Calcul matriciel

Jérôme Feret
DIENS (INRIA,ÉNS,CNRS)

16-20 mars 2017

1 Matrices

1.1 Algèbre des matrices

Déﬁnition 1.1 (matrice). Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. On appelle une matrice d’éléments de $𝕂$ à $m$ lignes et à $n$ colonnes une famille d’éléments ${(a_{i, j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ de $𝕂$ indexée par les couple $(i, j)$ où $i$ varie entre $1$ et $m$ , et $j$ varie entre $1$ et $n$ .
On dit aussi que ${(a_{i, j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ est une matrice de taille $m \times n$ .
On note $ℳ m, n (𝕂)$ l’ensemble des matrices de tailles $m \times n$ d’élément de $𝕂$ .
Enﬁn, lorsque $m = n$ , on dit que les matrices de $ℳ m, n (𝕂)$ sont carrés de taille $m$ .

Déﬁnition 1.2 (ligne). Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs Soit $A \overset{Δ}{=} {(a_{i, j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n} \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ . Soit $i_{0}$ un entier entre $1$ et $m$ . On appelle $i_{0}$ -ième ligne de $A$ , la famille de $n$ éléments de $𝕂$ ${(a_{i_{0}, j})}_{1 \leq j \leq n}$ .

Déﬁnition 1.3 (colonne). Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs Soit $A \overset{Δ}{=} {(a_{i, j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n} \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ . Soit $j_{0}$ un entier entre $1$ et $n$ . On appelle $j_{0}$ -ième colonne de $A$ , la famille de $m$ éléments de $𝕂$ ${(a_{i, j_{0}})}_{1 \leq i \leq m}$ .

Notation 1.1. On note habituellement les éléments d’une matrice sous forme de tableau. Par exemple, la matrice de taille $3 \times 3$ et d’éléments ${(a_{i, j})}_{1 \leq i \leq 3, 1 \leq j \leq 3}$ sera notée :

[\begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & a_{1, 3} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & a_{2, 3} \\ a_{3, 1} & a_{3, 2} & a_{3, 3} \end{matrix}]

Déﬁnition 1.4 (somme). Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soient $A \in ℳ m, n (𝕂)$ et $B \in ℳ m, n (𝕂)$ . On note $A \overset{Δ}{=} {(a_{i, j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ et $B \overset{Δ}{=} {(b_{i, j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ . La matrice ${(a_{i, j} + b_{i, j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ est appelée la somme des deux matrices $A$ et $B$ . On la note $A + B$ .

Exemple 1.1.

[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 5 \\ 2 & 6 & 8 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 3 & 4 & 5 \\ 10 & 2 & - 1 \\ 5 & 2 & 8 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 & 6 & 8 \\ 14 & 3 & 4 \\ 7 & 8 & 16 \end{matrix}]

Déﬁnition 1.5 (produit externe). Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs Soient $A \in ℳ m, n (𝕂)$ et $λ \in 𝕂$ . On note $A \overset{Δ}{=} {(a_{i, j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ . La matrice ${(λ \cdot a_{i, j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ est appelée le produit de la matrice $A$ par le scalaire $λ$ . On la note $λ \cdot A$ .

Exemple 1.2.

2 \cdot [\begin{matrix} 3 & 4 & 5 \\ 10 & 2 & - 1 \\ 5 & 2 & 8 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 & 8 & 10 \\ 20 & 4 & - 2 \\ 10 & 4 & 16 \end{matrix}]

Déﬁnition 1.6. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $k$ un entier entre $1$ et $m$ et soit $k^{'}$ un entier entre $1$ et $n$ . On note $E_{k, k^{'}} \overset{Δ}{=} (δ_{i}^{k} \cdot δ_{j}^{k^{'}})$ la matrice de taille $m \times n$ dont tous les éléments sont nuls, sauf dans la case à la ligne $k$ et à la colonne $k^{'}$ dans laquelle la valeur est $1$ .

Propriété 1.1. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs $(ℳ m, n (𝕂), +, \cdot)$ est un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension $m \cdot n$ . De plus, la famille des matrices élémentaire ${(E_{i, j}^{m, n})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ est une base de $(ℳ m, n (𝕂), +, \cdot)$ .

Preuve On sait que $(𝕂, +, \cdot)$ est un $𝕂$ -espace vectoriel. Puis $(ℳ m, n (𝕂), +, \cdot)$ est un $𝕂$ -espace vectoriel. La famille $(E_{i, j})$ est une base car la famille $(1)$ est une base de $(𝕂, +, \cdot)$ .

$□$

Déﬁnition 1.7 (produit interne). Soient $m, n, o \in ℕ$ trois entiers positifs. Soient $A \in ℳ m, n (𝕂)$ et $B \in ℳ n, o (𝕂)$ . On note $A \overset{Δ}{=} {(a_{i, j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ et $B \overset{Δ}{=} {(b_{i, j})}_{1 \leq i \leq n, 1 \leq k \leq o}$ . La matrice $(c_{i, j}) \in ℳ m, o (𝕂)$ déﬁnie par :

c_{i, j} \overset{Δ}{=} \sum_{k = 1}^{n} a_{i, k} \cdot b_{k, j},

pour $1 \leq i \leq m$ et $1 \leq j \leq o$ , est appelée le produit entre $A$ et $B$ , et est notée $A \times B$ .

Exemple 1.3.

[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \\ 2 & 6 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 3 & 4 & 5 \\ 10 & 2 & - 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 23 & 8 & 3 \\ 22 & 18 & 19 \\ 66 & 20 & 4 \end{matrix}]

Preuve

		$3$	$4$	$5$
		$10$	$2$	$- 1$

$1$	$2$	$1 \cdot 3 + 2 \cdot 10$	$1 \cdot 4 + 2 \cdot 2$	$1 \cdot 5 + 2 \cdot (- 1)$
$4$	$1$	$4 \cdot 3 + 1 \cdot 10$	$4 \cdot 4 + 1 \cdot 2$	$4 \cdot 5 + 1 \cdot (- 1)$
$2$	$6$	$2 \cdot 3 + 6 \cdot 10$	$2 \cdot 4 + 6 \cdot 2$	$2 \cdot 5 + 6 \cdot (- 1)$

□

Propriété 1.2. Soient $m, n, o, p \in ℕ$ quatre entiers. Soient $A \in ℳ m, n (𝕂)$ , $B \in ℳ n, o (𝕂)$ , $C \in ℳ o, p (𝕂)$ trois matrices à valeur dans $𝕂$ .
Alors :

A \times (B \times C) = (A \times B) \times C .

Preuve

à faire en exercice

□

Propriété 1.3. Soient $m, n, o \in ℕ$ trois entiers naturels. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ à valeur dans $𝕂$ . La fonction $ϕ : ℳ n, o (𝕂) \to ℳ m, o (𝕂)$ qui à toute matrice $B \in ℳ n, o (𝕂)$ de taille $n \times o$ à valeur dans $𝕂$ associe la matrice $A \times B$ est une application linéaire entre $(ℳ n, o (𝕂), +, \cdot)$ et $(ℳ m, o (𝕂), +, \cdot)$ .

Preuve

à faire en exercice

□

Déﬁnition 1.8 (transposée). Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ d’éléments de $𝕂$ . On note $A \overset{Δ}{=} {(a_{i, j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ . La matrice ${(a_{j, i})}_{1 \leq j \leq n, 1 \leq i \leq m}$ est une matrice de taille $n \times m$ d’éléments de $𝕂$ . Cette matrice est appelée la transposée de $A$ et est noté $^{T} A$ .

Exemple 1.4. On a :

\begin{matrix} ^{T} \end{matrix} [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \\ 2 & 6 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 6 \end{matrix}] .

