Définition 1.1 (matrice). Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs. On appelle une matrice d’éléments de $𝕂$ à $m$ lignes et à $n$ colonnes une famille d’éléments ${\left(a_{i,j}\right)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$ de $𝕂$ indexée par les couple $\left(i,j\right)$ où $i$ varie entre $1$ et $m$, et $j$ varie entre $1$ et $n$.
On dit aussi que ${\left(a_{i,j}\right)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$ est une matrice de taille $m\times n$.
On note $\mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ l’ensemble des matrices de tailles $m\times n$ d’élément de $𝕂$.
Enfin, lorsque $m=n$, on dit que les matrices de $\mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ sont carrés de taille $m$.

Définition 1.2 (ligne). Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs Soit $A\stackrel{\Delta }{=}{\left(a_{i,j}\right)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice de taille $m\times n$. Soit $i_0$ un entier entre $1$ et $m$. On appelle $i_0$-ième ligne de $A$, la famille de $n$ éléments de $𝕂$ ${\left(a_{i_0,j}\right)}_{1\le j\le n}$.

Définition 1.3 (colonne). Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs Soit $A\stackrel{\Delta }{=}{\left(a_{i,j}\right)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice de taille $m\times n$. Soit $j_0$ un entier entre $1$ et $n$. On appelle $j_0$-ième colonne de $A$, la famille de $m$ éléments de $𝕂$ ${\left(a_{i,j_0}\right)}_{1\le i\le m}$.

Définition 1.4 (somme). Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs. Soient $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ et $B\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$. On note $A\stackrel{\Delta }{=}{\left(a_{i,j}\right)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$ et $B\stackrel{\Delta }{=}{\left(b_{i,j}\right)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$. La matrice ${\left(a_{i,j}+b_{i,j}\right)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$ est appelée la somme des deux matrices $A$ et $B$. On la note $A+B$.

Définition 1.5 (produit externe). Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs Soient $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ et $\lambda \in 𝕂$. On note $A\stackrel{\Delta }{=}{\left(a_{i,j}\right)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$. La matrice ${\left(\lambda \cdot a_{i,j}\right)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$ est appelée le produit de la matrice $A$ par le scalaire $\lambda$. On la note $\lambda \cdot A$.

Définition 1.6. Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs. Soit $k$ un entier entre $1$ et $m$ et soit $k^{\prime }$ un entier entre $1$ et $n$. On note $E_{k,k^{\prime }}\stackrel{\Delta }{=}\left({\delta }_i^k\cdot {\delta }_j^{k^{\prime }}\right)$ la matrice de taille $m\times n$ dont tous les éléments sont nuls, sauf dans la case à la ligne $k$ et à la colonne $k^{\prime }$ dans laquelle la valeur est $1$.

Propriété 1.1. Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs $\left(\mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right),+,\cdot \right)$ est un $𝕂$-espace vectoriel de dimension $m\cdot n$. De plus, la famille des matrices élémentaire ${\left(E_{i,j}^{m,n}\right)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$ est une base de $\left(\mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right),+,\cdot \right)$.

Définition 1.7 (produit interne). Soient $m,n,o\in \mathbb{N}$ trois entiers positifs. Soient $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ et $B\in \mathcal{ℳ}n,o\left(𝕂\right)$. On note $A\stackrel{\Delta }{=}{\left(a_{i,j}\right)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$ et $B\stackrel{\Delta }{=}{\left(b_{i,j}\right)}_{1\le i\le n,1\le k\le o}$. La matrice $\left(c_{i,j}\right)\in \mathcal{ℳ}m,o\left(𝕂\right)$ définie par :

pour $1\le i\le m$ et $1\le j\le o$, est appelée le produit entre $A$ et $B$, et est notée $A\times B$.

