Cette section rassemble des énigmes de LOGIQUE célèbres et d'autres qui le sont moins. Pour la plupart, vous pourrez trouver des questions supplémentaires, des complications, des généralisations... Ces énigmes sont plutôt DIFFICILES, il est donc tout à fait normal de ne pas trouver tout de suite, n'abandonnez pas !

Les trois dieux

Vous êtes en présence de trois dieux, le dieu Vérité qui dit toujours la vérité, le dieu Mensonge, qui dit toujours le contraire de la vérité et le dieu Aléatoire qui répond toujours en tirant à pile ou face ce qu'il va répondre.

Le but est de déterminer qui est qui sachant que les trois dieux ont la même apparence. Pour cela, vous pouvez leur poser en tout trois questions, et vous pouvez si vous le souhaitez, interroger plusieurs fois le même dieu. Les dieux doivent pouvoir répondre à vos questions par OUI ou NON. Les questions peuvent s'appuyer sur les réponses aux questions précédentes.

Ces dieux ont une dernière particularité. Ils comprennent le français mais répondent dans leur propre langue par ya ou ja, et bien sûr vous ne savez pas à quoi correspondent chacun de ces mots.

Question : Qu'elles sont les trois questions à poser pour determiner à coup sûr l'identité de chacun ?

L'échiquier du diable

Imaginez qu'un jour le diable vous pose un défi, à vous et un de vos amis. Si vous réussissez vous survivez, et sinon... Le défi est le suivant : Le diable dispose d'un échiquier et d'un certain nombre de pions. Il convoque l'un de vous deux, disons votre ami, à l'abri de votre regard. Il lui présente alors l'échiquier sur lequel il a positionné un certain nombre de pions à sa guise sur l'échiquier. Il vous désigne alors une case mystère. Votre ami a alors la possibilité s'il le souhaite d'enlever un pion de l'échiquier ou d'en rajouter un sur une case vide. Une fois cela fait, le diable fait partir votre ami et vous convoque et vous demande de désigner la case mystère. Si vous y arrivez, vous survivez tous les deux, et sinon... Quelques précisions : Vous connaissez initialement le déroulement du défi, mais vous ne savez pas la configuration de l'échiquier que le diable aura choisi, ni la case mystère. Questions :

  1. Trouver une stratégie qui vous permettent de survivre quels que soient la configuration de l'échiquier et la position de la case mystère.
  2. Est-ce toujours possible si le diable impose à votre ami de modifier une case ?
  3. Généralisation : Le diable vous présente maintenant un échiquier avec un nombre quelconque de cases (et pas nécessairement un carré), trouvez une stratégie qui vous permette de survivre en moyenne au moins cinq fois sur six.
  4. (Question ouverte) Existe-t-il une stratégie permettant de survivre à tous les coups si le nombre de cases vous est initialement inconnu ?

L'intrus

Vous disposez d'un certain nombre de boules identiques à vu d'oeil, et toutes de même poids, à l'exception d'une (l'intrus) qui a un poids légèrement différent. Le but est d'identifier l'intrus à l'aide d'une balance à plateaux qui indique simplement si deux groupes de boules sont de même poids ou si l'un est plus lourd que l'autre.

  1. En sachant que l'intrus est plus lourde, l'identifier parmis 27 boules en trois pesées maximum.
  2. Cette fois vous ne savez pas si l'intrus est plus lourde ou plus légère, l'identifier parmis 13 boules en trois pesées maximum.
  3. Généralisation : En notant P le nombre de pesées autorisées, exprimer en fonction de P le nombre maximal N de boules tel qu'il existe une stratégie permettant de determiner l'intrus parmis N boules en au plus P pesées (on ne sait pas si l'intrus est plus léger ou plus lourd)
  4. Que se passe-t-il si l'on s'authorise plusieurs intrus ?

