Interrogation écrite Nombres parfaits, nombres amis

Durée 1 heure ; tous documents autorisés. Deux nombres entiers a et b sont amis si et seulement si la somme des

diviseurs stricts de a vaut b et réciproquement si la somme des diviseurs stricts de b vaut a. Le nombre entier a est parfait s’il est ami avec lui-même.

(d est un diviseur strict de n s’il existe un entier k > 1 tel que n = kd.) Exemple : 220 et 284 sont des nombres amis.

– les diviseurs stricts de 220 sont 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 et 110 dont la somme est 284

– les diviseurs stricts de 284 sont 1, 2, 4 et 142 dont la somme est 220.

1

Écrire un programme Pascal qui lit un entier n, calcule la somme des diviseurs stricts de n et l’affiche à l’écran.

2

Modifier ce programme pour en faire une fonction Pascal ayant un argument entier et donnant un résultat entier, nommée SommeDiviseurs. Cette fonction ne saisit rien au clavier, n’affiche rien à l’écran.

3

Utiliser cette fonction dans un programme qui affiche la liste de tous les nombres parfaits inférieurs à un nombre N saisi au clavier.

4

Utiliser la fonction SommeDiviseurs dans un programme qui affiche la liste de tous les couples de nombres amis inférieurs tous les deux à un nombre N saisi au clavier.