Propriété 1.4. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soient $i$ un entier entre $1$ et $m$ et $j$ un entier entre $1$ et $n$ . Alors $^{T} E_{i, j}^{m, n} = E_{j, i}^{n, m}$ .

Preuve

à faire en exercice

□

Propriété 1.5. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. La fonction $ϕ : ℳ m, n (𝕂) \to ℳ n, m (𝕂)$ qui à chaque matrice de taille $m \times n$ à valeur dans $𝕂$ associe sa transposée est un isomorphisme entre $(ℳ m, n (𝕂), +, \cdot)$ et $(ℳ n, m (𝕂), +, \cdot)$ .

Preuve

à faire en exercice

□

Propriété 1.6. Soient $m, n, o \in ℕ$ trois entiers positifs. Soient $A \in ℳ m, n (𝕂)$ et $B \in ℳ n, o (𝕂)$ deux matrices de tailles $m \times n$ et $n \times o$ , et d’éléments de $𝕂$ . Alors, on a :

^{T} (M \times N) =^{T} N \times^{T} M .

Preuve

à faire en exercice

□

Propriété 1.7. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice à valeur dans $𝕂$ et de taille $m \times n$ . Alors, on a :

^{T} (T A) = A .

Preuve

à faire en exercice

□

Propriété 1.8. Soient $m, n, o \in ℕ$ trois entiers naturels. Soit $A \in ℳ n, o (𝕂)$ une matrice de taille $n \times o$ à valeur dans $𝕂$ . La fonction $ϕ : ℳ m, n (𝕂) \to ℳ m, o (𝕂)$ qui à toute matrice $B \in ℳ m, n (𝕂)$ de taille $m \times o$ à valeur dans $𝕂$ associe la matrice $B \times A$ est une application linéaire entre $(ℳ m, n (𝕂), +, \cdot)$ et $(ℳ m, o (𝕂), +, \cdot)$ .

Preuve Soit $m, n, o \in ℕ$ trois entiers naturels. Soit $A \in ℳ n, o (𝕂)$ une matrice de taille $n \times o$ à valeur dans $𝕂$ . La fonction $ϕ : ℳ m, n (𝕂) \to ℳ m, o (𝕂)$ qui à toute matrice $B \in ℳ m, n (𝕂)$ de taille $m \times n$ à valeur dans $𝕂$ associe la matrice $B \times A$ . Soient $B, B^{'} \in ℳ m, n (𝕂)$ deux matrices de tailles $m \times n$ à valeur dans $𝕂$ et soit $λ \in 𝕂$ . On a :

\begin{matrix} (B + λ \cdot B^{'}) \times A =^{T} (T ((B + λ \cdot B^{'}) \times A)) & (par la propriété 1.7) \\ (B + λ \cdot B^{'}) \times A =^{T} (T A \times^{T} (B + λ \cdot B^{'})) & (par la propriété 1.6) \\ (B + λ \cdot B^{'}) \times A =^{T} (T A \times (T B + λ \cdot (T B^{'}))) & (par la propriété 1.5) \\ (B + λ \cdot B^{'}) \times A =^{T} (T A \times^{T} B + λ \cdot (T A \times^{T} B^{'}))) & (par la propriété 1.3) \\ (B + λ \cdot B^{'}) \times A =^{T} (T (B \times A) + λ \cdot^{T} (B^{'} \times A)) & (par la propriété 1.6) \\ (B + λ \cdot B^{'}) \times A =^{T} (T (B \times A)) + λ \cdot^{T} (T (B^{'} \times A)) & (par la propriété 1.5) \\ (B + λ \cdot B^{'}) \times A = B \times A + λ \cdot B^{'} \times A & (par la propriété 1.7) \end{matrix}

Donc $ϕ$ est une application linéaire.

$□$

1.2 Transformations élémentaires

1.2.1 Matrice identité

Déﬁnition 1.9 (identité). Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. On note $I m, n \in ℳ m, n (𝕂)$ la matrice carrée ${(δ_{i}^{j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ .

Exemple 1.5. Par exemple, on a :

I 3, 4 = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

Propriété 1.9. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs et soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ . On a : $A = I m, m \times A$ .

Preuve Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs et soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ à valeur dans $𝕂$ . On note $A \overset{Δ}{=} {(a_{i, j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ . On note $I m, m \times A \overset{Δ}{=} {(b_{i, j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ . Soit $i \in ℕ$ un entier entre $1$ et $m$ , et $j \in ℕ$ un entier entre $1$ et $n$ .

b_{i, j} = \sum_{k = 1}^{m} δ_{k}^{i} \cdot a_{k, j} .

On a $i$ entre $1$ et $m$ , la somme s’annule partout sauf, pour $k = i$ .

b_{i, j} = a_{i, j} .

□

Propriété 1.10. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs et soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ . On a : $A = A \times I n, n$ .

Preuve Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs et soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ à valeur dans $𝕂$ . On note $A \overset{Δ}{=} {(a_{i, j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ . On note $A \times I n, n \overset{Δ}{=} {(b_{i, j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ . Soit $i \in ℕ$ un entier entre $1$ et $m$ , et $j \in ℕ$ un entier entre $1$ et $n$ .

b_{i, j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i, k} \cdot δ_{j}^{k} .

On a $j$ entre $1$ et $n$ , la somme s’annule partout sauf, pour $k = j$ .

b_{i, j} = a_{i, j} .

□

Propriété 1.11. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs tels que $m \leq n$ , alors $I m, n \times I n, m = I m, m$ .

Preuve Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs tels que $m \leq n$ .
On note $I m, n \times I n, m \overset{Δ}{=} {(a_{i, j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq m}$ .
Soit $i, j$ deux entiers entre $1$ et $m$ .
On a : $a_{i, j} = \sum_{k = 1}^{n} δ_{i}^{k} \cdot δ_{k}^{j}$ .

si $i = j$ , alors la somme s’annule partout, sauf pour $k = i$ . Puis $a_{i, j} = 1$ .
sinon, la somme s’annule partout. Puis $a_{i, j} = 0$ .

□

1.2.2 Permutation de lignes et de colonnes

Déﬁnition 1.10 (matrice de permutation). Soit $n \in ℕ$ . Soient $k$ et $k^{'}$ deux entiers entre $1$ et $n$ . On note $Swap n (k, k^{'})$ la matrice $I n, n - E n, n k, k - E n, n k^{'}, k^{'} + E n, n k, k^{'} + E n, n k^{'}, k$ .

Exemple 1.6. Par exemple :

Swap 3 (2, 3) = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}] .

Propriété 1.12. Soit $n \in ℕ$ et soient $k, k^{'}$ deux entiers compris entre $1$ et $n$ . On a :

^{T} (Swap n (k, k^{'})) = Swap n (k, k^{'}) .

Preuve Soit $n \in ℕ$ et soient $k, k^{'}$ deux entiers compris entre $1$ et $n$ . On a :

\begin{matrix} ^{T} (Swap n (k, k^{'})) =^{T} (I n, n - E n, n k, k - E n, n k^{'}, k^{'} + E n, n k, k^{'} + E n, n k^{'}, k) \\ ^{T} (Swap n (k, k^{'})) =^{T} I n, n -^{T} E n, n k, k -^{T} E n, n k^{'}, k^{'} +^{T} E n, n k, k^{'} +^{T} E n, n k^{'}, k \\ ^{T} (Swap n (k, k^{'})) = I n, n - E n, n k, k - E n, n k^{'}, k^{'} + E n, n k^{'}, k + E n, n k, k^{'} \\ ^{T} (Swap n (k, k^{'})) = Swap n (k, k^{'}) . \end{matrix}

□

Propriété 1.13 (permutation de lignes). Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs et soient $k, k^{'}$ deux entiers compris entre $1$ et $m$ . Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ d’éléments de $𝕂$ . Alors la matrice $Swap m (k, k^{'}) \times A$ est la matrice dont la $l$ -ième ligne est la $l$ -ième ligne de $A$ pour $l \notin {k, k^{'}}$ , la $k$ -ième ligne est la $k^{'}$ -ième ligne de $A$ , et la $k^{'}$ -ième ligne est la $k$ -ième ligne de $A$ .

