Konstantin TCHOUMATCHENKO

    MODÉLISATION DE RÉSEAUX DE COMMUNICATION 
    PAR LA GÉOMÉTRIE STOCHASTIQUE

    RÉSUMÉ

    La géométrie stochastique s'est avérée être un outil générique
pour la modélisation de réseaux de télécommunications. L'idée de
l'approche est de représenter la configuration d'un réseau par une
famille d'objets aléatoires (ensembles de points, graphes,
pavages). L'analyse des modèles s'effectue par des méthodes générales
de la géométrie stochastique, de la théorie des processus ponctuels,
de la statistique spatiale et de la théorie des graphes.
  
    La première partie de la thèse est motivée par des problèmes de
routage dans les réseaux mobiles décentralisés. Nous étudions une
classe de chemins construits par un algorithme simple sur un graphe de
Poisson--Delaunay, qui représente l'infrastructure d'un réseau.  Les
résultats principaux concernent la qualité de l'approximation des
chemins les plus courts et de la distance euclidienne par les chemins
de cette classe. Un prototype d'algorithme de routage dans les réseaux
mobiles est proposé comme application.
  
    Dans la deuxième partie nous introduisons les pavages agrégés,
modèle pour les zones de service rattachées aux noeuds d'un réseau
hiérarchique. Nous étudions les propriétés de la distribution de tels
pavages et la géométrie de leurs cellules.  On caractérise leur
comportement limite quand le nombre des niveaux dans la hiérarchie
tend vers l'infini et on démontre certaines propriétés fractales de
l'objet limite. On montre aussi comment les pavages agrégés peuvent
servir pour le raffinement des modèles de cellules radio basés sur les
pavages de Voronoi.



    MODELING OF COMMUNICATION NETWORKS USING STOCHASTIC GEOMETRY

    ABSTRACT
    
    Stochastic geometry has recently emerged as a framework for
spatial modeling of telecommunication networks. The idea of the
approach is to represent configurations of large networks as families
of random objects (point patterns, graphs, tessellations). The
analysis of the models can then be performed using general methods of
stochastic geometry, of the theory of point processes, of spatial
statistics, and of graph theory.
 
    The first part of the thesis is motivated by routing issues in
decentralized mobile networks. We study a class of paths constructed
with a simple ray-shoot algorithm on a random Poisson--Delaunay graph
representing the network infrastructure. The main results concern the
quality of the approximation by such paths of the shortest paths and
of the Euclidean distance.  A prototype of a distributed routing
algorithm for mobile networks is proposed as an application.

    In the second part, we investigate aggregate tessellations, which
we introduce as a model of service zones assigned to nodes of a
hierarchically organized network.  We study the distributional
properties of such tessellations and the geometry of their cells. We
characterize their limit behavior as the number of levels in the
hierarchy grows, and study the fractal properties of the limit object.
We also show that aggregate tessellations can serve as a refinement of
Voronoi-based models of radio cells in wireless networks.