Lois internes

Jérôme Feret
DIENS (INRIA,ÉNS,CNRS)

19/26 janvier 2017

1 Lois internes

Déﬁnition 1.1. Soit $A$ un ensemble. Une loi interne sur $A$ est une fonction de $A \times A$ dans $A$ .

Exemple 1.1. La fonction vide est une loi interne sur l’ensemble vide.

Exemple 1.2. La fonction qui à la paire $(1, 1)$ associe $1$ est une loi interne sur le singleton ${1}$ .

Exemple 1.3. L’addition $+$ et le produit $\cdot$ sont des lois internes pour $ℕ$ , $ℤ$ , $ℚ$ , ou $ℝ$ .

Exemple 1.4. La soustraction $-$ est une loi interne pour $ℤ$ , $ℚ$ , ou $ℝ$ .

Exemple 1.5. Si $A$ est un ensemble, alors la composition $\circ$ est une loi interne sur l’ensemble $ℱ (A)$ des fonctions de $A$ dans $A$ .

Exemple 1.6. La fonction $⊙$ qui associe à toute paire $(x, y)$ de rationnels, le rationnel $x + 2 \cdot y$ , est une loi interne sur $ℚ$ .

Exemple 1.7. Soit $A$ un ensemble. La fonction $⌋$ qui à une paire $(x, y) \in A^{2}$ d’éléments de $A$ associe le premier élément $x$ de cette paire, est une loi interne sur $A$ . $⌋$ est la projection selon la première coordonnée.

Notation 1.1. Si $\otimes$ est une loi interne sur l’ensemble $A$ , alors, pour tous éléments $x$ , $y$ de l’ensemble $A$ , l’élément $\otimes (x, y)$ est habituellement noté $x \otimes y$ .

2 Associativité

Déﬁnition 2.1. Une loi interne $\otimes$ sur un ensemble $A$ est dite associative si et seulement si, pour tous éléments $x$ , $y$ , $z$ de l’ensemble $A$ , on a : $x \otimes (y \otimes z) = (x \otimes y) \otimes z$ .

Exemple 2.1. La loi interne sur l’ensemble vide est associative.

Preuve Par déﬁnition, $\emptyset \times \emptyset = \emptyset$ . De plus pour toute propriété $P$ , $\forall x \in \emptyset, P (x)$ est vrai.
Donc la loi interne sur l’ensemble vide est donc associative. $□$

Exemple 2.2. Une loi interne sur un singleton est associative.

Preuve Soit $S$ un singleton. On note $S = {a}$ . Soit $\otimes$ une loi interne sur $S$ . Par déﬁnition, $a \otimes a \in S$ . Comme $S$ n’a qu’un élément, on a : $a \otimes a = a$ .
Puis, soient $x, y, z \in A$ trois éléments de $A$ .
On a : $x = a$ , $y = a$ , et $z = a$ .
D’où, $\begin{array}{l} x \otimes (y \otimes z) & = a \otimes (a \otimes a) \\ x \otimes (y \otimes z) & = a \otimes a \\ x \otimes (y \otimes z) & = (a \otimes a) \otimes a \\ x \otimes (y \otimes z) & = (x \otimes y) \otimes z . \end{array}$

Donc $\otimes$ est associative.

$□$

Exemple 2.3. L’addition $+$ et la multiplication $\cdot$ sont des lois internes associatives sur $ℕ$ , $ℤ$ , $ℚ$ , ou $ℝ$ .

Exemple 2.4. La soustraction $-$ n’est associative ni sur $ℤ$ , ni sur $ℚ$ , ni sur $ℝ$ .

Exemple 2.5. Si $A$ est un ensemble, la composition $\circ$ est une loi associative sur $ℱ (A)$ .

Preuve Soit $f, g, h \in ℱ (A)$ .

$[f \circ g] \circ h$ et $f \circ [g \circ h]$ sont deux fonctions de $A$ dans $A$ .
Soit $a \in A$ .
On a : $\begin{array}{l} [[f \circ g] \circ h] (a) & = [f \circ g] (h (a)) \\ [[f \circ g] \circ h] (a) & = f (g (h (a))) \\ [[f \circ g] \circ h] (a) & = f ([g \circ h] (a)) \\ [[f \circ g] \circ h] (a) & = [f \circ [g \circ h]] (a) \end{array}$

Donc $[f \circ g] \circ h = f \circ [g \circ h]$ .
Puis $\circ$ est associative.

$□$

Exemple 2.6. La loi interne $⊙$ déﬁnie sur $ℚ$ par $x ⊙ y \overset{Δ}{=} x + 2 \cdot y$ n’est pas associative.