Preuve Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs et soient $k, k^{'}$ deux entiers compris entre $1$ et $m$ . Soit $A$ une matrice de $ℳ m, n (𝕂)$ . On note $A \overset{Δ}{=} {(a_{i, j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ .
On a :

\begin{matrix} {(Swap m (k, k^{'}) \times A)}_{i, j} = \sum_{l = 1}^{m} {(Swap m (k, k^{'}))}_{i, l} \cdot a_{l, j} \\ {(Swap m (k, k^{'}) \times A)}_{i, j} = \sum_{l = 1}^{m} (δ_{i}^{l} - δ_{i}^{k} \cdot δ_{l}^{k} - δ_{i}^{k^{'}} \cdot δ_{l}^{k^{'}} + δ_{i}^{k^{'}} \cdot δ_{l}^{k} + δ_{i}^{k} \cdot δ_{l}^{k^{'}}) \cdot a_{l, j} \end{matrix}

Puis :

pour $i \notin {k, k^{'}}$ :
$δ_{i}^{l} - δ_{i}^{k} \cdot δ_{l}^{k} - δ_{i}^{k^{'}} \cdot δ_{l}^{k^{'}} + δ_{i}^{k^{'}} \cdot δ_{l}^{k} + δ_{i}^{k} \cdot δ_{l}^{k^{'}} = δ_{i}^{l} .$

Puis :
$\begin{matrix} {(Swap m (k, k^{'}) \times A)}_{i, j} = \sum_{l = 1}^{m} δ_{i}^{l} \cdot a_{l, j}; \\ {(Swap m (k, k^{'}) \times A)}_{i, j} = a_{i, j} \end{matrix}$
pour $i = k$ et $i \neq k^{'}$ :
$δ_{k}^{l} - δ_{l}^{k} + δ_{l}^{k^{'}} = δ_{l}^{k^{'}}$

Puis :
$\begin{matrix} {(Swap m (k, k^{'}) \times A)}_{k, j} = \sum_{l = 1}^{m} δ_{l}^{k^{'}} \cdot a_{l, j}; \\ {(Swap m (k, k^{'}) \times A)}_{k, j} = a_{k^{'}, j} \end{matrix}$

pour

i = k^{'}

i \neq k

δ_{k^{'}}^{l} - δ_{l}^{k^{'}} + δ_{l}^{k} = δ_{l}^{k}

Puis :

{(Swap m (k, k^{'}) \times A)}_{k^{'}, j} = a_{k, j}

pour $i = k^{'}$ et $i = k$ :
$δ_{k}^{l} - δ_{l}^{k} - δ_{l}^{k^{'}} + δ_{l}^{k} + δ_{l}^{k^{'}} = δ_{k}^{l}$

Puis :
$\begin{matrix} {(Swap m (k, k^{'}) \times A)}_{k, j} = a_{k, j} \\ {(Swap m (k, k^{'}) \times A)}_{k, j} = a_{k^{'}, j} \end{matrix}$

□

Propriété 1.14 (permutation de colonnes). Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs et soient $k, k^{'}$ deux entiers compris entre $1$ et $n$ . Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ d’éléments de $𝕂$ . Alors la matrice $A \times Swap n (k, k^{'})$ est la matrice dont la $l$ -ième colonne est la $l$ -ième colonne de $A$ pour $l \notin {k, k^{'}}$ , la $k$ -ième colonne est la $k^{'}$ -ième colonne de $A$ , et la $k$ -ième colonne est la $k^{'}$ -ième colonne de $A$ .

Preuve Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs et soient $k, k^{'}$ deux entiers compris entre $1$ et $m$ . Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ d’éléments de $𝕂$ .
On a : $^{T} (A \times Swap n (k, k^{'})) = Swap n (k, k^{'}) \times^{T} A$ .
Donc la transposée de $A \times Swap n (k, k^{'})$ est la transposée de $A$ donc on a permuté les lignes $k$ et $k^{'}$ .
Puis $A \times Swap n (k, k^{'})$ est la matrice $A$ dans laquelle on a permuté les colonnes $k$ et $k^{'}$ .

$□$

Exemple 1.7.

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \end{matrix}] .

[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 2 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 5 & 4 \\ 3 & 4 & 6 & 5 \end{matrix}] .

Propriété 1.15. Soit $n \in ℕ$ un entier. Soient $k, k^{'}$ deux entiers compris entre $1$ et $n$ . On a :

{(Swap n (k, k^{'}))}^{2} = I n, n

1.2.3 Multiplication d’une ligne ou d’une colonne par un scalaire

Déﬁnition 1.11 (matrice de dilatation). Soit $n \in ℕ$ . Soient $k$ un entier entre $1$ et $n$ et $λ \in 𝕂 ∖ {0}$ un scalaire non nul. On note $Dilat n (k, λ)$ la matrice $I n, n + (λ - 1) \cdot E n, n k, k$ .

Exemple 1.8. Par exemple,

Dilat 3 (2, 4) = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] .

Propriété 1.16. Soit $n \in ℕ$ et soient $k$ un entier compris entre $1$ et $n$ et $λ \in 𝕂 ∖ {0}$ un scalaire non nul. On a : $^{T} (Dilat n (k, λ)) = Dilat n (k, λ)$ .

Preuve Soit $n \in ℕ$ et soient $k$ un entier compris entre $1$ et $n$ et $λ \in 𝕂 ∖ {0}$ un scalaire non nul. On a :

\begin{matrix} ^{T} (Dilat n (k, λ)) =^{T} (I n, n + (λ - 1) \cdot E n, n k, k) \\ ^{T} (Dilat n (k, λ)) =^{T} (I n, n) +^{T} ((λ - 1) \cdot E n, n k, k) \\ ^{T} (Dilat n (k, λ)) =^{T} (I n, n) + (λ - 1) \cdot^{T} E n, n k, k \\ ^{T} (Dilat n (k, λ)) = I n, n + (λ - 1) \cdot E n, n k, k \\ ^{T} (Dilat n (k, λ)) = Dilat n (k, λ) \end{matrix}

□

Propriété 1.17 (dilatation de lignes). Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs et soient $k$ un entier compris entre $1$ et $m$ et $λ \in 𝕂 ∖ {0}$ un scalaire non nul. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ d’éléments de $𝕂$ . Alors la matrice $Dilat m (k, λ) \times A$ est la matrice dont la $l$ -ième ligne est la $l$ -ième ligne de $A$ pour $l \neq k$ , la $k$ -ième ligne est la $k$ -ième ligne de $A$ multipliée par le scalaire $λ$ .

Preuve Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs et soient $k$ un entier compris entre $1$ et $m$ et $λ \in 𝕂 ∖ {0}$ un scalaire non nul. Soit $A$ une matrice de $ℳ m, n (𝕂)$ . On note $A \overset{Δ}{=} {(a_{i, j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq i \leq n}$ .
On a :

\begin{matrix} {(Dilat m (k, λ) \times A)}_{i, j} = \sum_{l = 1}^{m} {(Dilat m (k, λ))}_{i, l} \cdot a_{l, j} \\ {(Dilat m (k, λ) \times A)}_{i, j} = \sum_{l = 1}^{m} (δ_{i}^{l} + (λ - 1) \cdot δ_{i}^{k} \cdot δ_{l}^{k}) \cdot a_{l_{j}} \end{matrix}

Puis :

pour

i \neq k

δ_{i}^{l} + (λ - 1) \cdot δ_{i}^{k} \cdot δ_{l}^{k} = δ_{i}^{l} .

