá trị. — queofr

Chỗ này mình chưa đồng tình: Thay đổi thông tin một cách ngẫu nhiên cũng chỉ là hòng thay đổi trúng chỗ "bị đánh dấu". Một ví dụ là nếu như mình đánh 10 dấu chẳng hạn thì như vậy cần phải thay đổi tổng số 1/10 phần của văn bản để chúng 1 dấu, như vậy kể như văn bản bị thay đổi quá nhiều. Hơn nữa dù có tìm được 1 dấu đi chăng nữa thì khả năng bị phát hiện vẫn rất lớn.

Đúng là với mỗi loại hình ta có một phương án khác nhau, file dữ liệu khác, file chạy khác,... Các hạn chế bạn đưa ra rất chuẩn xác và cần xem xét trong các trường hợp cụ thể. Tuy vậy giả thiết trên mình đưa ra như trên coi như tính đến trường hợp xấu nhất vì không hạn chế khả năng của kẻ gian.

Do vậy, chúng ta tiếp cận câu hỏi thứ 2: Sự cấu kết có thể làm những kẻ phản bội phát hiện ra nhiều dấu (tức các vị trí trên văn bản ta chọn để đánh dấu). Hãy tìm phương pháp để khắc phục việc này. RC ghi lại câu hỏi đã đặt ở trên để tiện việc theo dõi chủ đề:

Câu hỏi 2: Bạn hãy đề xuất cách khắc phục sự cấu kết:
   a. Trước hết bạn hãy đề xuất 1 cách đơn giản để sự kết cấu giữa nhiều kẻ phản bội không thể tạo ra dấu vết "giả" quy tội cho một người vô tội.
   b. Bạn hãy đề xuất một cách giải vấn đề: từ một bản copy giả, chúng ta sẽ lần ra dấu vết của 1 trong các kẻ phản bội.

Hình thức hóa vấn đề: Nếu ta đánh n dấu thì số các từ mã sẽ là 2ⁿ. Ta sẽ chọn lựa một số trong các từ mã này để sử dụng. Tập các từ mã ta dùng được gọi là code W. Ta gọi F(W) là tập các từ mã sinh ra được từ tập các từ mã W.

F(W) gồm tất cả từ mã thỏa mãn điều kiện: tại vị trí i (i = 1,...,n), nếu mọi từ trong W đều có giá trị là bít b, thì nó cũng nhận giá trị bít b; ngược lại, nếu có 2 từ trong W có giá trị là 0,1 thì nó có thể nhận giá trị 0,1 hoặc ?.

Ví dụ: W = {010, 100} thì F(W) = {000, 010, 100, 110, ?00, ?10, 0?0, 1?0, ??0}.

Điều kiện bảo vệ người vô tội: Với mọi tập con W của code C: F(W) ∩ C chỉ là những phần tử trong W, do đó không một ai vô tội bị bọn chúng qui kết.

Câu hỏi 3: Hãy thiết kế code C để thỏa mãn điều kiện trên. Chú ý rằng ta không yêu cầu độ hiệu quả mà chỉ yêu cầu sự đúng đắn mà thôi.

@Badman: Tất nhiên nhà sản xuất không thể đánh 1 bít dấu được rồi, vì nếu như vậy thì chỉ phát hành được tối đa là 2 CD mà thôi. Do vậy, RC xin phép bỏ qua trường hợp này.

Trường hợp tổng quát ta có thể coi số dấu nhà sản xuất sử dụng là tất cả các vị trí ở đó tồn tại 2 phiên bản có giá trị khác nhau. Tất nhiên nhà sản xuất phải có cách chọn Code phù hợp để sự cấu kết của nhiều kẻ gian không thể tìm được tất cả các dấu.

Nếu nhà sản xuất cấu kết với kẻ gian và đưa hết các đĩa cho kẻ gian trước khi phát hành thì... bó tay. Nhưng trong trường hợp đó nhà sản xuất không cần áp dụng kỹ thuật điều tra cũng có thể biết... chính mình là kẻ gian :)

Như vậy ta có thể giả thiết là nếu 1 bản CD giả được xây dựng từ 3 bản CD do nhà sản xuất cung cấp thì cả 3 người sở hữu 3 bản CD này đều có tội, không thể viện lý do này nọ để chốn tội hết cả. Vấn đề đặt ra là liệu từ 3 bản CD này, những kẻ phản bội có thể tạo ra 1 bản CD tương ứng với từ mã của một người vô tội hay không?

Đáp án (tuy không hiệu quả) của việc chống đổ tội:

Giả sử nhà sản xuất muốn bán n đĩa CD, họ sẽ dùng Code C₀(n) có độ dài mỗi từ là n bít. Code C₀(n) sẽ bao gồm n từ mã, mỗi từ mã gồm n-1 bít 0 và duy nhất 1 bít 1.

Ví dụ cho n = 4: C = {0001, 0010, 0100, 1000}.

Ta thấy ngay rằng code C₀(n) là an toàn trước sự cấu kết của n-1 kẻ phản bội theo nghĩa: n-1 kẻ không thể quy tội cho người thứ n còn lại.