Le camion citerne

Un camion citerne d'une contenance de 1000 litres souhaite transporter de l'essence d'une ville A à une ville B, distantes de 1000 kms. La particularité de ce camion est qu'il consomme pour rouler l'essence qui transporte et qu'il consomme 1 litre/km. Cependant il a le droit de laisser (en quantité illimitée) des bidons (de capacité infinie) d'essence sur la route qui pourra récupérer lorsqu'il repassera devant.

  1. Qu'elle est la quatité maximale d'essence qui peut ramener en B sachant que le dépot en A contient 3000 litres.
  2. Quel est le stock minimal nécessaire en A permettant au chauffeur de ramener 1000 litres d'essence en B ?

Les trois fils

Monsieur A rencontre par hasard dans la rue son vieil ami, monsieur B. Après quelques salutations futiles, on assiste à la conversation suivante :

  1. B : "Tu as des enfants ?"
  2. A : "Oui, j'en ai trois !"
  3. B : "Quels âges ont-ils ?"
Monsieur A qui aime les énigmes, réfléchit un peu et répond :

  1. A : "Le produit de leur âge donne 36"
  2. B : "OK, mais tu dois me donner un peu plus d'indications..."
Monsieur A montre alors quelque-chose du doigt, et dit :
  1. A : "Tu vois le nombre sur le panneau là-bas ? Et bien, c'est la somme de leur âge"
  2. B : "Très bien... mais je ne peux toujours pas trouver..."
  3. A : "L'aîné est un garçon."
  4. A : "J'ai trouvé !"
Quels âge ont les enfants de Monsieur A ?

Le problème de Tooth

On choisit deux nombres M et N strictement supérieurs, tel que leur somme soit inférieure à 5000. on donne à Simon la somme de ces deux nombres et à Pierre le produit. On assiste alors à la conversation suivante :

  1. Pierre : Je ne connais pas ces deux nombres.
  2. Simon : Je savais que tu dirais ça !
  3. Pierre : Vraiment ? Alors j'ai trouvé !
  4. Simon : Moi aussi !
Clémence, qui a assisté à la scène, s'exclame :
  1. Cléménce : Moi, je n'ai pas trouvé ces deux nombres !
  2. Simon : Oui, mais si je t'indique la valeur de M, tu pourras trouver N.
  3. Clémence : C'est bon j'ai trouvé !
Quelles sont la valeur de M et N ?

Enigme de Freudenthal

On choisit deux nombres différents, strictements supérieurs à 1, dont la somme est inférieure à 100. On indique à Simon la somme de ces deux nombres et à Pierre le produit. On assiste alors à la conversation suivante :

  1. Pierre : Je ne connais pas ces deux nombres.
  2. Simon : Je savais que tu dirais ça ! Et je ne les connais pas non plus.
  3. Pierre : Vraiment ? Alors j'ai trouvé !
  4. Simon : Moi aussi !
Quels sont ces deux nombres ?

Quel est le plus grand entier, tel que si l'on remplace dans l'enoncé précédent 100 par cet entier, il soit toujours possible de trouver les deux inconnues, après avoir assisté à la conversation ci-dessus ?

24 heures de réflexion

On choisit cinq nombres différents a,b,c,d,e compris entre 1 et 10. On donne à :

  1. Simon : la somme, a+b+c+d+e !
  2. Pierre : le produit, abcde.
  3. Clémence : la somme des carrés, a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 !
  4. Valère : la valeur, (a+b+c)(d+e)

Après une heure de réflexion, ils répondent simultanément : "Je ne connais pas les cinq nombres !"

Après une deuxième heure de réflexion, ils répondent simultanément : "Je ne connais pas les cinq nombres !"

...

Après une vingt-troisième heure de réflexion, ils répondent simultanément : "Je ne connais pas les cinq nombres !"

Et là, tous se regardent, et s'exlament en coeur : "C'est bon, j'ai trouvé !" Question : Quels sont ces cinq nombres ?

