Familles de vecteurs

Déﬁnition 1.1. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Une famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ d’éléments de $E$ est dite libre si et seulement si pour tout ensemble ﬁni $J \subseteq I$ et toute famille de scalaire ${(λ_{j})}_{j \in J}$ , on a :

\sum_{j \in J} λ_{j} ∙ u_{j} = 0_{E} \Leftrightarrow \forall j \in J, λ_{j} = 0 .

Déﬁnition 1.2. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel et $f$ une famille d’éléments de $E$ . On dit que $f$ est liée si et seulement si elle n’est pas libre.

Remarque 1.1. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble ﬁni. Une famille ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ d’éléments de $E$ est libre si et seulement si pour tout toute famille de scalaires ${(λ_{i})}_{i \in I}$ , on a :

\sum_{i \in I} λ_{i} ∙ u_{I} = 0_{E} \Leftrightarrow \forall i \in I, λ_{j} = 0 .

Propriété 1.1. Si $(E, +, ∙)$ est un $𝕂$ -espace vectoriel, alors les familles libres ne contiennent pas l’élément $0_{E}$ .

Exemple 1.1. Soit $n \in ℕ$ un entier naturel. Soit $(𝕂^{n}, \dot{+}, \overset{)}{} \cdot$ . l’espace vectoriel des $n$ -uplets de scalaires, muni de l’addition et la multiplication coordonnée par coordonnée. La famille ${(δ^{k})}_{1 \leq k \leq n}$ de vecteurs telle que $δ_{k}$ a toutes ses coordonnées égales à $0$ , sauf la $k$ -ième coordonnée qui vaut $1$ est libre.

Propriété 1.2. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille libre d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $J$ un sous ensemble de $I$ . Alors, la famille ${(u_{j})}_{j \in J}$ est libre.

Propriété 1.3. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $σ$ une bijection de $I$ dans $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i} \overset{Δ}{=} u_{σ (i)} . \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est libre.

Propriété 1.4. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $λ \in 𝕂$ tel que $λ \neq 0$ et $i_{0} \in I$ un élément de $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i_{0}} \overset{Δ}{=} λ ∙ u_{i_{0}} \\ v_{i} \overset{Δ}{=} u_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} . \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est libre.

Propriété 1.5. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $λ \in 𝕂$ . Soient $i_{0} \in I$ et $j_{0} \in I$ deux éléments de $I$ tels que $i_{0} \neq j_{0}$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i_{0}} \overset{Δ}{=} u_{i_{0}} + λ ∙ u_{j_{0}} \\ v_{i} \overset{Δ}{=} u_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est libre.

Propriété 1.6. Soient $m$ et $n$ deux entiers positifs dans $ℕ$ . Soit ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq m} \in {(𝕂^{n})}^{m}$ une famille de $m$ vecteurs du $𝕂$ -espace vectoriel $(𝕂^{n}, \dot{+}, \dot{\cdot})$ . Si pour tout $i$ entre $1$ et $m$ , il existe une coordonnée $j_{i}$ telle que pour tout indice $i^{'}$ entre $1$ et $m$ , la $j_{i}$ -ième coordonnée de $u_{i^{'}}$ soit égale à $0$ si et seulement si $i^{'} \neq i$ , alors la famille ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq m}$ est libre.

Algorithme 1.1. Soient $m$ et $n$ deux entiers positifs dans $ℕ$ . Soit ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq n} \in {(𝕂^{n})}^{m}$ une famille de $m$ vecteurs de $𝕂^{n}$ . On note $u_{i, j}$ la $j$ -ième coordonnée du $i$ -ième vecteur de la famille ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq m}$ . L’algorithme suivant permet de décider si ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq m}$ est libre, ou liée.
Prendre $p \leftarrow 0$ .

si $p = m$ alors la famille est libre.
si $p < m$ et s’il pour tout $q$ entre $1$ et $n$ , $u_{p + 1, q} = 0$ , alors la famille est liée.
sinon, prendre $q$ le plus petit entier tel que $u_{p + 1, q} \neq 0$ .
Multiplier le vecteur $u_{p + 1}$ par l’inverse de $u_{p + 1, q}$ .
Soustraire à chaque vecteur $u_{p^{'}}$ pour $p^{'} \neq p$ le vecteur $u_{p + 1}$ multiplié par $u_{p^{'}, q}$ .
Prendre $p \leftarrow p + 1$ .
Retourner à l’étape 1.

