Définition 1.1. Soit $A$ un ensemble. Une loi interne sur $A$ est une fonction de $A\times A$ dans $A$.

Notation 1.1. Si $\otimes$ est une loi interne sur l’ensemble $A$, alors, pour tous éléments $x$, $y$ de l’ensemble $A$, l’élément $\otimes \left(x,y\right)$ est habituellement noté $x\otimes y$.

Définition 2.1. Une loi interne $\otimes$ sur un ensemble $A$ est dite associative si et seulement si, pour tous éléments $x$, $y$, $z$ de l’ensemble $A$, on a : $x\otimes \left(y\otimes z\right)=\left(x\otimes y\right)\otimes z$.

Définition 3.1. Une loi interne $\otimes$ sur un ensemble $A$ est dite commutative si et seulement si, pour tous éléments $x$, $y$ de l’ensemble $A$, on a : $x\otimes y=y\otimes x$.

Définition 4.1. Soit $A$ un ensemble muni d’une loi interne $\otimes$.

1. un élément ${𝜀}_d\in A$ est un élément neutre à droite pour la loi $\otimes$ si et seulement si pour tout élément $x\in A$, on a $x\otimes {𝜀}_d=x$.
2. un élément ${𝜀}_g\in A$ est un élément neutre à gauche pour la loi $\otimes$ si et seulement si pour tout élément $x\in A$, on a ${𝜀}_g\otimes x=x$.
3. un élément $𝜀\in A$ est un élément neutre pour la loi $\otimes$ si et seulement si c’est un élément neutre à droite pour la loi $\otimes$ et un élément neutre à gauche pour la loi $\otimes$.

Proposition 4.1. Soit $A$ un ensemble muni d’une loi interne $\otimes$. Si $\otimes$ admet un élément neutre, alors $\otimes$ admet un unique élément neutre.

Définition 5.1. Soit $\otimes$une loi interne sur un ensemble $A$ qui admet un élément neutre $𝜀$ et soit $x,y$ deux éléments de $A$. On dit que :

1. $y$ est un inverse à gauche de $x$ si et seulement si $y\otimes x=𝜀$.
2. $y$ est un inverse à droite de $x$ si et seulement si $x\otimes y=𝜀$.
3. $y$ est un inverse de $x$ si et seulement si $y$ est un inverse à droite de $x$, et un inverse à gauche de $x$.

Un élément $x\in A$ est dit inversible si et seulement si il admet un inverse.

Propriété 5.1. Soit $A$ un ensemble, soit $\otimes$ une loi interne associative sur $A$, qui admet un élément neutre, et soit $x$ un élément de $A$. Si l’élément $x$ a un inverse à gauche pour $\otimes$, alors pour tous éléments $y$, $z$ de l’ensemble $A$, si $x\otimes y=x\otimes z$ alors $y=z$.
On dit alors que l’élément $x$ est simplifiable à gauche.

Propriété 5.2. Soit $A$ un ensemble, soit $\otimes$ une loi interne associative sur $A$, qui admet un élément neutre $𝜀$ et soit $x$ un élément de $A$. Si $x\in A$ a un inverse à droite pour $\otimes$, alors pour tous élément $y$, $z$ de l’ensemble $A$, si $y\otimes x=z\otimes x$ alors $y=z$.
On dit alors que l’élément $x$ est simplifiable à droite.

Proposition 5.1. Soit $\otimes$ une loi interne associative sur un ensemble $A$, qui admet un élément neutre $𝜀$. Soit $x$ un élément de $A$. On suppose l’existence de deux éléments $x_d,x_g\in A$ tels que $x_d$ soit un inverse à droite de $x$ et que $x_d$ soit un inverse à gauche de $x_g$. Alors $x_d=x_q$ (et donc $x$ est inversible).

Proposition 5.2. Soit $\otimes$ une loi interne associative sur un ensemble $A$, qui admet un élément neutre $𝜀$. Soit $x$ un élément de $A$. Si l’élément $x$ est inversible, alors il existe un unique élément $y\in A$ tel que $x\otimes y=𝜀$ et $y\otimes x=𝜀$.

Définition 5.2. Soit $\otimes$ une loi interne associative sur un ensemble $A$, qui admet un élément neutre $𝜀$. Si $x\in A$ est inversible, l’unique élément $y\in A$ tel que $x\otimes y=𝜀$ et $y\otimes x=𝜀$ est appelé inverse de $x$, et est noté $x^{-1}$.

Propriété 5.3. Soit $A$ un ensemble, soit $\otimes$ une loi interne associative sur $A$, qui admet un élément neutre. Si l’élément $x$ est inversible, alors son inverse est inversible et l’inverse de l’inverse de l’élément $x$ est l’élément $x$.

Propriété 5.4. Soit $A$ un ensemble, soit $\otimes$une loi interne associative sur $A$, qui admet un élément neutre. Soient $x$ et $y\in A$ deux élément inversibles. Alors $x\otimes y$ est inversible, de plus :

Propriété 5.5. Soit $A$ un ensemble, soit $\otimes$une loi interne associative et commutative sur $A$, qui admet un élément neutre. Soient $x$ et $y\in A$ deux élément inversibles. Alors $x\otimes y$ est inversible, de plus :