Preuve En eﬀet, on a : $\begin{array}{l} 1 ⊙ (1 ⊙ 1) & = 1 ⊙ (1 + 2 \cdot 1) \\ 1 ⊙ (1 ⊙ 1) & = 1 ⊙ 3 \\ 1 ⊙ (1 ⊙ 1) & = 1 + 2 \cdot 3 \\ 1 ⊙ (1 ⊙ 1) & = 7 \end{array}$

et : $\begin{array}{l} (1 ⊙ 1) ⊙ 1 & = (1 + 2 \cdot 1) ⊙ 1 \\ (1 ⊙ 1) ⊙ 1 & = 3 ⊙ 1 \\ (1 ⊙ 1) ⊙ 1 & = 3 + 2 \cdot 1 \\ (1 ⊙ 1) ⊙ 1 & = 5 . \end{array}$

Or $5 \neq 7$ .
Donc $⊙$ n’est pas associative.

$□$

Exemple 2.7. Soit $A$ un ensemble. La projection $p_{1}$ sur la première coordonnée est une loi associative sur $A$ .

Preuve $⌋$ est bien une loi interne sur $A$ .
De plus, soit $x, y, z \in A$ ,
on a : $\begin{array}{l} (x ⌋ y) ⌋ z & = x ⌋ y \\ (x ⌋ y) ⌋ z & = x \\ (x ⌋ y) ⌋ z & = x ⌋ (y ⌋ z) \end{array}$

Donc $⌋$ est associative.

$□$

Proposition 2.1. Si $\otimes$ est une loi interne associative sur un ensemble $A$ , alors pour tous $x$ , $y$ , $z$ , $t$ éléments de $A$ , on a : $x \otimes (y \otimes (z \otimes t)) = ((x \otimes y) \otimes z) \otimes t$ .

Preuve Soit $\otimes$ est une loi interne associative sur un ensemble $A$ , alors pour tout $x$ , $y$ , $z$ , $t \in A$ , on a : $\begin{array}{l} x \otimes (\underset{̲}{y} \otimes (\underset{̲}{z} \otimes \underset{̲}{t})) & = \underset{̲}{x} \otimes ((\underset{̲}{y \otimes z}) \otimes \underset{̲}{t}) \\ x \otimes (y \otimes (z \otimes t)) & = (\underset{̲}{x} \otimes (\underset{̲}{y} \otimes \underset{̲}{z})) \otimes t \\ x \otimes (y \otimes (z \otimes t)) & = ((x \otimes y) \otimes z) \otimes t \end{array}$ $□$

Notation 2.1. Lorsqu’une loi est associative, on omet généralement les parenthèses.

3 Commutativité

Déﬁnition 3.1. Une loi interne $\otimes$ sur un ensemble $A$ est dite commutative si et seulement si, pour tous éléments $x$ , $y$ de l’ensemble $A$ , on a : $x \otimes y = y \otimes x$ .

Exemple 3.1. La loi interne déﬁnie sur l’ensemble vide, est commutative.

Preuve Par déﬁnition, $\emptyset \times \emptyset = \emptyset$ . De plus pour toute propriété $P$ , $\forall x \in \emptyset, P (x)$ est vrai.
Donc la loi interne déﬁnie sur l’ensemble vide est commutative.

$□$

Exemple 3.2. Une loi interne déﬁnie sur un singleton, est commutative.

Preuve Soit $S$ un singleton. On note $S = {a}$ . Soit $\otimes$ une loi interne sur $S$ . Puis, soit $x, y \in A$ . On a : $x = a$ et $y = a$ . D’où, $\begin{array}{l} x \otimes y & = a \otimes a \\ x \otimes y & = y \otimes x . \end{array}$

Donc $\otimes$ est commutative.

$□$

Exemple 3.3. L’addition $+$ et la multiplication $\cdot$ sont des lois internes commutatives sur $ℕ$ , $ℤ$ , $ℚ$ , ou $ℝ$ .

Exemple 3.4. Si $A$ est un ensemble contenant au moins deux éléments, la composition $\circ$ déﬁnie sur $ℱ (A)$ n’est pas une loi commutative.

Preuve Soit $A$ un ensemble contenant au moins deux éléments. Soit $a, b \in A$ deux éléments distincts. Notons :

f : \{\begin{matrix} A & \to A \\ x & \mapsto a \end{matrix} et g : \{\begin{matrix} A & \to A \\ x & \mapsto b \end{matrix}

On a : $\begin{array}{l} (g \circ f) (a) & = g (f (a)) \\ (g \circ f) (a) & = g (a) \\ (g \circ f) (a) & = b \end{array}$

et : $\begin{array}{l} (f \circ g) (a) & = f (g (a)) \\ (f \circ g) (a) & = f (b) \\ (f \circ g) (a) & = a . \end{array}$

Or $a \neq b$ . donc $g \circ f \neq f \circ g$ .
Donc $\circ$ n’est pas commutative.