Les cent condamnés

Dans une prison, cent personnes sont condamnés à mort. Le gardien de la prison, qui s'ennuie un peu, leur propose un défi. Il attribue un numéro en 1 et 100 à chacun des prisonniers et fait installer dans son bureau une armoire avec 100 tiroirs. Sur des bouts de papiers différents il inscrit les numéros entre 1 et 100 et les répartit aléatoirement dans les tiroirs, en plaçant exactement un papier par tiroir.
Le lendemain il déclare aux prisonniers qu'après s'être éventuellement concertés sur une stratégie, ils viendront un à un dans son bureau, devront ouvrir 50 tiroirs de leur choix et si jamais l'un n'y trouve pas le numéro qui lui a été attribué, tous les prisonniers seront exécutés. Il leur déclare également que les prisonniers n'auront aucun moyen de communiquer une fois le défi commencé. L'un des prisonniers, s'exclamme alors : "Mais c'est inhumain, nous n'avons qu'une chance sur 2^100 de nous en sortir !".

  1. Montrer que ce prisonnier a tord et qu'en réalité il existe une stratégie permettant au groupe de survivre avec une probabilité de 1-ln(2).
  2. Finalement, par soucis d'organisation, le gardien propose aux prisonniers de former 10 groupes de 10 personnes et d'attribuer pour chaque groupe, à chaque prionnier, un numéro entre 1 et 10 (il y aura donc en tout 10 prisonniers portant le numéro 7 par exemple). Cette fois, chaque prionnier d'un groupe pourra ouvrir 5 tiroirs parmi 10 tiroirs (contenant les numéros entre 1 et 10), en esperant y trouver son numéro. Si jamais l'un des prisonniers ne trouve pas son numéro, tous seront exécutés.
    Si vous étiez prisonnier, accepteriez-vous l'alternative proposée par le gardien ?

Les prisonniers et le levier

Dans une prison, de directeur propose un défi à ses 100 détenus. Si ils réussissent le défi, ils seront libérés.
Dans une pièce, le directeur a installé un levier que l'on peut mettre en position haute ou en position basse. Une fois le défi débuté, des prisonniers seront appelés tour à tour dans la salle, ils auront la possibilité de changer le levier de position ou de le laisser tel quel. Il repartiront ensuite dans leur cellule. Il n'y aucun moyen de communication possible entre les prisonniers une fois le défi commencé. Dans la pièce se trouve également un buzzer sur lequel les détenus peuvent appuyer quand ils sont dans la pièce. Le défi se termine dès qu'un détenu appuie sur le buzzer. Le défi est gagné si, à ce moment là, chacun des 100 prisonniers est au moins passé une fois dans la salle.
A chaque fois qu'un prisonnier regagne sa cellule, le détenu suivant est choisi aléatoirement (et uniformément) parmi les 100 prisonniers (un détenu peut donc être appelé plusieurs fois d'affilé). Les détenus n'ont aucune notions du temps, en particulier, il ne savent qui s'ils sont les premiers à être appelés, ni combien de prisonniers sont passé dans la salle entre deux appels successifs.

Sachant que les prisonniers ont possibilité de se concerter avant le début du défi et qu'ils savent qu'initialement, le levier est en position haute, déteminer une stratégie permettant de réussir le défi presque sûrement.
Calculer en moyenne combien de temps le défi durera si les prisonniers sont choisis aléatoirement et uniformément.

La part du trésor

Une horde de 12 pirates doivent se partager un trésor de 100 pièces d'or. Il décident de procéder comme ceci :

  1. Le plus vieux propose un partage.
  2. Chacun des pirates vote pour dire s'il accepte ou pas le partage.
  3. Si la majorité (supérieure ou égale) vote OUI, le partage est accepté.
  4. Sinon, le plus vieux est exécuté et on recommence avec l'aîné des pirates restants.

Quel partage va proposer le plus vieux sachant que les pirates sont cupides, sadiques (même s'il n'ont rien à gagner de plus, il choisiront de vous exécuter) mais qu'en priorité il souhaite garder la vie sauve ?

A partir de combien de pirates l'aîné est-il sûr d'être exécuté quel que soit le partage qu'il propose ?