Propriété 1.2. Soient $m,n,o,p\in \mathbb{N}$ quatre entiers. Soient $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$, $B\in \mathcal{ℳ}n,o\left(𝕂\right)$, $C\in \mathcal{ℳ}o,p\left(𝕂\right)$ trois matrices à valeur dans $𝕂$.
Alors :

Propriété 1.3. Soient $m,n,o\in \mathbb{N}$ trois entiers naturels. Soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice de taille $m\times n$ à valeur dans $𝕂$. La fonction $\varphi :\mathcal{ℳ}n,o\left(𝕂\right)\to \mathcal{ℳ}m,o\left(𝕂\right)$ qui à toute matrice $B\in \mathcal{ℳ}n,o\left(𝕂\right)$ de taille $n\times o$ à valeur dans $𝕂$ associe la matrice $A\times B$ est une application linéaire entre $\left(\mathcal{ℳ}n,o\left(𝕂\right),+,\cdot \right)$ et $\left(\mathcal{ℳ}m,o\left(𝕂\right),+,\cdot \right)$.

Définition 1.8 (transposée). Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs Soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice de taille $m\times n$ d’éléments de $𝕂$. On note $A\stackrel{\Delta }{=}{\left(a_{i,j}\right)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$. La matrice ${\left(a_{j,i}\right)}_{1\le j\le n,1\le i\le m}$ est une matrice de taille $n\times m$ d’éléments de $𝕂$. Cette matrice est appelée la transposée de $A$ et est noté ${}^{T}A$.

Propriété 1.4. Soient $m,n,o\in \mathbb{N}$ trois entiers positifs. Soient $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ et $B\in \mathcal{ℳ}n,o\left(𝕂\right)$ deux matrices de tailles $m\times n$ et $n\times o$, et d’éléments de $𝕂$. Alors, on a :

Propriété 1.5. Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs. Soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice à valeur dans $𝕂$ et de taille $m\times n$. Alors, on a :

Propriété 1.6. Soient $m,n,o\in \mathbb{N}$ trois entiers naturels. Soit $A\in \mathcal{ℳ}n,o\left(𝕂\right)$ une matrice de taille $n\times o$ à valeur dans $𝕂$. La fonction $\varphi :\mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)\to \mathcal{ℳ}m,o\left(𝕂\right)$ qui à toute matrice $B\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ de taille $m\times o$ à valeur dans $𝕂$ associe la matrice $B\times A$ est une application linéaire entre $\left(\mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right),+,\cdot \right)$ et $\left(\mathcal{ℳ}m,o\left(𝕂\right),+,\cdot \right)$.

Définition 1.9 (identité). Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs. On note $\mathrm{\text{I}}m,n\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ la matrice carrée ${\left({\delta }_i^j\right)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$.

Propriété 1.7. Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs et soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$. On a : $A=\mathrm{\text{I}}m,m\times A$.

Propriété 1.8. Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs et soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$. On a : $A=A\times \mathrm{\text{I}}n,n$.

Propriété 1.9. Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs tels que $m\le n$, alors $\mathrm{\text{I}}m,n\times \mathrm{\text{I}}n,m=\mathrm{\text{I}}m,m$.

Définition 1.10 (matrice de permutation). Soit $n\in \mathbb{N}$. Soient $k$ et $k^{\prime }$ deux entiers entre $1$ et $n$. On note $\mathrm{\text{Swap}}n\left(k,k^{\prime }\right)$ la matrice $\mathrm{\text{I}}n,n-\mathrm{\text{E}}n,nk,k-\mathrm{\text{E}}n,n{k}^{\prime },k^{\prime }+\mathrm{\text{E}}n,nk,k^{\prime }+\mathrm{\text{E}}n,n{k}^{\prime },k$.

Propriété 1.10 (permutation de lignes). Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs et soient $k,k^{\prime }$ deux entiers compris entre $1$ et $m$. Soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice de taille $m\times n$ d’éléments de $𝕂$. Alors la matrice $\mathrm{\text{Swap}}m\left(k,k^{\prime }\right)\times A$ est la matrice dont la $l$-ième ligne est la $l$-ième ligne de $A$ pour $l\notin \left\{k,k^{\prime }\right\}$, la $k$-ième ligne est la $k^{\prime }$-ième ligne de $A$, et la $k^{\prime }$-ième ligne est la $k$-ième ligne de $A$.

