.
La fonction de Belyi d'une étoile de degré d est
xd.
Presque aussi simples, nous avons les étoiles doubles
qui servent dans la preuve de Belyi.
Ce sont des arbres de type [m+n; m n; 2 1m+n-2]
et de fonction de Belyi
(m+n)m+n / (mmnn)
xm (1-x)n.
Les dessins les plus simples sont les étoiles :
dessins de genre 0 totalement ramifiés en 0 et en
.
La fonction de Belyi d'une étoile de degré d est
xd.
Presque aussi simples, nous avons les étoiles doubles
qui servent dans la preuve de Belyi.
Ce sont des arbres de type [m+n; m n; 2 1m+n-2]
et de fonction de Belyi
(m+n)m+n / (mmnn)
xm (1-x)n.
Les cercles, de type [n1; 2n; 2n] ont pour fonction de Belyi (xn-1)2 / (-4xn).
Figure IV.1: Étoile, étoile double et cercle.
On peut remarquer que les polynômes de Tchebitchev, définis par Tn(x) = cos(n arccos(x)), ont pour valeurs critiques ± 1.
La fonction
qui à x associe 1 - 2x
transforme ± 1 en {0, 1}, on en déduit que les arbres
(linéaires) de type [d=2n; 2n-1 12; 2n]
et [d=2n+1; 2n 1; 2n 1]
ont pour fonction de Belyi
=
-1 o
Td o
.