Puis :

\begin{matrix} {(Dilat m (k, λ) \times A)}_{i, j} = \sum_{l = 1}^{m} δ_{i}^{l} \cdot a_{l, j}; \\ {(Dilat m (k, λ) \times A)}_{i, j} = a_{i, j} \end{matrix}

pour $i = k$ :
$δ_{i}^{l} + (λ - 1) \cdot δ_{l}^{k} = λ \cdot δ_{i}^{l}$

Puis :
$\begin{matrix} {(Dilat m (k, λ) \times A)}_{k, j} = \sum_{l = 1}^{m} λ \cdot δ_{l}^{i} \cdot a_{l, j}; \\ {(Dilat m (k, λ) \times A)}_{k, j} = λ \cdot a_{i, j} . \end{matrix}$

□

Propriété 1.18 (dilatation de colonnes). Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs et soit $k, k^{'}$ deux entiers compris entre $1$ et $n$ et $λ \in 𝕂 ∖ {0}$ un scalaire non nul. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ d’éléments de $𝕂$ . Alors la matrice $A \times Dilat n (k, λ)$ est la matrice dont la $l$ -ième colonne est la $l$ -ième colonne de $A$ pour $l \neq k$ , la $k$ -ième colonne est la $k$ -ième colonne de $A$ multipliée par le scalaire $λ$ .

Preuve Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs, soit $k$ un entier compris entre $1$ et $n$ , et soit $λ \in 𝕂 ∖ {0}$ un scalaire non nul. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ d’éléments de $𝕂$ .
On a : $^{T} (A \times Dilat n (k, λ)) = Dilat n (k, λ) \times^{T} A$ .
Donc la transposée de $A \times Dilat n (k, λ)$ est la transposée de $A$ donc on a multiplié la $k$ -ième ligne par $λ$ .
Puis $A \times Dilat n (k, λ)$ est la matrice $A$ dans laquelle on a multiplié la colonne $k$ par $n$ .

$□$

Exemple 1.9.

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 6 & 8 & 10 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \end{matrix}] .

[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 2 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 8 & 5 \\ 3 & 4 & 10 & 6 \end{matrix}] .

Propriété 1.19. Soit $n \in ℕ$ un entier, soit $k$ un entier entre $1$ et $n$ , et soit $λ, μ \in 𝕂 \in ∖ {0}$ deux scalaires non nuls. Alors $Dilat n (k, λ) \times Dilat n (k, μ) = Dilat n (k, λ \cdot μ)$ .

Preuve

à faire en exercice

□

1.2.4 Ajout de lignes et de colonnes

Déﬁnition 1.12 (matrice de combinaison). Soit $n \in ℕ$ . Soient $k$ et $k^{'}$ deux entiers distincts entre $1$ et $n$ et soit $λ \in 𝕂$ un scalaire. On note $Add n (k, k^{'}, λ)$ la matrice $I n, n + λ \cdot E n, n k, k^{'}$ .

Exemple 1.10. Par exemple,

Add 3 (1, 2, 4) = [\begin{matrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] .

Propriété 1.20. Soit $n \in ℕ$ et soient $k, k^{'}$ deux entiers distincts compris entre $1$ et $n$ et soit $λ \in 𝕂$ un scalaire. On a : $^{T} (Add n (k, k^{'}, λ)) = Add n (k^{'}, k, λ)$ .

Preuve Soit $n \in ℕ$ et soient $k, k^{'}$ deux entiers distincts compris entre $1$ et $n$ et soit $λ \in 𝕂$ un scalaire. On a :

\begin{matrix} ^{T} (Add n (k, k^{'}, λ)) =^{T} (I n, n + λ \cdot E n, n k, k^{'}) \\ ^{T} (Add n (k, k^{'}, λ)) =^{T} (I n, n) +^{T} (λ \cdot E n, n k, k^{'}) \\ ^{T} (Add n (k, k^{'}, λ)) = I n, n + λ \cdot^{T} E n, n k, k^{'} \\ ^{T} (Add n (k, k^{'}, λ)) = I n, n + λ \cdot E n, n k^{'}, k \\ ^{T} (Add n (k, k^{'}, λ)) = Add n (k^{'}, k, λ) . \end{matrix}

□

Propriété 1.21 (ajout d’une ligne). Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs et soient $k, k^{'}$ deux entier distincts compris entre $1$ et $m$ , et soit $λ \in 𝕂$ un scalaire. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ d’éléments de $𝕂$ . Alors la matrice $Add m (k, k^{'}, λ) \times A$ est la matrice dont la $l$ -ième ligne est la $l$ -ième ligne de $A$ pour $l \neq k$ , la $k$ -ième ligne est la $k$ -ième ligne de $A$ plus la $k^{'}$ -ième ligne de $A$ multipliée par le scalaire $λ$ .

Preuve Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs et soient $k, k^{'}$ deux entiers distincts compris entre $1$ et $m$ et $λ \in 𝕂$ un scalaire. Soit $A$ une matrice de $ℳ m, n (𝕂)$ . On note $A \overset{Δ}{=} {(a_{i, j})}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq i \leq n}$ .
On a :

\begin{matrix} {(Add m (k, k^{'}, λ) \times A)}_{i, j} = \sum_{l = 1}^{m} {(Add m (k, k^{'}, λ))}_{i, l} \cdot a_{l, j} \\ {(Add m (k, k^{'}, λ) \times A)}_{i, j} = \sum_{l = 1}^{m} (δ_{i}^{l} + λ \cdot δ_{i}^{k} \cdot δ_{l}^{k^{'}}) \cdot a_{l_{j}} \end{matrix}

Puis :

pour $i \neq k$ :
$δ_{i}^{l} + λ \cdot δ_{i}^{k} \cdot δ_{l}^{k^{'}} = δ_{i}^{l} .$

Puis :
$\begin{matrix} {(Add m (k, k^{'}, λ) \times A)}_{i, j} = \sum_{l = 1}^{m} δ_{i}^{l} \cdot a_{l, j}; \\ {(Add m (k, k^{'}, λ) \times A)}_{i, j} = a_{i, j} \end{matrix}$

pour

i = k

δ_{i}^{l} + λ \cdot δ_{i}^{k} \cdot δ_{l}^{k^{'}} = δ_{i}^{l} + λ \cdot δ_{l}^{k^{'}} .

Puis :

\begin{matrix} {(Add m (k, k^{'}, λ) \times A)}_{k, j} = \sum_{l = 1}^{m} δ_{i}^{l} \cdot a_{l, j} + \sum_{l = 1}^{m} λ \cdot δ_{l}^{k^{'}} \cdot a_{l, j} \\ {(Add m (k, k^{'}, λ) \times A)}_{k, j} = a_{i, j} + λ \cdot a_{k^{'}, j} . \end{matrix}

□

Propriété 1.22 (ajout d’une colonne). Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs et soit $k, k^{'}$ deux entiers distincts compris entre $1$ et $n$ et $λ \in 𝕂$ un scalaire. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ d’éléments de $𝕂$ . Alors la matrice $A \times Add n (k, k^{'}, λ)$ est la matrice dont la $l$ -ième colonne est la $l$ -ième colonne de $A$ pour $l \neq k^{'}$ , la $k^{'}$ -ième colonne est la $k^{'}$ -ième colonne de $A$ plus la $k$ -ième colonne de $A$ multipliée par le scalaire $λ$ .