Le milliardaire

Monsieur Hottelard, un riche rentier, est retrouvé mort un soir dans la cave de son manoir. On a retrouvé près de lui les débris d'une bombe artisanale. Après plusieurs mois d'enquête l'inspecteur Poncelet chargé de l'affaire, a identifié huit suspects : Armand, Quentin, Vadim, Jack-Jack, Rebecca, Manon, Isaure et Mathieu.
On sait qu'un de ces suspects est le coupable et qu'il a agit seul pour confectionner sa bombe. Ces huit personnes sont venus voir le milliardaire le jour de sa mort à différents moment de la journée. Les faits remontant à longtemps, aucun d'eux ne se souvient exactement à quelle heure il est arrivé ni reparti mais tous déclarent avoir passé l'intégralité de leur séjour au manoir dans le salon. L'inspecteur Poncelet sait que l'un d'eux a menti, puisque son conseiller, expert en armement Mr. Artis, a déclaré que la confection d'une telle bombe nécessitait plusieurs heures de préparation et que le coupable avait sûrement dû s'absenter à plusieurs reprises. L'inspecteur Poncelet, lors de l'interrogatoire des différents suspects a recueilli les témoignages suivant :

  1. Armand déclare avoir rencontré Vadim et Quentin lors de son passage au manoir.
  2. Quentin déclare avoir rencontré Armand, Vadim, Manon et Rebecca.
  3. Vadim déclare avoir rencontré Armand, Quentin, Isaure, Rebecca et Mathieu.
  4. Rebecca déclare avoir rencontré Quentin, Manon, Vadim, Isaure et Jack-Jack.
  5. Isaure déclare avoir rencontré Vadim, Rebecca et Jack-Jack.
  6. Manon déclare avoir rencontré Quentin et Rebecca.
  7. Jack-Jack déclare avoir rencontré Isaure, Mathieu et Rebecca.
  8. Mathieu déclare avoir rencontré Jack-Jack et Vadim.

L'inspecteur Poncelet, conclut que les témoignages concordent et il classe l'affaire. Le jour même, son stagiaire, un certain Ilyès, qui adore les mathématiques, retrouve sur le bureau de l'inspecteur la feuille avec les témoignages des suspects, et il se dit que tout n'est pas perdu. Le lendemain matin, après avoir réfléchit toute la nuit, il se rend dans le bureau de l'inspecteur Poncelet et s'exclame : "J'ai trouvé qui a assassiné Mr. Hottelard ! Je sais même combien de fois au minimum il a dû s'absenter pour préparer la bombe."

Comment a-t-il fait ? Qui est le coupable ? Combien de fois au minimum s'est-il absenté pour préparer la bombe ?

Le chat et le canard

Dans une marre circulaire vit un canard qui se nourrit des herbes poussant sur le bord de la marre. Seulement, un chat guête et aimerait bien attraper le canard lorqu'il se nourrit sur le rebord.

  1. Sachant que le chat se déplace 4 fois plus vite que le canard, le canard peut-il atteindre le rebord sans se faire attraper ?
  2. Même question, mais le chat se déplace 4.5 fois plus vite.
  3. Montrer que si le chat se déplace 4.53 fois plus vite que le canard, il pourra toujours attraper le canard s'il s'approche trop du bord.
  4. Expliciter la valeur exacte à partir de laquelle le chat peut toujours attraper le canard. Que se passe-t-il lorsque le rapport des vitesses est exactement égal à cette valeur ?

