Les préoccupations de P. Matherat se situent à l'articulation entre la logique et la physique. A l'origine se trouve la question : « Existe-t-il une raison fondamentale pour laquelle les machines à calculer dégradent de l'énergie en chaleur, d'une façon qui semble liée à la complexité des calculs ? ». Par « fondamentale », il faut entendre « indépendante de la technologie », c'est-à-dire « liée au calcul même ». Posée ainsi, cette question relie une interrogation sur les modèles de calcul avec la notion de dissipation.
Outre l'intérêt théorique, cette question est liée à des considérations pratiques importantes : la dissipation thermique est le principal obstacle à l'augmentation de densité, donc de puissance, des processeurs intégrés. Si une dissipation minimum est due au calcul lui-même, la diminution de dissipation sera limitée et donc la puissance de calcul sera bornée pour cette raison fondamentale.
Si l'on étudie les contraintes purement logiques imposées sur les réalisations physiques des machines à calculer, on est conduit à transférer la question de l'irréversibilité, du domaine de la physique vers celui de la logique.
Cette approche a été initiée par un groupe d'auteurs (principalement Landauer en 1961, Bennett en 1973, Fredkin et Toffoli en 1982) qui ont montré qu'on pouvait effectuer tout calcul de façon réversible, c'est-à-dire sans nécessiter de dissipation. Mais les implémentations proposées (en particulier le « calcul quantique ») sont encore du domaine des « expériences de pensée ».
En collaboration avec Marc-Thierry Jaekel (du Laboratoire de Physique Théorique de l'ENS) P. Matherat a fait une étude historique et critique de cette question. Ils ont proposé une approche qui repose sur une définition « constructive » des implémentations physiques d'automates finis. Ils définissent une « complexité » des systèmes physiques qui réalisent des fonctions logiques. La limitation de cette complexité est une conséquence de la nécessité du test des composants.
L'équipe a été amenée à définir une notion de « dissipation logique » pour un automate fini, évaluée sur son diagramme d'états. Elles étudie les structures logiques des implémentations d'automates et montre que les implémentations « modulaires » dissipent nécessairement. Il en résulte une dissipation logique proportionnelle au temps de calcul pour les machines à calculer modulaires. Les implémentations non-dissipatives (comme les ordinateurs quantiques), une fois explicitées, sont non-modulaires et conduisent à des machines spécialisées, dont la capacité de calcul est limitée.
Une première partie de ce travail est parue dans la revue « Technique et Science Informatiques » en octobre 1996 (Vol. 15, n° 8).
P. Matherat a été invité pour un exposé au colloque « Logique et modèles de calcul » qui s'est tenue au CIRM à Marseille du 16 au 20 septembre 1996.
Les travaux sur la dissipation du calcul ouvrent une perspective de recherche importante à l'interaction entre la Logique et la Physique.
L'équipe a été amenée à introduire des arguments issus de la logique et du calcul pour comprendre des notions qui semblaient traditionnellement cantonnées dans le champ de la physique, en particulier avec la notion de dissipation logique.
Les conséquences de cette façon d'aborder ces problèmes semblent importantes pour la physique et ses fondements logiques. Cette approche conduit à s'interroger sur les « objets » de la physique, sur la signification de la « mesure », et naturellement sur la notion de « temps ». Tout ceci est très ambitieux, mais l'équipe souhaite essayer modestement de comprendre comment l'éclairage nouveau qu'apporte la compréhension du « calcul » peut aider à aborder ces questions.