Déﬁnition 2.1. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Une famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ d’éléments de $E$ est dite génératrice de $(E, +, ∙)$ si et seulement si pour tout élément $u \in E$ , il existe un sous-ensemble ﬁni $J \subseteq I$ et une famille de scalaire ${(λ_{j})}_{j \in J}$ , tels que :

\sum_{j \in J} λ_{j} ∙ u_{j} = u .

Propriété 2.1. Soit $n \in ℕ$ un entier naturel. Soit $I$ un ensemble et ${(u_{i})}_{i \in I}$ une famille d’éléments de $𝕂^{n}$ telle qu’il existe un indice $i_{0} \in I$ tel que pour tout indice $i \in I$ , la coordonnée $i_{0}$ de $u_{i}$ soit égale à 0. Alors la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ n’est pas génératrice.

Propriété 2.2. Soit $m, n \in ℕ$ deux entiers naturels. Soit ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq m}$ une famille de $m$ éléments de $𝕂^{n}$ . On suppose qu’il existe un indice $i_{0}$ tel que $1 \leq i_{0} \leq min (m - 1, n)$ , et tel que pour tout $i$ entre $1$ et $i_{0}$ , la $j$ -ième coordonnée du vecteur $u_{i}$ vaut $1$ si $i = j$ et $0$ sinon, et tel que pour tout $i > i_{0}$ la $i_{0} + 1$ -ième coordonnée du vecteur $u_{i}$ vaut $0$ . Alors la famille ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq m}$ n’est pas génératrice.

Exemple 2.1. Soit $n \in ℕ$ un entier naturel. Soit $(𝕂^{n}, \dot{+}, \dot{\cdot})$ . l’espace vectoriel des n-uplets de scalaires, muni de l’addition et la multiplication coordonnée par coordonnée. La famille ${(δ^{k})}_{1 \leq k \leq n}$ de vecteurs telle que $δ_{k}$ a toutes ses coordonnées égales à $0$ , sauf la $k$ -ième coordonnée qui vaut $1$ est génératrice.

Propriété 2.3. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $J$ un sous ensemble de $I$ . Alors, si la famille ${(u_{j})}_{j \in J}$ est génératrice de $E$ , alors la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est génératrice de $E$ .

Propriété 2.4. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $σ$ une bijection de $I$ dans $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i} \overset{Δ}{=} u_{σ (i)} \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est génératrice si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est génératrice.

Propriété 2.5. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $λ \in 𝕂$ tel que $λ \neq 0$ et $i_{0} \in I$ un élément de $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i_{0}} \overset{Δ}{=} λ ∙ u_{i_{0}} \\ v_{i} \overset{Δ}{=} u_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est génératrice si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est génératrice.

Propriété 2.6. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $λ \in 𝕂$ . Soient $i_{0} \in I$ et $j_{0} \in I$ deux éléments de $I$ tels que $i_{0} \neq j_{0}$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i_{0}} = u_{i_{0}} + λ ∙ u_{j_{0}} \\ v_{i} = u_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est génératrice si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est génératrice.

Algorithme 2.1. Soient $m$ et $n$ deux entiers positifs dans $ℕ$ . Soit ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq n} \in {(𝕂^{n})}^{m}$ une famille de $m$ vecteurs de $𝕂^{n}$ . On note $u_{i, j}$ la $j$ -ième coordonnée du $i$ -ième vecteur de la famille ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq m}$ . L’algorithme suivant permet de décider si ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq m}$ est génératrice, ou non.
Prendre $p \leftarrow 0$ .

si $p = n$ alors la famille est génératrice.
si $p < n$ et si pour tout $k$ tel que $p < k \leq m$ , on a : $u_{k, p + 1} = 0$ alors la famille n’est pas génératrice.
sinon, prendre $k$ le plus petit entier strictement supérieur à $p$ tel que $u_{k, p + 1} \neq 0$ .
Multiplier le vecteur $u_{k}$ par l’inverse de $u_{k, p + 1}$ .
Soustraire à chaque vecteur $u_{k^{'}}$ pour $k^{'} \neq k$ le vecteur $u_{k}$ multiplié par $u_{k, p + 1}$ .
Permuter le vecteur $u_{p + 1}$ et $u_{k}$ .
Prendre $p \leftarrow p + 1$ .
Retourner à l’étape 1.

Déﬁnition 3.1. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. On appelle base de $E$ toute famille d’éléments de $E$ qui est à la fois libre et génératrice de $E$ .

