1   Arithmétique flottante

1. Étude théorique
   On se donne quatre entiers : une base B, une longueur de mantisse n et deux exposants extrémaux E_min et E_max. Habituellement, B≥2, n≥2 et E_min<0<E_max. L'écriture en virgule flottante d'un réel x est ε_x . x₀,x₁...x_n-1 B^e_x avec ε_x = ±1, E_min≤ e_x ≤ E_max et 0≤ x_i<B, si on a x = ε_x(∑_i=0^n-1x_iB^-i)B^e_x. On appelle mantisse la valeur f_x = ∑_i=0^n-1x_iB^-i.
   1. Bien évidemment, tous les réels ne sont pas représentables exactement. Calculer quels sont le plus petit et le plus grand réels positifs représentables exactement.
   2. L'addition, soustraction, multiplication, ... de deux réels exactement représentables n'est pas toujours un réel exactement représentable. On décide par exemple d'arrondir au plus grand réel exactement représentable inférieur au résultat.
      
      Que donne l'algorithme suivant ? On suppose que E_max est suffisamment grand pour éviter les overflow.
      • a ← 1.0     b ← 1.0
      • tant que ((a + 1.0) - a) - 1.0 == 0 faire a ← a + a
      • tant que ((a + b) - a) - b <> 0 faire b ← b + 1.0
      • imprimer b
2. Norme IEEE 754
   Cette norme étend la notation précédente comme suit : la base B=2 et on note f_x = ∑_i=1ⁿ x_i 2^-i. L'exposant e_x peut varier dans l'intervalle [E_min-1, E_max+1].

   Exposant	Mantisse	Valeur
   Emin-1	fx=0	±0
   Emin-1	fx≠0	± fx 2Emin
   Emin≤ ex ≤ Emax		± (1+fx) 2ex
   Emax+1	fx=0	±∞
   Emax+1	fx≠0	NaN

   float	double
   32 bits	64 bits
   n = 23	n = 52
   Emin=-126	Emin=-1022
   Emax=+127	Emax=+1023

   Les arrondis des opérations peuvent se faire de plusieurs façons : au plus proche, vers 0, vers le haut ou vers le bas.
   1. Comparer cette représentation avec la représentation précédente.

2   Calcul d'une somme

1. Série harmonique
   1. On définit la suite u₀=0 et u_n=u_n-1+1/n Montrer que le calcul de cette suite en représentation flottante converge.
   2. Trouver une astuce pour calculer assez précisément ∑_n=1^N 1/n. Évaluer la précision du résultat.
2. Encadrement du résultat
   1. Décrire des techniques de calcul d'un encadrement de ∑_n=1^N a_n.
   2. En déduire quelques considérations sur la représentation d'un réel par un intervalle.
3. Double précision
   On représente un réel par une somme de deux flottants. On veut normaliser A + B sous la forme X + x de telle sorte que la valeur absolue de x soit la plus petite possible. On suppose que les opérations sur les flottants sont arrondies au plus proche.
   1. Exprimer la condition de normalisation sous la forme |x|≤ 1/2α(X).
   2. Trouver comment faire cette normalisation en six opérations dans le cas général et en trois opérations (additions et soustractions) si |B| est suffisamment petit.
   3. En déduire comment faire une addition en vingt opérations.
   4. Étudier, dans cette représentation, les autres opérations habituelles.

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