Propriété 1.11 (permutation de colonnes). Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs et soient $k,k^{\prime }$ deux entiers compris entre $1$ et $n$. Soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice de taille $m\times n$ d’éléments de $𝕂$. Alors la matrice $A\times \mathrm{\text{Swap}}n\left(k,k^{\prime }\right)$ est la matrice dont la $l$-ième colonne est la $l$-ième colonne de $A$ pour $l\notin \left\{k,k^{\prime }\right\}$, la $k$-ième colonne est la $k^{\prime }$-ième colonne de $A$, et la $k$-ième colonne est la $k^{\prime }$-ième colonne de $A$.

Propriété 1.12. Soit $n\in \mathbb{N}$ un entier. Soient $k,k^{\prime }$ deux entiers compris entre $1$ et $n$. On a :

Définition 1.11 (matrice de dilatation). Soit $n\in \mathbb{N}$. Soient $k$ un entier entre $1$ et $n$ et $\lambda \in 𝕂\setminus \left\{0\right\}$ un scalaire non nul. On note $\mathrm{\text{Dilat}}n\left(k,\lambda \right)$ la matrice $\mathrm{\text{I}}n,n+\left(\lambda -1\right)\cdot \mathrm{\text{E}}n,nk,k$.

Propriété 1.13 (dilatation de lignes). Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs et soient $k$ un entier compris entre $1$ et $m$ et $\lambda \in 𝕂\setminus \left\{0\right\}$ un scalaire non nul. Soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice de taille $m\times n$ d’éléments de $𝕂$. Alors la matrice $\mathrm{\text{Dilat}}m\left(k,\lambda \right)\times A$ est la matrice dont la $l$-ième ligne est la $l$-ième ligne de $A$ pour $l\ne k$, la $k$-ième ligne est la $k$-ième ligne de $A$ multipliée par le scalaire $\lambda$.

Propriété 1.14 (dilatation de colonnes). Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs et soit $k,k^{\prime }$ deux entiers compris entre $1$ et $n$ et $\lambda \in 𝕂\setminus \left\{0\right\}$ un scalaire non nul. Soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice de taille $m\times n$ d’éléments de $𝕂$. Alors la matrice $A\times \mathrm{\text{Dilat}}n\left(k,\lambda \right)$ est la matrice dont la $l$-ième colonne est la $l$-ième colonne de $A$ pour $l\ne k$, la $k$-ième colonne est la $k$-ième colonne de $A$ multipliée par le scalaire $\lambda$.

Propriété 1.15. Soit $n\in \mathbb{N}$ un entier, soit $k$ un entier entre $1$ et $n$, et soit $\lambda ,\mu \in 𝕂\in \setminus \left\{0\right\}$ deux scalaires non nuls. Alors $\mathrm{\text{Dilat}}n\left(k,\lambda \right)\times \mathrm{\text{Dilat}}n\left(k,\mu \right)=\mathrm{\text{Dilat}}n\left(k,\lambda \cdot \mu \right)$.

Définition 1.12 (matrice de combinaison). Soit $n\in \mathbb{N}$. Soient $k$ et $k^{\prime }$ deux entiers distincts entre $1$ et $n$ et soit $\lambda \in 𝕂$ un scalaire. On note $\mathrm{\text{Add}}n\left(k,k^{\prime },\lambda \right)$ la matrice $\mathrm{\text{I}}n,n+\lambda \cdot \mathrm{\text{E}}n,nk,k^{\prime }$.

Propriété 1.16 (ajout d’une ligne). Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs et soient $k,k^{\prime }$ deux entier distincts compris entre $1$ et $m$, et soit $\lambda \in 𝕂$ un scalaire. Soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice de taille $m\times n$ d’éléments de $𝕂$. Alors la matrice $\mathrm{\text{Add}}m\left(k,k^{\prime },\lambda \right)\times A$ est la matrice dont la $l$-ième ligne est la $l$-ième ligne de $A$ pour $l\ne k$, la $k$-ième ligne est la $k$-ième ligne de $A$ plus la $k^{\prime }$-ième ligne de $A$ multipliée par le scalaire $\lambda$.