Preuve Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs, soit $k, k^{'}$ deux entiers distincts compris entre $1$ et $n$ , et soit $λ \in 𝕂$ un scalaire. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ d’éléments de $𝕂$ .
On a : $^{T} (A \times Add n (k, k^{'}, λ)) = Add n (k^{'}, k, λ) \times^{T} A$ .
Donc la transposée de $A \times Add n (k, k^{'}, λ)$ est la transposée de $A$ donc on a ajouté à la ligne $k^{'}$ la ligne $k$ multipliée par le scalaire $λ$ .
Puis $A \times Add n (k, k^{'}, λ)$ est la matrice $A$ dans laquelle on a ajouté à la colonne $k^{'}$ la colonne $k$ multipliée par le scalaire $λ$ .

$□$

Exemple 1.11.

[\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 & 8 & 11 & 14 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \end{matrix}] .

[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 4 & 3 & 4 \\ 2 & 7 & 4 & 5 \\ 3 & 10 & 5 & 6 \end{matrix}] .

Propriété 1.23. Soit $n \in ℕ$ un entier, soit $k, k^{'}$ deux entiers distincts entre $1$ et $n$ , et soit $λ, μ \in 𝕂$ deux scalaires. Alors $Add n (k, k^{'}, λ) \times Add n (k, k^{'}, μ) = Add n (k, k^{'}, λ + μ)$ .

Preuve

à faire en exercice

□

1.3 Matrices inversibles

1.3.1 Inversibilité à gauche et à droite

Déﬁnition 1.13 (matrice inversible à gauche). Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ à valeur dans $𝕂$ . On dit que $A$ est inversible à gauche si et seulement si il existe une matrice $B \in ℳ n, m (𝕂)$ de taille $n \times m$ à valeur dans $𝕂$ telle que $B \times A = I n, n$ .
La matrice $B$ est alors appelée un inverse à gauche de $A$ .

Exemple 1.12. La matrice :

[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix}]

a plusieurs inverses à gauche.

Par exemple, pour tout $a, b \in 𝕂$ , la matrice :

[\begin{matrix} - \frac{1 + 5 \cdot a}{3} & \frac{2 - 2 \cdot a}{3} & a \\ \frac{2 - 5 \cdot b}{3} & - \frac{1 + 2 \cdot b}{3} & b \end{matrix}]

est un inverse à gauche de la matrice :

[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix}]

Preuve

à faire en exercice

□

Déﬁnition 1.14 (matrice inversible à droite). Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ à valeur dans $𝕂$ . On dit que $A$ est inversible à droite si et seulement si il existe une matrice $B \in ℳ n, m (𝕂)$ de taille $n \times m$ à valeur dans $𝕂$ telle que $A \times B = I m, m$ .
La matrice $B$ est alors appelée un inverse à droite de $A$ .

Exemple 1.13. La matrice :

[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{matrix}]

a des inverses à droite.

Par exemple, pour tout $a, b \in 𝕂$ , la matrice :

[\begin{matrix} - \frac{1 + 5 \cdot a}{3} & \frac{2 - 5 \cdot b}{3} \\ \frac{2 - 2 \cdot a}{3} & - \frac{1 + 2 \cdot b}{3} \\ a & b \end{matrix}]

est un inverse à droite de la matrice :

[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{matrix}]

Preuve

à faire en exercice

□

Propriété 1.24. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ à valeur dans $𝕂$ . La matrice $A$ est inversible à gauche si et seulement si la matrice $^{T} A$ est inversible à droite.

De plus, soit $B \in ℳ n, m (𝕂)$ une matrice de taille $n \times m$ à valeur dans $𝕂$ . Alors la matrice $B$ est un inverse à gauche de $A$ si et seulement si la matrice $^{T} B$ est un inverse à droite de $^{T} A$ .

Preuve

à faire en exercice

□

Déﬁnition 1.15 (matrice inversible). Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ à valeur dans $𝕂$ . On dit que $A$ est inversible si et seulement si il existe une matrice $B \in ℳ m, n (𝕂)$ telle que $A \times B = I m, m$ et $B \times A = I n, n$ .
La matrice $B$ est alors appelée un inverse de $A$ .

Notation 1.2. Si une matrice $A$ est inversible, son inverse est noté $A^{- 1}$ .

Exemple 1.14. La matrice :

[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 6 \\ 1 & 8 & 10 \end{matrix}]

est inversible.
De plus, son inverse est :

[\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 \\ 1 & \frac{- 7}{4} & \frac{3}{4} \\ - 1 & \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \end{matrix}] .

Preuve

à faire en exercice

□

Propriété 1.25. Les matrices carrés de transformation élémentaire sont inversibles.

Preuve Soit $n \in ℕ$ un entier naturel.

Par la propriété 1.10, on a :
$I n, n \times I n, n = I n, n .$

Donc $I n, n$ est inversible et son inverse est $I n, n$ .
Soit $B \in ℳ n, n (𝕂)$ est une matrice de permutation. Alors, par la propriété 1.15, on a : $B \times B = I n, n$ .
Donc la matrice $B$ est inversible et son inverse est $B$ .
Soit $k \in ℕ$ tel que $1 \leq k \leq n$ . Soit $λ \in 𝕂 ∖ {0}$ . Par la propriété 1.19, on a : $Dilat n (k, λ) \times Dilat n (k, \frac{1}{λ}) = Dilat n (k, 1)$ et $Dilat n (k, \frac{1}{λ}) \times Dilat n (k, λ) = Dilat n (k, 1)$ . Or $Dilat n (k, 1) = I n, n$ .
Donc $Dilat n (k, λ)$ est inversible et son inverse est $Dilat n (k, \frac{1}{λ})$ .
Si il existe $k, k^{'}$ deux entiers distincts entre $1$ et $n$ et $λ \in 𝕂$ . Alors, par la propriété 1.23, on a : $Add n (k, k^{'}, λ) \times Add n (k, k^{'}, - λ) = Add n (k, k^{'}, 0)$ et $Add n (k, k^{'}, - λ) \times Add n (k, k^{'}, λ) = Add n (k, k^{'}, 0)$ . Or, $Add n (k, k^{'}, 0) = I n, n$ .
Donc $Add n (k, k^{'}, λ)$ est inversible et son inverse est $Add n (k, k^{'}, - λ)$ .

□

Propriété 1.26. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ qui a un admet un inverse à droite $B \in ℳ n, m (𝕂)$ et un inverse à gauche $C \in ℳ m, n (𝕂)$ . Alors $B = C$ (et $A$ est inversible).

Preuve Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ qui a un admet un inverse à droite $B \in ℳ n, m (𝕂)$ et un inverse à gauche $C \in ℳ m, n (𝕂)$ .
On a :

\begin{matrix} B = B \times I m, m & (par la propriété 1.10) \\ B = B \times (A \times C) & (par la déﬁnition 1.14) \\ B = (B \times A) \times C & (par la propriété 1.2) \\ B = I n, n \times C & (par la déﬁnition 1.13) \\ B = C & (par la propriété 1.9) . \end{matrix}

Donc $B = C$ .

$□$

1.3.2 Inversion à gauche

Propriété 1.27. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ à valeur dans $𝕂$ telle que $A$ soit inversible à gauche. Alors,

pour toute matrice $X \in ℳ n, 1 (𝕂)$ de talle $n \times 1$ à valeur dans $𝕂$ , on a : $A \times X = {(0)}_{1 \leq i \leq m, j = 1} \Rightarrow X = {(0)}_{1 \leq i \leq n, j = 1}$ ;
les colonnes de $A$ forment une famille libre de $ℝ^{n}$ .