Ta thấy ngay 2 nhược điểm:
1. Độ dài code lớn. Ta mong muốn sẽ có một Code với độ dài là một hàm theo log(n) chứ không phải theo n.
2. Sự cấu kết của 2 kẻ sẽ xóa toàn bộ dấu vết.

Như vậy, trước hết ta sẽ đề cập đến vấn đề đầu tiên:

Câu hỏi 4: Giảm độ dài Code C₀(n) để sự cấu kết không quy tội cho người vô can. Điều kiện giảm nhẹ:
   a) Ta có thể xét trường hợp số kẻ cấu kết không vượt quá một mức c nào đó.
   b) Việc chống đổ tội mang nghĩa xác suất tức là có thể: sự cấu kết của c kẻ phản bội không thể đổ tội cho người vô can với xác suất sai epsilon.

Kẻ phản bội không nhất thiết phải tìm cách để vu khống cho 1 người vô tội. Mục đích của kẻ phản bội là tạo ra được các CD giả và che lấp dấu vết... Nếu trả lời được câu hỏi của RC thì chỉ mới giải quyết được phần "không gây hại cho người cô tội" chứ chưa nói gì về việc tìm tội phạm. — BadMan

Anh Badman đọc lại câu hỏi 2 đi chứ, mình đang giải quyết vấn đề a): "chống đổ tội". Câu hỏi 3 đề cập đến vấn đề này dưới dạng hình thức. Vấn đề "truy lùng dấu vết" tạm thời chưa đề cập tới. Mình đi từng bước nhỏ thôi, hôm qua anh chả trách mọi người chạy nhanh quá còn gì :) Nhưng nếu anh có giải pháp truy lùng ngay thì rất tuyệt!

Ngoài ra thì mình luôn luôn xét văn bản như chuỗi nhị phân.

Cả hai câu hỏi của Madness đều rất thú vị.

1. Trong việc truy tìm thủ phạm: F(A) và F(B) chưa chắc là không giao nhau, và nếu giao nhau thì chưa chắc điểm giao là x. — madness

Điều kiện của việc chống đổ tội là F(W) ∩ C chỉ gồm các phần tử trong W. Vậy phần giao nhau trong code chính là W, và do đó chắc chắn phần giao nhau là x.

Như thế thì khi một dĩa giả có dấu t ≠ x, ta thực hiện hàm ngược F⁻¹(t) thì được 2 trường hợp là {x,y} và {x,z}, như thế sẽ dẫn tới việc bắt sót chăng? Tức là chỉ bắt được x, mà y hoặc z có thể lọt lưới? — madness

Việc truy lùng chỉ xét đến bắt 1 tên thôi chứ không hy vọng bắt được tất cả các tên. Trong thực tế bắt được 1 tên có thể dùng các biện pháp "nghiệp vụ" để bắt các tên khác. Việc bắt tất cả các tên đã cấu kết nói chung là không thể. Giả sử có 10 tên cấu kết với nhau nhưng sau khi xem xét, phân tích thông tin nếu bọn chúng chỉ chọn ra 8 bản thực sự có giá trị để tạo ra 1 bản copy mới thì không thể có cách nào bắt được 2 tên tuy có tội nhưng rõ ràng không có dấu vết.

b. Độ lớn của code C (số phần tử trong C). Code C₁ ta chọn ra có 10 từ mã, code C₂ có 100 từ mã, thì code C₂ được cho là hiệu quả hơn C₁ chăng? — madness

Tất nhiên như vậy thì Code C₂ hiệu quả hơn rồi! Hiệu quả chính là 1 trong các vấn đề cốt lõi. Và quả thực khi đánh giá hiệu quả thì 2 vấn đề quan trọng nhất đúng như madness đề cập: độ dài biểu diễn Code C và thời gian cần thiết để "truy lùng".

Điều kiện chống đổ tội này, mad nghĩ kỹ lại thì thấy nó có một lỗ hổng... Ví dụ như có 2 tập thủ phạm (không nhất thiết giao nhau) A và B mà F(A) và F(B) có một điểm chung nằm ngoài C, thế thì khi dĩa giả chứa điểm chung ngoài C đó, làm sao có thể biết tập thủ phạm 1 hay tập thủ phạm 2 phạm tội? — madness

Hi madness, điều kiện chống đổ tội đúng đấy chứ? F(A) ∩ F(B) chứa từ mã X ngoài code C chẳng hạn thì có sao đâu? Vì khi đó X không tương ứng với bản hợp lệ nào cả (mỗi bản hợp lệ tương ứng một từ mã trong code C).

Nếu muốn bác bỏ điều này thì phải CM rằng nếu A, B không giao nhau thì F(A) và F(B) cũng không giao nhau. — madness

Hay đấy, đây là điều kiện cần cho việc lập mã C để có thể truy lùng lại dấu vết kẻ phạm tội. Mọi người nghĩ tiếp thử xem.