Propriété 1.17 (ajout d’une colonne). Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs et soit $k,k^{\prime }$ deux entiers distincts compris entre $1$ et $n$ et $\lambda \in 𝕂$ un scalaire. Soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice de taille $m\times n$ d’éléments de $𝕂$. Alors la matrice $A\times \mathrm{\text{Add}}n\left(k,k^{\prime },\lambda \right)$ est la matrice dont la $l$-ième colonne est la $l$-ième colonne de $A$ pour $l\ne k^{\prime }$, la $k^{\prime }$-ième colonne est la $k^{\prime }$-ième colonne de $A$ plus la $k$-ième colonne de $A$ multipliée par le scalaire $\lambda$.

Propriété 1.18. Soit $n\in \mathbb{N}$ un entier, soit $k,k^{\prime }$ deux entiers distincts entre $1$ et $n$, et soit $\lambda ,\mu \in 𝕂$ deux scalaires. Alors $\mathrm{\text{Add}}n\left(k,k^{\prime },\lambda \right)\times \mathrm{\text{Add}}n\left(k,k^{\prime },\mu \right)=\mathrm{\text{Add}}n\left(k,k^{\prime },\lambda +\mu \right)$.

Définition 1.13 (matrice inversible à gauche). Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs. Soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice de taille $m\times n$ à valeur dans $𝕂$. On dit que $A$ est inversible à gauche si et seulement si il existe une matrice $B\in \mathcal{ℳ}n,m\left(𝕂\right)$ de taille $n\times m$ à valeur dans $𝕂$ telle que $B\times A=\mathrm{\text{I}}n,n$.
La matrice $B$ est alors appelée un inverse à gauche de $A$.

Définition 1.14 (matrice inversible à droite). Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs. Soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice de taille $m\times n$ à valeur dans $𝕂$. On dit que $A$ est inversible à droite si et seulement si il existe une matrice $B\in \mathcal{ℳ}n,m\left(𝕂\right)$ de taille $n\times m$ à valeur dans $𝕂$ telle que $A\times B=\mathrm{\text{I}}m,m$.
La matrice $B$ est alors appelée un inverse à droite de $A$.

Propriété 1.19. Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs. Soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice de taille $m\times n$ à valeur dans $𝕂$. La matrice $A$ est inversible à gauche si et seulement si la matrice ${}^{T}A$ est inversible à droite.

De plus, soit $B\in \mathcal{ℳ}n,m\left(𝕂\right)$ une matrice de taille $n\times m$ à valeur dans $𝕂$. Alors la matrice $B$ est un inverse à gauche de $A$ si et seulement si la matrice ${}^{T}B$ est un inverse à droite de ${}^{T}A$.

Définition 1.15 (matrice inversible). Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs. Soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice de taille $m\times n$ à valeur dans $𝕂$. On dit que $A$ est inversible si et seulement si il existe une matrice $B\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ telle que $A\times B=\mathrm{\text{I}}m,m$ et $B\times A=\mathrm{\text{I}}n,n$.
La matrice $B$ est alors appelée un inverse de $A$.

Définition 1.16. Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs. Une matrice $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ de taille $m\times n$ est dite échelonnée, si et seulement si il existe une fonction $\mathrm{\text{pivot}}$ qui associe à chaque indice de ligne de $A$ non nulle un indice de colonne, tel que :

1. Pour chaque ligne non nulle d’indice $i$, la première colonne non nulle a pour indice $\mathrm{\text{pivot}}\left(i\right)$.
2. Pour chaque ligne non nulle d’indice $i$, $A_{i,\mathrm{\text{pivot}}\left(i\right)}=1$.
3. Pour chaque ligne $i$ non nulle, $A_{i,\mathrm{\text{pivot}}\left(i\right)}$ est le seul élément non nul de la colonne $\mathrm{\text{pivot}}\left(i\right)$.
4. Pour chaque paire de lignes non nulles, d’indice $i$ et $j$, on a : $i<j\Rightarrow \mathrm{\text{pivot}}\left(i\right)<\mathrm{\text{pivot}}\left(j\right)$.
5. Les lignes nulles, si il y en a, sont à la fin de la matrice.