Preuve

à faire en exercice

□

Propriété 1.28. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. La matrice identité $I m, n$ est inversible à gauche si et seulement si $m \geq n$ .

Preuve

( $\Leftarrow$ ) Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs tels que $m \geq n$ .
On a par la propriété ??, $I n, m \times I m, n = I n, n$ . Donc $I m, n$ est inversible à gauche.
( $\Rightarrow$ ) Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs tels que $I m, n$ soit inversible à gauche. Les colonnes de $I m, n$ forment une famille libre, donc il n’y a pas de colonne nulle, puis $m \geq n$ .

□

Propriété 1.29. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifstels que $m \geq n$ . Soit $A \in ℳ n, m (𝕂)$ . On note $A = {(a_{i, j})}_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m}$ . Alors $A$ est un inverse à gauche de $I m, n$ si et seulement si pour tout $i$ entre $1$ et $n$ et tout $j$ entre $1$ et $n$ , on a : $a_{i, j} = δ_{j}^{i}$ .

Preuve

à faire en exercice

□

Propriété 1.30. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ à valeur dans $𝕂$ . Soit $B \in ℳ m, m (𝕂)$ une matrice inversible de taille $m \times m$ . Alors $A$ est inversible à gauche si et seulement si $B \times A$ est inversible à gauche.

Propriété 1.31. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ à valeur dans $𝕂$ . Soit $B \in ℳ m, m (𝕂)$ une matrice inversible de taille $m \times m$ . Soit $C \in ℳ n, m (𝕂)$ une matrice de taille $n \times m$ à valeur dans $𝕂$ . Alors $C$ est un inverse à gauche de $A$ si et seulement si $C \times B^{- 1}$ est un inverse à gauche de $B \times A$ est inversible à gauche.

Preuve On prouve les propriété 1.30 et 1.31 en même temps.

(

\Rightarrow

) Soient

m, n \in ℕ

deux entiers positifs. Soit

A \in ℳ m, n (𝕂)

une matrice de taille

m \times n

à valeur dans

𝕂

. Soit

B \in ℳ m, m (𝕂)

une matrice carrée inversible de taille

m

. On suppose que

A

est inversible à gauche. Soit

C \in ℳ n, m (𝕂)

un inverse à gauche de

A

.
On a :

\begin{matrix} (C \times B^{- 1}) \times (B \times A) = (C \times (B^{- 1} \times B)) \times A & (par la propriété 1.2) \\ (C \times B^{- 1}) \times (B \times A) = (C \times I m, m) \times A & (par la déﬁnition 1.15) \\ (C \times B^{- 1}) \times (B \times A) = C \times A & (par la propriété 1.10) \\ (C \times B^{- 1}) \times (B \times A) = I n, n & (par la déﬁnition 1.13) \end{matrix}

$(\Leftarrow)$ Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ à valeur dans $𝕂$ . Soit $B \in ℳ m, m (𝕂)$ une matrice inversible telle que $B \times A$ soit inversible. On a : $B^{- 1}$ est une matrice inversible et de plus $A = B^{- 1} \times (B \times A)$ . On peut dont appliquer la preuve du sens direct ( $\Rightarrow$ ) de la propriété que l’on est en train de montrer. Ainsi, $A$ est inversible à gauche.

□

Déﬁnition 1.16. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Une matrice $A \in ℳ m, n (𝕂)$ de taille $m \times n$ est dite échelonnée, si et seulement si il existe une fonction $pivot$ qui associe à chaque indice de ligne de $A$ non nulle un indice de colonne, tel que :

Pour chaque ligne non nulle d’indice $i$ , la première colonne non nulle a pour indice $pivot (i)$ .
Pour chaque ligne non nulle d’indice $i$ , $A_{i, pivot (i)} = 1$ .
Pour chaque ligne $i$ non nulle, $A_{i, pivot (i)}$ est le seul élément non nul de la colonne $pivot (i)$ .
Pour chaque paire de lignes non nulles, d’indice $i$ et $j$ , on a : $i < j \Rightarrow pivot (i) < pivot (j)$ .
Les lignes nulles, si il y en a, sont à la ﬁn de la matrice.

Exemple 1.15. La matrice

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

est échelonnée. La fonction $pivot$ associe $1$ à $1$ (le pivot de la première ligne est sur la première colonne), et $2$ à $3$ (le pivot de la seconde ligne est sur la troisième colonne).

Algorithme 1.1 (pivot de Gaus). Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ . Alors, quitte à permuter les lignes de $A$ , multiplier les lignes de $A$ par une constante non nulle, et ajouter à une ligne une autre ligne multipliée par une constante, alors on peut écrire $A$ sous forme échelonnée.
On suppose $m \geq 1$ et $n \geq 1$ .

Posons $p \leftarrow 1$ .
Si $A$ n’est pas échelonnée, on prend la première colonne $j_{0}$ telle qu’il existe une ligne $i_{0}$ telle que $a_{i, j} \neq 0$ , avec $i \geq p$ .
On permute la ligne $p$ et la ligne $i_{0}$ .
On utilise la ligne $p$ pour annuler le reste de la colonne $j_{0}$ .
On pose $p \leftarrow p + 1$ .

Preuve On montre par récurrence que les $p - 1$ premières lignes de $A$ forment une matrice échelonnée.

$□$

Propriété 1.32. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice échelonnée à valeur dans $𝕂$ . Alors la matrice $A$ a un inverse à gauche si et seulement si $A = I m, n$ et $m \geq n$ .

Preuve Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice échelonnée à valeur dans $𝕂$ .

( $\Leftarrow$ ) Si $m \geq n$ et $A = I m, n$ .
Alors, par la propriété 1.28, $A$ est inversible à gauche.

(\Rightarrow)

Soit

B \in ℳ n, m (𝕂)

un inverse à gauche de

A

. Supposons, par l’absurde, qu’il existe une colonne sans pivot. Prenons la colonne sans pivot d’indice minimal

j_{0}

. On a :

$j_{0} \leq min (m, n)$ .
Pour $k, k^{'} \in 𝕂$ tels que $1 \leq k < j_{0}$ et $1 \leq k^{'} < j_{0}$ , $a_{k, k^{'}} = δ_{k^{'}}^{k}$ .
Pour $k \in 𝕂$ tel que $j_{0} \leq k \leq m$ , on a : $a_{k, j_{0}} = 0$ .

Puis, pour $i \in ℕ$ entre $1$ et $l$ , on a :

\sum_{k = 1}^{j_{0} - 1} a_{k, j_{0}} \cdot a_{i, k} = \sum_{k = 1}^{j_{0} - 1} a_{k, j_{0}} \cdot δ_{k}^{i} .

On distingue deux cas :

i < j_{0}

, on a :

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{j_{0} - 1} a_{k, j_{0}} \cdot a_{i, k} = a_{i, j_{0}} \end{matrix}

si $i \geq j_{0}$ , on a :
$\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{j_{0} - 1} a_{k, j_{0}} \cdot a_{i, k} = 0, \\ \sum_{k = 1}^{j_{0} - 1} a_{k, j_{0}} \cdot a_{i, j} = a_{i, j_{0}} . \end{matrix}$

Dans les deux cas,

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{j_{0} - 1} a_{k, j_{0}} \cdot a_{i, k} = a_{i, j_{0}} . \end{matrix}

Ainsi la colonne $j_{0}$ est la combinaison linéaire des colonnes $1$ à $j_{0} - 1$ avec les coeﬃcients $a_{1, j_{0}}$ à $a_{j_{0} - 1, j_{0}}$ .
Puis les colonnes de $A$ ne sont pas libres.
Donc ??, $A$ n’est pas inversible à gauche.

