III.2 Autres méthodes

III.2.1 Méthodes directes

a. La projection d'une courbe elliptique sur la première coordonnée  

Toute courbe de genre 1 est une courbe elliptique E, dont l'équation peut s'écrire Z Y² = V(X, Z) où V est un polynôme homogène de degré 4 ayant quatre racines sont distinctes. Nous avons alors le revêtement _V : E P₁   (X : Y : Z) (X : Z) qui a quatre valeurs de ramification d'ordre 2, l'ensemble R des racines de V.

Si nous composons ce revêtement avec une fonction de Belyi de P₁ dans P₁ telle que (R) soit inclus dans {0, 1, }, nous obtenons un revêtement de genre 1, ramifié au dessus de {0, 1, }.

Si la liste des valences du revêtement est [r₁, ..., r_c; p₁, ..., p_a; q₁, ..., q_b], on obtient la liste des valences du revêtement o en doublant les valences correspondant à R et répétant les autres. Par exemple, le double de [3; 2 1; 2 1] est [6; 42; 222] le double de [3; 2 1; 2 1] est [6; 42; 411] et le double de [4 3; 3 2 2; 2 2 2 1] est [8 6; 4 4 3 3; 2 2 2 2 2 2 1 1].

C'est la méthode utilisée par Birch [7] pour la plupart de ses exemples de dessins de genre 1, sous la forme du double d'un dessin de genre 0.

b. Construction de Belyi 

Il ne s'agit pas ici de trouver la fonction de Belyi d'un dessin dont on connaît les degrés de ramification ou la monodromie, mais de trouver la fonction de Belyi d'un dessin de genre 0 pour lequel les points et sont à une position prédéfinie. Plus précisément, nous cherchons une fonction non ramifiée hors de {0, 1, }

(x) = _i=1...n (x-_i)^r_i

où les _i sont fixés dans P₁ et distincts et les r_i sont des inconnues dans Z. Par construction, les points de ramification de cette fonction sont les zéros et pôles de sa dérivée logarithmique ' / . Belyi [6] propose une solution dans le cas où les _i sont entiers.

On calcule les déterminants de Vandermonde W = Det_VdM(₁, ₂, ... , _n) et w_i = (-1)^i-1Det_VdM(₁, ... , [_i] , ... , _n), où n > 1 et où [_i] signifie qu'on omet _i. Ils sont liés par l'identité

_i=1...n w_i/(x-_i) = W _i=1...n 1/(x-_i)

d'où on déduit par exemple que _i=1...n w_i = 0. Or il se trouve que '(x) / (x) = _i=1...n r_i / (x-_i). Si les _i sont entiers, les w_i aussi, ils permettent alors de construire .

III.2.2 Séries de Puiseux

Nous commençons par étudier localement la fonction de Belyi. Nous choisissons une valeur de ramification parmi {0, 1, }, par exemple 0, et un point (de ramification) p 0 d'ordre n. Un voisinage de p dans la surface X est par exemple un disque centré en p, dans lequel la fonction de Belyi est équivalente à xⁿ. Sa réciproque est donc équivalente à une racine n-ième.

Pour reformuler ceci de façon plus canonique, nous introduisons comme dans [17] des uniformisantes _f,n pour chaque fléchette f. La réciproque de la fonction de Belyi peut alors être exprimée localement comme une série en _f,n.

Nous avons donc 6N formules locales. L'égalité de ces séries en des points qui sont dans l'intersection de leurs domaines de convergence peut être utilisée pour en déduire une description de X et de la fonction de Belyi.