Théorème 3.1. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble et ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par I, tel que ${(u_{i})}_{i \in I}$ soit une base de $E$ .
Alors pour tout vecteur $u \in E$ , il existe un unique sous-ensemble $J \subseteq I$ et une unique famille ${(λ_{j})}_{j \in J}$ de scalaires non nuls tel que :

u = \sum_{j \in J} λ_{j} ∙ u_{j} .

Ainsi tout vecteur admet une décomposition unique dans une base.

Exemple 3.1. Soit $n \in ℕ$ un entier naturel. Soit ${(δ_{i})}_{1 \leq i \leq n} \in {(𝕂^{n})}^{n}$ la famille de $n$ vecteurs de $𝕂^{n}$ telle que la $j$ -ième coordonnée du $i$ -ième vecteur soit égale à $0$ si $i \neq j$ et à $1$ sinon. Alors ${(δ_{i})}_{1 \leq i \leq n} \in {(𝕂^{n})}^{n}$ est une base de $(𝕂^{n}, \dot{+}, \dot{\cdot})$ (on dit que c’est la base canonique de $𝕂^{n}$ ).

Propriété 3.1. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $σ$ une bijection de $I$ dans $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i} = u_{σ (i)} \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une base de $E$ si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est une base de $E$ .

Propriété 3.2. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $λ \in 𝕂$ tel que $λ \neq 0$ et $i_{0} \in I$ un élément de $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i_{0}} = λ ∙ u_{i_{0}} \\ v_{i} = u_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une base de $E$ si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est une base de $E$ .

Propriété 3.3. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $λ \in 𝕂$ . Soient $i_{0} \in I$ et $j_{0} \in I$ deux éléments de $I$ tels que $i_{0} \neq j_{0}$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i_{0}} = u_{i_{0}} + λ ∙ u_{j_{0}} \\ v_{i} = u_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une base si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est une base.

Théorème 3.2. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $J$ un ensemble ﬁni. Soit $I$ un sous-ensemble de $J$ . Soit ${(u_{j})}_{j \in J}$ une famille d’élément de $E$ , tel que la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ soit une famille libre et la famille ${(u_{j})}_{j \in J}$ soit une famille génératrice de $E$ . Alors il existe un ensemble $K$ tel que $I \subseteq K \subseteq J$ et la famille ${(u_{k})}_{k \in K}$ est une base de $E$ .

Théorème 3.3. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel qui admet une famille génératrice ﬁnie. Alors toutes les bases de $(E, +, ∙)$ ont le même cardinal.

Déﬁnition 3.2. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel qui admet une famille génératrice ﬁnie. On dit que $(E, +, ∙)$ est de dimension ﬁnie et on appelle dimension de $(E, +, ∙)$ le cardinal des bases de $E$ .

Propriété 3.4. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension ﬁni égale à $n$ . Alors toute famille libre de $n$ élément est une base.

Propriété 3.5. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension ﬁni égale à $n$ . Alors toute famille génératrice de $n$ élément est une base.

Propriété 3.6. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $F$ un sous-espace vectoriels de $(E, +, ∙)$ . Si $E$ et $F$ sont de dimensions ﬁnies et égales. Alors $E = F$ .

Algorithme 3.1. Soient $n$ un entier positif dans $ℕ$ . Soit ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq n} \in {(𝕂^{n})}^{n}$ une famille de $n$ vecteurs de $𝕂^{n}$ . On note $u_{i, j}$ la $j$ -ième coordonnée du $i$ -ième vecteur de la famille ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq n}$ . L’algorithme suivant permet de décider si ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq n}$ est libre, ou liée.
Prendre $p \leftarrow 0$ .

si $p = n$ alors la famille est une base.
si $p < n$ et si pour tout $k$ tel que $p < k \leq n$ , on ait $u_{k, p + 1} = 0$ alors la famille n’est pas une base.
sinon, prendre $k$ le plus petit entier strictement supérieur à $p$ tel que $u_{k, p + 1} \neq 0$ .
Multiplier le vecteur $u_{k}$ par l’inverse de $u_{k, p + 1}$ .
Soustraire à chaque vecteur $u_{k^{'}}$ pour $k^{'} \neq k$ le vecteur $u_{k}$ multiplié par $u_{k, p + 1}$ .
Permuter le vecteur $u_{p + 1}$ et $u_{k}$ .
Prendre $p \leftarrow p + 1$ .
Retourner à l’étape 1.

Familles de vecteurs

1 Familles libres

2 Familles génératrices

3 Bases et dimensions