Algorithme 1.1 (pivot de Gaus). Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs. Soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice de taille $m\times n$. Alors, quitte à permuter les lignes de $A$, multiplier les lignes de $A$ par une constante non nulle, et ajouter à une ligne une autre ligne multipliée par une constante, alors on peut écrire $A$ sous forme échelonnée.
On suppose $m\ge 1$ et $n\ge 1$.

1. Posons $p\leftarrow 1$.
2. Si $A$ n’est pas échelonnée, on prend la première colonne $j_0$ telle qu’il existe une ligne $i_0$ telle que $a_{i,j}\ne 0$, avec $i\ge p$.
3. On permute la ligne $p$ et la ligne $i_0$.
4. On utilise la ligne $p$ pour annuler le reste de la colonne $j_0$.
5. On pose $p\leftarrow p+1$.

Algorithme 1.2 (inversion à gauche). Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs. Soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$.

1. On utilise l’algorithme 1.1 permet de vérifier si $A$ a un inverse à gauche.
2. • soit la matrice n’est pas inversible ;
   • soit la matrice est inversible :
     1. on a calculé une matrice $B\in \mathcal{ℳ}m,m\left(𝕂\right)$ carrée de taille $m$ et à valeur dans $𝕂$ qui vérifie : $B\times A=\mathrm{\text{I}}m,n$ ;
     2. on calcule $B\times \mathrm{\text{I}}m,m$ en faisant agir les mêmes transformations élémentaires qui ont transformé $A$ en $\mathrm{\text{I}}m,n$ sur $\mathrm{\text{I}}m,m$ ;
     3. l’ensemble des inverses à gauche de $A$ est alors l’ensemble des matrices $C\times B\times \mathrm{\text{I}}m,m$ pour chaque matrice $C\stackrel{\Delta }{=}{\left(c_{i,j}\right)}_{1\le i\le n,1\le j\le m}\in \mathcal{ℳ}n,m\left(𝕂\right)$ de taille $n\times m$ à valeur dans $𝕂$ et telle que pour tout $i$ tel que $1\le i\le n$ et pour tout $j$ tel que $1\le i\le n$, on ait $c_{i,j}={\delta }_j^i$.

Théorème 1.1. Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs. Soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice à valeur dans $𝕂$. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. $A$ est inversible à gauche ;
2. $m\ge n$ et $A$ peut s’écrire sous la forme $B\times \mathrm{\text{I}}m,n$ où $B$ est le produit de $0$, une, ou plusieurs matrices de transformation élémentaire, toutes carrées et de taille $m$ ;
3. les lignes de $A$ forment une famille génératrice de ${ℝ}^n$ ;
4. les colonnes de $A$ forment une famille libre dans ${ℝ}^m$ ;
5. pour toute matrice $X\in \mathcal{ℳ}n,1\left(𝕂\right)$ telle que $A\times X={\left(0\right)}_{1\le i\le n,j=1}$, on a $X={\left(0\right)}_{1\le i\le m,j=1}$ ;
6. pour toute matrice $Y\in \mathcal{ℳ}n,1\left(𝕂\right)$, il existe une matrice $X\in \mathcal{ℳ}m,1\left(𝕂\right)$ telle que ${}^{T}A\times X=Y$.

Algorithme 1.3 (inversion à droite). Soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice de taille $m\times n$ à valeur dans $𝕂$. On utilise l’algorithme 1.2 pour décider si la transposée de $A$ est inversible à gauche, et calculer ses inverses à gauche.

1. si ${}^{T}A$ n’est pas inversible à gauche, alors $A$ n’est pas inversible à droite ;
2. les inverses à droites de $A$ sont alors les transposées des inverses à gauche de ${}^{T}A$.

