\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}

\usepackage{hevea}
\ifhevea
\def\linewidth{}
\def\mathbb#1{\textbf{#1}}
\def\atop{}
\def\big{}
%\newenvironment{introduction}{\quotation\footnotesize}{\endquotation}
\newenvironment{intro}{\\\footnotesize}{}

\else

\def\url#1#2{#2 ({\tt #1})}

%% Parametres de mise en page
\topmargin -.04cm
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\marginparwidth 0mm
\oddsidemargin  -.04cm
\evensidemargin -.04cm
\textwidth 16cm
\textheight 24.7cm
\advance\textheight by \topskip
\parindent 0pt

\usepackage{amssymb}
\let\geq\geqslant
\let\leq\leqslant
\newenvironment{intro}
  {\begin{center}\begin{minipage}{.9\linewidth}\small}
  {\end{minipage}\end{center}}

\fi
\def\ceil#1{\left\lceil #1\right\rceil}
\def\floor#1{\left\lfloor #1\right\rfloor}

\begin{document}
\begin{center}
\LARGE
Algorithmique et programmation

Travaux dirigés, 14 et 15 novembre 2002

Louis Granboulan
\end{center}

\section{Tri Shell}
\begin{enumerate}
\item{Rappels sur le tri par insertion directe}
  \begin{intro}
  Soit un tableau contenant $n$ valeurs distinctes.
  Le tri par insertion directe consiste à insérer un par un les
éléments de la liste dans la fin du tableau, contenant les éléments déjà triés.
  \end{intro}
  \begin{enumerate}
    \item Pour une permutation $\sigma$, on appelle inversion
          un couple $i<j$ tel que $\sigma(i)>\sigma(j)$.
          Évaluer le nombre moyen d'inversions d'une permutation
          de $n$ éléments.
    \item Étudier la complexité de l'algorithme en nombre de
          comparaisons et d'affectations.
    \item Réfléchir aux différentes façons d'améliorer cet
	  algorithme
  \end{enumerate}
\item{Tri Shell}
  \begin{intro}
  L'idée est d'essayer de gagner sur le nombre d'affectations en insérant
  dans des sous-listes (et donc en faisant faire de plus grands déplacements).
  L'algorithme consiste en un tri par insertion dans des sous-listes 
  contenant de plus en plus d'éléments, de telle sorte que les éléments
  soient de plus en plus proches de leur position finale (D. Shell, 1959).
  \par
  On dit qu'un tableau est $h$-trié si les $h$ sous-tableaux
  regroupant les éléments d'indice différant d'un multiple de $h$
  sont triés.
  C'est-à-dire que les suites $(x_i, x_{i+h}, x_{i+2h}, ...)$
  pour $i = 1, ..., h$ sont triées.
  \par
  Pour le tri Shell,
  on choisit une suite entière décroissante $h_t, h_{t-1}, ... , h_1$
  avec $h_1 = 1$. On commence par $h_t$-trier le tableau,
  puis on continuer avec $h_{t-1}$, etc.
  Le $h_s$-tri se fait par exemple par insertion directe,
  pour chaque sous-tableau.
  \end{intro}
  \begin{enumerate}
    \item Prouver la correction de cet algorithme de tri.
    \item Prouver que le $h$-tri d'un ensemble $k$-trié donne un ensemble
          $k$-trié. En déduire que le cas $h_s = 2^{s-1}$ n'est pas optimal.
    \item Évaluer le nombre moyen d'inversions d'une permutation 2-triée.
          \begin{enumerate}
          \item Calculer le nombre de permutations 2-triées.
          \item Montrer que la somme des nombres d'inversions des permutations
                2-triées de $n$ éléments (avec $k=\floor{n/2}$) est
                $A_n = \sum_{i=0..k, j=0..k} |i-j|\big({i+j\atop j}\big)
                 \big({n-i-j-1\atop k-j}\big)$.
          \item Prouver $A_{2k+1}=2A_{2k}$. On peut montrer que 
                 $A_{2k}=k4^{k-1}$.
          \end{enumerate}
          En déduire la complexité de l'algorithme dans le cas où on fait
          un 2-tri suivi d'un 1-tri.
    \item Regarder le cas où on fait un $h$-tri suivi d'un 1-tri.
    \item Regarder le cas où $h_s = 2^s-1$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
Knuth, {\em The Art of Computer Programming, vol. 3 :
       \textbf{Sorting and Searching}}, pp. 87--92.


\section{Fractions égyptiennes}
  \begin{intro}
  On appelle \textbf{fraction égyptienne} l'inverse
  d'un nombre entier.
  \end{intro}
  \begin{enumerate}
    \item Trouvez plusieurs algorithmes différents pour décomposer un rationnel
          positif en une somme de fractions égyptiennes distinctes.
    \item Réfléchir au nombre minimum de termes pour représenter
          un rationnel et à la minimisation du plus grand dénominateur
          d'une représentation.
  \end{enumerate}
  \verb|http://www.ics.uci.edu/~eppstein/numth/egypt/|.
\end{document}