□

Propriété 1.33. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice à valeur dans $𝕂$ . Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

$A$ a un inverse à gauche ;
$A$ peut s’écrire sous la forme $B \times I m, n$ où $B$ est le produit de $0$ , une, ou plusieurs matrices de transformation élémentaire, toutes carrées et de taille $m$ .

Preuve

à faire en exercice

□

Algorithme 1.2 (inversion à gauche). Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ .

On utilise l’algorithme 1.1 permet de vériﬁer si $A$ a un inverse à gauche.
- soit la matrice n’est pas inversible ;
- soit la matrice est inversible :
  1. on a calculé une matrice $B \in ℳ m, m (𝕂)$ carrée de taille $m$ et à valeur dans $𝕂$ qui vériﬁe : $B \times A = I m, n$ ;
  2. on calcule $B \times I m, m$ en faisant agir les mêmes transformations élémentaires qui ont transformé $A$ en $I m, n$ sur $I m, m$ ;
  3. l’ensemble des inverses à gauche de $A$ est alors l’ensemble des matrices $C \times B \times I m, m$ pour chaque matrice $C \overset{Δ}{=} {(c_{i, j})}_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m} \in ℳ n, m (𝕂)$ de taille $n \times m$ à valeur dans $𝕂$ et telle que pour tout $i$ tel que $1 \leq i \leq n$ et pour tout $j$ tel que $1 \leq i \leq n$ , on ait $c_{i, j} = δ_{j}^{i}$ .

Preuve

à faire en exercice

□

Exemple 1.16. Reprenons l’exemple 1.12. On fait agir en parallèle les mêmes transformations sur la matrice

[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix}]

et la matrice $I m, m$ :



	$[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$



$\begin{matrix} L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 \cdot L_{1} \\ L_{3} \leftarrow L_{3} - 3 \cdot L_{1} \end{matrix}$	$[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & - 3 \\ 0 & - 2 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{matrix}]$



$\begin{matrix} L_{2} \leftarrow \frac{- 1}{3} \cdot L_{2} \end{matrix}$	$[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & - 2 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ \frac{2}{3} & \frac{- 1}{3} & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{matrix}]$



$\begin{matrix} L_{1} \leftarrow L_{1} - 2 \cdot L_{2} \\ L_{3} \leftarrow L_{3} + 2 \cdot L_{2} \end{matrix}$	$[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} \frac{- 1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ \frac{2}{3} & \frac{- 1}{3} & 0 \\ \frac{- 5}{3} & \frac{- 2}{3} & 1 \end{matrix}]$

Puis les inverses à gauche de

[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix}]

sont les matrices de la forme :

[\begin{matrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \end{matrix}] \times [\begin{matrix} \frac{- 1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ \frac{2}{3} & \frac{- 1}{3} & 0 \\ \frac{- 5}{3} & \frac{- 2}{3} & 1 \end{matrix}] .

Puis les inverses à gauche de

[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix}]

sont les matrices :

[\begin{matrix} - \frac{1 + 5 a}{3} & - \frac{2 + 2 a}{3} & a \\ \frac{2 - 5 b}{3} & - \frac{1 + 2 b}{3} & b \end{matrix}] .

Lemme 1. Soit $n \in ℕ$ un entier naturel. Soient $k, k^{'} \in ℕ$ tels que $1 \leq k \leq n$ et $1 \leq k^{'} \leq n$ . Soit $B \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice carrée de transformation élémentaire et de taille $n$ . Alors il existe une matrice $C \in ℳ n, n (𝕂)$ carrée de transformation élémentaire et telle que :

Swap n (k, k^{'}) \times B = C \times Swap n (k, k^{'})

Preuve Soit $n \in ℕ$ un entier naturel. Soient $k, k^{'} \in ℕ$ tels que $1 \leq k \leq n$ et $1 \leq k^{'} \leq n$ . Soit $B \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice carrée de transformation élémentaire et de taille $n$ .

On note :

σ \overset{Δ}{=} \{\begin{matrix} \begin{matrix} ℕ & \to & ℕ \\ l & \mapsto & l & si l \notin {k, k^{'}} \\ l & \mapsto & k^{'} & si l = k \\ l & \mapsto & k & si l = k^{'} . \end{matrix} \end{matrix}

On distingue plusieurs cas sur la forme de $B$ :

si $B = I n, n$ ,
on a : $Swap n (k, k^{'}) \times I n, n = I n, n \times Swap n (k, k^{'})$ ;
si $B$ est une matrice de permutation,
soient $l$ et $l^{'}$ entre $1$ et $n$ , tels que $B = Swap n (l, l^{'})$ ,
on a : $Swap n (k, k^{'}) \times Swap n (l, l^{'}) = Swap n (σ l, σ l^{'}) \times Swap n (k, k^{'})$ ;
si $B$ est une matrice de dilatation,
soient $l$ entre $1$ et $n$ et $λ \in 𝕂 ∖ {0}$ ,
on a : $Swap n (k, k^{'}) \times Dilat n (l, λ) = Dilat n (σ (l), λ) \times Swap n (k, k^{'})$ ;
si $B$ est une matrice de d’ajout,
soient $l, l^{'}$ entre $1$ et $n$ et $λ \in 𝕂$ ,
on a : $Swap n (k, k^{'}) \times Add n (l, l^{'}, λ) = Add n (σ l, σ l^{'}, λ)$ .

□

Lemme 2. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $B \in ℳ m, m (𝕂)$ une matrice carrée de transformation élémentaire, de taille $m$ , qui n’est pas une matrice de permutation. Alors il existe une matrice carrée $C \in ℳ n, n (𝕂)$ de transformation élémentaire, de taille $n$ telle que $B \times I m, n = I m, n \times C$ .

Preuve

à faire en exercice

□

Théorème 1.1. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice à valeur dans $𝕂$ . Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

$A$ est inversible à gauche ;
$m \geq n$ et $A$ peut s’écrire sous la forme $B \times I m, n$ où $B$ est le produit de $0$ , une, ou plusieurs matrices de transformation élémentaire, toutes carrées et de taille $m$ ;
les lignes de $A$ forment une famille génératrice de $ℝ^{n}$ ;
les colonnes de $A$ forment une famille libre dans $ℝ^{m}$ ;
pour toute matrice $X \in ℳ n, 1 (𝕂)$ telle que $A \times X = {(0)}_{1 \leq i \leq n, j = 1}$ , on a $X = {(0)}_{1 \leq i \leq m, j = 1}$ ;
pour toute matrice $Y \in ℳ n, 1 (𝕂)$ , il existe une matrice $X \in ℳ m, 1 (𝕂)$ telle que $^{T} A \times X = Y$ .

1.3.3 Inverse à droite

Algorithme 1.3 (inversion à droite). Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice de taille $m \times n$ à valeur dans $𝕂$ . On utilise l’algorithme 1.2 pour décider si la transposée de $A$ est inversible à gauche, et calculer ses inverses à gauche.

si $^{T} A$ n’est pas inversible à gauche, alors $A$ n’est pas inversible à droite ;
les inverses à droites de $A$ sont alors les transposées des inverses à gauche de $^{T} A$ .

Preuve

à faire en exercice

□

Théorème 1.2. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice à valeur dans $𝕂$ . Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

$A$ est inversible à droite ;
$m \leq n$ et $A$ peut s’écrire sous la forme $I m, n \times B$ où $B$ est le produit de $0$ , une, ou plusieurs matrices de transformation élémentaire, toutes carrées et de taille $n$ ;
les colonnes de $A$ forment une famille génératrice de $ℝ^{m}$ ;
les lignes de $A$ forment une famille libre dans $ℝ^{n}$ ;
pour toute matrice $X \in ℳ m, 1 (𝕂)$ telle que $^{T} A \times X = {(0)}_{1 \leq i \leq n, j = 1}$ , on a $X = {(0)}_{1 \leq i \leq m, j = 1}$ ;
pour toute matrice $Y \in ℳ m, 1 (𝕂)$ , il existe une matrice $X \in ℳ n, 1 (𝕂)$ telle que $A \times X = Y$ .

