Cette thèse est découpée en quatre chapitres. Le premier chapitre est consacré aux méthodes de résolution de systèmes d'équations algébriques, dans un contexte général de calcul formel. Le second définit les dessins d'enfants et le principe de la correspondance de Grothendieck. Le troisième chapitre explique les techniques de calcul de cette correspondance et le quatrième donne des résultats de calcul.
Deux méthodes sont décrites dans le premier chapitre. Elles reposent sur des notions d'algèbre élémentaire, dont nous commençons par rappeler les définitions et les principales propriétés. Nous insistons sur l'approximation des nombres algébriques, qui est le coeur de la seconde méthode. La première méthode de résolution repose sur le calcul de base de Gröbner. Nous donnons le schéma de cette technique, à base de calculs exacts sur les polynômes. La seconde méthode commence par approcher numériquement la solution, puis reconstitue sa définition algébrique. On utilise en particulier l'algorithme LLL de réduction de réseaux.
Le second chapitre est plus théorique. Après une brève présentation informelle, nous commençons par une longue série de définitions mathématiques, issues des théories avec lesquelles interagissent les dessins. Ensuite, nous définissons formellement les dessins en insistant sur leurs deux visages, et la correspondance (de Grothendieck) entre les deux : nous regroupons d'une part les définitions liées à leur aspect combinatoire et d'autre part celles concernant leur aspect algébrique. Nous insistons sur les nombreuses variantes et généralisations des dessins d'enfants. Nous continuons avec l'action de Galois sur les dessins, en particulier la notion de corps des modules, dont les propriétés sont un élément fondamental du calcul explicite de l'aspect algébrique d'un dessin. Nous en profitons pour évoquer l'application de ces calculs explicites au problème de Galois inverse.
Le troisième chapitre expose la principale méthode pour le calcul explicite de la correspondance de Grothendieck. Nous partons de la description combinatoire du dessin, nous définissons un système algébrique dont les solutions décrivent les propriétés algébriques et arithmétiques du dessin. Nous exposons quelques autres méthodes, appliquées dans certains cas particuliers, puis nous détaillons les avantages de la résolution numérique du système par rapport à des techniques plus algébriques.
Le quatrième chapitre donne des exemples de calculs explicites de dessins. Il commence avec les dessins les plus élémentaires, qui servent à visualiser les plus simples de ces objets, puis il continue en décrivant une série de calculs d'``arbres en Y'', qui servent de prétexte à une comparaison des techniques de calcul. Nous montrons ensuite quelques dessins ayant un intérêt particulier, et nous concluons avec des calculs servant à la résolution d'instances du problème de Galois inverse.