Ý của mad là trong trường hợp này sẽ không xác định được thủ phạm... tập thủ phạm A có thể đổ thừa: "Ứ ừ, em không làm chuyện này, tụi B hợp tác có thể tạo dĩa giả như thế này!" — madness

Vấn đề madness nói cũng là một vấn đề rất thú vị đấy. Đó là "chống chối tội". Tôi đã chỉ ra là anh có tội thì cấm mà có cãi. Nhưng đó thuộc về lĩnh vực "truy lùng" rồi. Chống đổ tội chỉ hiểu theo ý nghĩa thông thường "cả hội xúm vào đổ tội cho 1 người lương thiện", tức là "từ mã mà cả hội hợp lại tạo ra trùng với từ mã của 1 người không dính dáng gì tới hội đấy cả".

Cái phần "truy lùng" có cả 2 mặt đúng như madness dự đoán đấy: phản ví dụ và chứng minh. Sẽ không có cách truy lùng chính xác 100% nhưng có thể có thuật toán xác suất để truy lùng với xác suất (100-epsilon)% với epsilon nhỏ bao nhiêu cũng được. Đấy cũng là lý do anh đưa ra (một cách không chặt chẽ) khái niệm thuật toán xác suất.

Giữa thực tế và lý thuyết luôn là một khoảng cách rất xa và các phương pháp lý thuyết rất khó có thể giải quyết hoàn hảo tất cả các khía cạnh của thực tế. Các nghiên cứu lý thuyết gồm rất nhiều mặt và mỗi nghiên cứu thường tiếp cận sâu về một mặt nào đó mà làm nhẹ đi các khía cạnh khác.

Ví dụ rằng, trong việc xây dựng phương pháp đánh dấu vân tay fingerprinting như collusion secure code, người ta chú trọng đến việc nếu nhiều kẻ cấu kết với nhau để tạo code giả thì làm thế nào có thể truy lùng lại những kẻ đã cấu kết. Khi đó, người ta làm giảm đi khía cạnh của watermarking và giả thiết rằng watermarking đã được giải quyết.

Chủ đề của mình nhấn vào khía cạnh "truy lùng" và do vậy làm nhẹ khía cạnh watermarking. Rất tiếc là do hạn chế về mặt thời gian mà ngay cả khía cạnh chính mình vẫn chưa hoàn thành. Hy vọng werty98 có thể dẫn dắt mọi người đến những khía cạnh, những hiểu biết mới của vấn đề! Chào mừng werty98 trên đường chạy tiếp sức!

Điểm yếu của cryptography là một khi dữ liệu đã được mở khóa rồi thì nó không còn được bảo vệ nữa. Để khắc phục khiếm khuyết này, người ta nghĩ ra watermarking. — werty98

Mình không làm về watermarking nhưng mình không đồng ý lắm với quan điểm này của bạn. Cryptographie và watermarking tiếp cận đến 2 vấn đề cơ bản là khác nhau nên mình không nghĩ watermarking sinh ra là để khắc phục khiếm khuyết nào đó của cryptographie. Một trong những khác nhau lớn nhất là về yêu cầu của sự an toàn thông tin:

- Cryptographie (encryption) nhắm đến bài toán một người muốn truyền một thông điệp "tuyệt mật" tới 1 hoặc 1 số người khác. Thông tin thường yêu cầu tuyệt mật và do vậy Cryptographie hướng tới bài toán không để lộ một chút thông tin nào. Kẻ địch chỉ cần giải mã được 1 phần nhỏ thông tin - cụ thể nếu nó giải mã được chữ "Đánh" trong thông điệp "Đánh vào lúc nửa đêm" thì kế hoạch có lẽ sụp đổ vì mất tính bất ngờ!

- Watermarking tiếp cận bài toán 1 nhà cung cấp muốn quảng bá một nội dung mà đảm bảo được vấn đề bản quyền. Yêu cầu chung là ngăn chặn những kẻ gian tái sản xuất được "hầu như toàn bộ" thông tin.

Đối với ý kiến về "quả trứng và con gà" của bạn, mình cũng không thông. Mình xem đó không phải là mâu thuẫn mà chỉ như một bài toán tối ưu 2 chiều bình thường: một chiều về phương diện nén và một chiều về phương diện watermarking. Trội về phương diện này thì lại yếu về phương diện kia và vấn đề có thể đưa về việc tìm một biện pháp khả thi cho cả hai (tradeoff). Rất mong bạn tiếp tục giới thiệu kỹ hơn về watermarking!

Vấn đề "trong tuần" đã lâu hàng "mấy tháng" nên chắc mọi người cũng không cần tập trung vào vấn đề khởi đầu nữa. Mọi người có thể chuyển sang pha thảo luận về mọi mắc mớ riêng tùy ý.

Đối với vấn đề đầu tiên về "truy lùng dấu vết", tuy chưa đi đến lời giải cụ thể nhưng hy vọng bản thân vấn đề đã đáp ứng được phần nào tinh thần ở bài viết khởi đầu: "(...) sau cuộc chơi mỗi người có thêm một sự thỏa mãn riêng, một sự mắc mớ riêng cho mình."

RC