1.3.4 Inverses

Propriété 1.34. Soit $n \in ℕ$ un entier naturel. Soit $A \in ℳ n, n (𝕂)$ une matrice carrée de taille $n$ et à valeur dans $𝕂$ . Alors $A$ est inversible à gauche si et seulement si $A$ est inversible à droite.

Preuve Soit $n \in ℕ$ un entier naturel. Soit $A \in ℳ n, n (𝕂)$ une matrice carrée de taille $n$ et à valeur dans $𝕂$ . Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

$A$ est inversible à gauche ;
les lignes de $A$ forment une famille génératrice de $(ℝ^{n}, +, \cdot)$ ;
les lignes de $A$ forment une famille libre dans $(ℝ^{n}, +, \cdot)$ ; (pour des raisons de dimensions)
$A$ est inversible à droite. (par le théorème ??)

□

Propriété 1.35. Soit $n \in ℕ$ un entier naturel. Soit $A \in ℳ n, n (𝕂)$ une matrice carrée de taille $n$ et à valeur dans $𝕂$ . Alors un inverse à gauche de $A$ est aussi un inverse à droite de $A$ (et réciproquement).

Preuve Soit $n \in ℕ$ un entier naturel. Soit $A \in ℳ n, n (𝕂)$ une matrice carrée de taille $n$ et à valeur dans $𝕂$ . Soit $B \in ℳ n, n (𝕂)$ un inverse à gauche de $A$ . On sait que $A$ est inversible à gauche. Donc il est aussi inversible à droite. Soit $C \in ℳ n, n (𝕂)$ un inverse à droite. On sait par la propriété 1.26, que $B = C$ .

$□$

Propriété 1.36. Soit $n \in ℕ$ un entier naturel. Alors les matrices inversibles de $ℳ n, n (𝕂)$ sont les matrices obtenues comme produit d’un nombre arbitraire de matrices élémentaires carrées de taille $n$ .

Algorithme 1.4 (pivot de Gauss sur une matrice carrée). Soit $n \in ℕ$ un entier naturel. Soit $A \in ℳ n, n (𝕂)$ une matrice carrée de taille $n$ à valeur dans $𝕂$ .
On suppose que $n \geq 1$ .

On pose $p = 1$ , $X_{0} = A$ , et $Y_{0} = I n, n$ .
Si $p = n + 1$ , $A$ est inversible, et son inverse est $Y_{n}$ .
On note $X_{p - 1} = {(x_{i, j})}_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n}$ .
Si pour tout $i \geq p$ , $x_{i, p} = 0$ alors la matrice $A$ n’est pas inversible.
On prends le plus petit indice $i_{0}$ tel que $i_{0} \geq p$ et tel que $x_{i_{0}, p} \neq 0$ .
On permute la ligne $p$ et la ligne $i_{0}$ à la fois dans la matrice $X_{p - 1}$ et dans la matrice $Y_{p - 1}$ .
On utilise la ligne $p$ pour annuler le reste de la colonne $j_{0}$ dans la matrice $X_{p - 1}$ , tout en eﬀectuant les mêmes transformations dans la matrice $Y_{p - 1}$
On pose $X_{p}$ et $Y_{p}$ les matrices obtenues.
$p \leftarrow p + 1$ ,

Preuve On a appliqué l’algorithme 1.1, en remarquant que si on forme une colonne qui s’annule sur toutes les lignes qui n’ont pas encore de pivots, alors on ne peut pas obtenir la matrice $I n, n$ à la ﬁn. On prouve, en case de succès de l’algorithme, que pour tout $p$ , on a : $A = Y_{p} \times A_{p}$ . Puis, $Y_{n}$ est l’inverse de $A$ .

$□$

Exemple 1.17. La matrice :

[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}]

n’est pas inversible.

En eﬀet,



	$[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}]$



$\begin{matrix} L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 \cdot L_{1} \end{matrix}$	$[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & - 3 & - 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}]$


$\begin{matrix} L_{2} \leftarrow \frac{- 1}{3} \cdot L_{2} \end{matrix}$	$[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}]$



$\begin{matrix} L_{1} \leftarrow L_{1} - 2 \cdot L_{2} \\ L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2} \end{matrix}$	$[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$

Cette dernière matrice n’est pas inversible, car elle a une ligne nulle (donc ces lignes ne forment pas une famille libre de $ℝ^{3}$ ).

Exemple 1.18. La matrice :

[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

est inversible.

On trouve son inverse par pivot de Gauss :



	$[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$



$\begin{matrix} L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1} \end{matrix}$	$[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$



$\begin{matrix} L_{2} \leftrightarrow L_{3} \end{matrix}$	$[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{matrix}]$



$\begin{matrix} L_{1} \leftarrow L_{1} - 2 \cdot L_{2} \end{matrix}$	$[\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{matrix}]$



$\begin{matrix} L_{1} \leftarrow L_{1} + L_{3} \\ L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 \cdot L_{3} \end{matrix}$	$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 \\ 2 & - 2 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{matrix}]$

On peut vériﬁer que la matrice :

[\begin{matrix} 0 & 1 & - 2 \\ 2 & - 2 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{matrix}]

est l’inverse de la matrice :

[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

			$1$	$2$	$3$
			$1$	$2$	$4$
			$0$	$1$	$2$

$0$	$1$	$- 2$	$1$	$2 - 2$	$4 - 4$
$2$	$- 2$	$1$	$2 - 2$	$4 - 4 + 1$	$6 - 8 + 2$
$- 1$	$1$	$0$	$- 1 + 1$	$- 2 + 2$	$- 3 + 4$

Théorème 1.3. Soient $m, n \in ℕ$ deux entiers positifs. Soit $A \in ℳ m, n (𝕂)$ une matrice à valeur dans $𝕂$ . Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

$A$ est inversible ;
$A$ peut s’écrire sous la forme d’un produit de $0$ , une, ou plusieurs matrices de transformation élémentaire, toutes carrées et de taille $n$ ;
$m \geq n$ et les colonnes de $A$ forment une famille génératrice de $ℝ^{m}$ ;
$m \leq n$ et les colonnes de $A$ forment une famille libre de $ℝ^{m}$ ;
$m \geq n$ et les lignes de $A$ forment une famille libre dans $ℝ^{n}$ ;
$m \leq n$ et les lignes de $A$ forment une famille génératrice de $ℝ^{n}$ .
$m \geq n$ et pour toute matrice $X \in ℳ m, 1 (𝕂)$ telle que $^{T} A \times X = {(0)}_{1 \leq i \leq n, j = 1}$ , on a $X = {(0)}_{1 \leq i \leq m, j = 1}$ ;
$m \geq n$ et pour toute matrice $Y \in ℳ m, 1 (𝕂)$ , il existe une matrice $X \in ℳ n, 1 (𝕂)$ telle que $A \times X = Y$ .
$m \leq n$ et pour toute matrice $X \in ℳ n, 1 (𝕂)$ telle que $A \times X = {(0)}_{1 \leq i \leq m, j = 1}$ , on a $X = {(0)}_{1 \leq i \leq n, j = 1}$ ;
$m \leq n$ et pour toute matrice $Y \in ℳ n, 1 (𝕂)$ , il existe une matrice $X \in ℳ m, 1 (𝕂)$ telle que $^{T} A \times X = Y$ .