Théorème 1.2. Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs. Soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice à valeur dans $𝕂$. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. $A$ est inversible à droite ;
2. $m\le n$ et $A$ peut s’écrire sous la forme $\mathrm{\text{I}}m,n\times B$ où $B$ est le produit de $0$, une, ou plusieurs matrices de transformation élémentaire, toutes carrées et de taille $n$ ;
3. les colonnes de $A$ forment une famille génératrice de ${ℝ}^m$ ;
4. les lignes de $A$ forment une famille libre dans ${ℝ}^n$ ;
5. pour toute matrice $X\in \mathcal{ℳ}m,1\left(𝕂\right)$ telle que ${}^{T}A\times X={\left(0\right)}_{1\le i\le n,j=1}$, on a $X={\left(0\right)}_{1\le i\le m,j=1}$ ;
6. pour toute matrice $Y\in \mathcal{ℳ}m,1\left(𝕂\right)$, il existe une matrice $X\in \mathcal{ℳ}n,1\left(𝕂\right)$ telle que $A\times X=Y$.

Algorithme 1.4 (pivot de Gauss sur une matrice carrée). Soit $n\in \mathbb{N}$ un entier naturel. Soit $A\in \mathcal{ℳ}n,n\left(𝕂\right)$ une matrice carrée de taille $n$ à valeur dans $𝕂$.
On suppose que $n\ge 1$.

1. On pose $p=1$, $X_0=A$, et $Y_0=\mathrm{\text{I}}n,n$.
2. Si $p=n+1$, $A$ est inversible, et son inverse est $Y_n$.
3. On note $X_{p-1}={\left(x_{i,j}\right)}_{1\le i\le n,1\le j\le n}$.
4. Si pour tout $i\ge p$, $x_{i,p}=0$ alors la matrice $A$ n’est pas inversible.
5. On prends le plus petit indice $i_0$ tel que $i_0\ge p$ et tel que $x_{i_0,p}\ne 0$.
6. On permute la ligne $p$ et la ligne $i_0$ à la fois dans la matrice $X_{p-1}$ et dans la matrice $Y_{p-1}$.
7. On utilise la ligne $p$ pour annuler le reste de la colonne $j_0$ dans la matrice $X_{p-1}$, tout en effectuant les mêmes transformations dans la matrice $Y_{p-1}$
8. On pose $X_p$ et $Y_p$ les matrices obtenues.
9. $p\leftarrow p+1$,

Théorème 1.3. Soient $m,n\in \mathbb{N}$ deux entiers positifs. Soit $A\in \mathcal{ℳ}m,n\left(𝕂\right)$ une matrice à valeur dans $𝕂$. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. $A$ est inversible ;
2. $A$ peut s’écrire sous la forme d’un produit de $0$, une, ou plusieurs matrices de transformation élémentaire, toutes carrées et de taille $n$ ;
3. $m\ge n$ et les colonnes de $A$ forment une famille génératrice de ${ℝ}^m$ ;
4. $m\le n$ et les colonnes de $A$ forment une famille libre de ${ℝ}^m$ ;
5. $m\ge n$ et les lignes de $A$ forment une famille libre dans ${ℝ}^n$ ;
6. $m\le n$ et les lignes de $A$ forment une famille génératrice de ${ℝ}^n$.
7. $m\ge n$ et pour toute matrice $X\in \mathcal{ℳ}m,1\left(𝕂\right)$ telle que ${}^{T}A\times X={\left(0\right)}_{1\le i\le n,j=1}$, on a $X={\left(0\right)}_{1\le i\le m,j=1}$ ;
8. $m\ge n$ et pour toute matrice $Y\in \mathcal{ℳ}m,1\left(𝕂\right)$, il existe une matrice $X\in \mathcal{ℳ}n,1\left(𝕂\right)$ telle que $A\times X=Y$.
9. $m\le n$ et pour toute matrice $X\in \mathcal{ℳ}n,1\left(𝕂\right)$ telle que $A\times X={\left(0\right)}_{1\le i\le m,j=1}$, on a $X={\left(0\right)}_{1\le i\le n,j=1}$ ;
10. $m\le n$ et pour toute matrice $Y\in \mathcal{ℳ}n,1\left(𝕂\right)$, il existe une matrice $X\in \mathcal{ℳ}m,1\left(𝕂\right)$ telle que ${}^{T}A\times X=Y$.