Les moines malades

Quelque part dans la montagne vit une communauté de moines muets. Un jour, une maladie apparaît. Le moines atteinds par cette maladie ont le visage plein de taches rouges. Ils sont incapables de s'en rendre compte tout seul car il n'y a pas de miroir dans le monastaire et comme chacun a fait voeu de silence, il ne peut prévenir un congénère malade. Cette maladie est très contagieuse et menace la survie de la communauté.
Un jour, le doyen, qui est le seul à pouvoir parler, convoque l'ensemble de la communauté et leur annonce que lorqu'un moine sera sûr d'être malade, il devra partir. Lorsqu'un moine découvre qu'il est malade, il devra attendre une journée et présenter ses adieux à la communauté le lendemain lors de la prière collective quotidienne.
Suite à cette déclaration, une semaine passe, deux semaines passent, et le 15ième jour, un certain nombre de moines quittent le monastère après avoir fait leur adieu à la communauté.

Combien de moines ont quitté le monastère ?

Le défi de l'éléctricien

Un cable contenant 10 fils éléctriques relie deux endroits éloignés. Seulement, on ne sait pas quels bouts vont ensemble. Comment un éléctricien peut-il déterminer quels sont les extrémités correspondantes en un seul aller retour, sachant qu'il dispose d'un jeu de dominos, d'un certain nombre d'ampoules, et d'une batterie ?

Tri de cartes

Pour trier un jeu de cartes, on sélectionne un certain nombre de cartes consécutives puis on les insère entre deux cartes. Par exemple, si on a dans notre main le jeu (1 2 8 4 6 5 3) on peut obtenir la séquence (1 4 6 5 2 8 3) insérant la séquence (4 6 5) entre le 1 et le 2. On dira qu'une telle manipulation est une opération élémentaire.

  1. Combien faut-il d'opération élémentaires au minimum pour transformer la séquence (R D V 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1) en la séquence (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 V D R) ?
  2. Généraliser le résultat à un nombre quelconque de cartes.

Les chapeaux

100 personnes alignées ont des chapeaux sur la tête, soit noir, soit blanc. La première personne peut voir le chapeau de tout le monde sauf lui, la deuxième peut voir celui des 98 qui sont devant lui, etc. Dans l'ordre, en partant du premier, on leur demande de dire quelle est la couleur de leur chapeau. Les 100 personnes peuvent se mettre d'accord à l'avance sur une stratégie à adopter pour minimiser le nombre d'erreurs, quelle est la meilleure stratégie à adopter ?

L'ascenseur

Supposons que vous vous trouviez dans un building dans lequel on se déplace d'étages en étages par un ascenseur un peu particulier. Il y a seulement deux boutons, monter et descendre. Supposons que l'ascenseur soit à l'étage E. Lorsque l'on actionne le bouton monter, l'ascenseur monte de 8 étages si le building compte moins de E+8 étages et ne fait rien sinon. Si l'on appuie sur descendre, l'ascenseur descend de 11 étages si E est plus grand que 11. On sait qu'il est possible de se déplacer à tous les étages mais que si le building avait eu un étage de moins cela n'aurait pas été possible. Combien d'étage compte ce building ? (Le rez-de-chaussée compte comme un étage)

Un architecte, intéressé par le concept voudrait construire un immeuble de 34 étages (RDC compris) possédant un tel ascenseur, mais ne sait pas quelles valeurs "monter" et "descendre" choisir. Il voudrait que chaque étage soit atteignable, et que les visiteurs puissent parcourir une distance maximale avant de revenir au rez-de-chaussée. Quelles sont les bonnes valeurs à choisir ? Quelle est cette distance maximale ? Généraliser le problème au cas d'un nombre quelconque d'étages.

Le train

Vous vous trouvez dans un train circulaire dont vous ne connaissez pas le nombre de wagons. Dans chaque wagons il y a un ampoule et un interrupteur actionnant cette ampoule. Initialement, vous ne savez pas si les ampoules des autres wagons sont allumées ou pas. Comment pouvez-vous determiner le nombre exact de wagons ?

Rats de laboratoire

Devant vous se trouve 1000 flacons, et l'un d'eux contient du poison. Vous disposez de 10 rats pour tester les solutions. Comment determiner le flacon empoisonné, sachant que vous devez decider à l'avance quel rat testera tel flacon ? (Un rat peut tester plusieurs flacons et un flacon peut être testé par plusieurs rats)