$□$

Exemple 3.5. La loi interne $⊙$ déﬁnie sur $ℚ$ par $x ⊙ y \overset{Δ}{=} x + 2 \cdot y$ n’est pas commutative.

Preuve On a : $0 ⊙ 1 = 2$ et $1 ⊙ 0 = 1$ . Or $2 \neq 1$ . Donc $⊙$ n’est pas commutative.

$□$

Proposition 3.1. Si $\otimes$ est une loi interne associative et commutative sur un ensemble $A$ , alors pour tous $x$ , $y$ , $z$ , $t$ éléments de l’ensemble $A$ , on a : $x \otimes (y \otimes (z \otimes t)) = ((t \otimes y) \otimes z) \otimes x$ .

Preuve Soit $\otimes$ est une loi interne associative et commutative sur un ensemble $A$ , alors pour tout $x$ , $y$ , $z$ , $t \in A$ , on a : $\begin{array}{l} x \otimes (y \otimes (\underset{̲}{z} \otimes \underset{̲}{t})) & = x \otimes (\underset{̲}{y} \otimes (\underset{̲}{t} \otimes \underset{̲}{z})) \\ x \otimes (y \otimes (z \otimes t)) & = x \otimes ((\underset{̲}{y} \otimes \underset{̲}{t}) \otimes z) \\ x \otimes (y \otimes (z \otimes t)) & = \underset{̲}{x} \otimes \underset{̲}{((t \otimes y) \otimes z)} \\ x \otimes (y \otimes (z \otimes t)) & = ((t \otimes y) \otimes z) \otimes x \end{array}$ $□$

4 Élements neutres

Déﬁnition 4.1. Soit $A$ un ensemble muni d’une loi interne $\otimes$ .

un élément $𝜀_{d} \in A$ est un élément neutre à droite pour la loi $\otimes$ si et seulement si pour tout élément $x \in A$ , on a $x \otimes 𝜀_{d} = x$ .
un élément $𝜀_{g} \in A$ est un élément neutre à gauche pour la loi $\otimes$ si et seulement si pour tout élément $x \in A$ , on a $𝜀_{g} \otimes x = x$ .
un élément $𝜀 \in A$ est un élément neutre pour la loi $\otimes$ si et seulement si c’est un élément neutre à droite pour la loi $\otimes$ et un élément neutre à gauche pour la loi $\otimes$ .

Exemple 4.1. La loi interne déﬁnie sur l’ensemble vide n’a pas d’élément neutre.

Exemple 4.2. Une loi interne déﬁnie sur un singleton admet un élément neutre (le seul élément du singleton).

Exemple 4.3. Par exemple, $0$ est un élément neutre pour la loi $+$ déﬁnie sur $ℕ$ , $ℤ$ , $ℚ$ , et $ℝ$ , alors que $1$ est un élément neutre pour $\cdot$ déﬁnie sur $ℕ$ , $ℤ$ , $ℚ$ , et $ℝ$ .

Exemple 4.4. Si $A$ est un ensemble, la fonction identité est un élément neutre pour la composition $\circ$ déﬁnie sur $ℱ (A)$ .

Exemple 4.5. Soit $⊙$ la loi interne, déﬁnie sur $ℚ$ par $x ⊙ y \overset{Δ}{=} x + 2 \cdot y$ . $0$ est un élément neutre à droite pour la loi $⊙$ , mais il n’y a pas d’élément neutre à gauche pour la loi $⊙$ .

Preuve

Pour $x \in ℚ$ , on a $x ⊙ 0 = x + 2 \cdot 0$ , puis $x ⊙ 0 = x$ .
Donc $0$ est neutre à droite.
Par l’absurde, soit $𝜀_{g} \in ℚ$ un élément neutre à gauche.
On aurait : $𝜀_{g} ⊙ 0 = 0$ (car $𝜀_{g}$ est neutre à gauche) et $𝜀_{g} ⊙ 0 = 𝜀_{g}$ (par déﬁnition de $⊙$ ). D’où $𝜀_{g} = 0$ .
Mais on aurait aussi : $𝜀_{g} ⊙ 1 = 1$ (car $𝜀_{g}$ est neutre à gauche) et $𝜀_{g} ⊙ 1 = 𝜀 + 2$ (par déﬁnition de $⊙$ ). D’où $𝜀_{g} = - 1$ .
Or $0 = - 1$ (Absurde).
Donc $⊙$ n’a pas de neutres à gauche.

□

Proposition 4.1. Soit $A$ un ensemble muni d’une loi interne $\otimes$ . Si $\otimes$ admet à la fois un élément neutre à droite et un élément neutre à gauche, alors $\otimes$ admet un élément neutre.

Preuve Soit $A$ un ensemble muni d’une loi interne $\otimes$ . Soit $𝜀_{d}$ un élément neutre à droite et $𝜀_{g}$ un élément neutre à gauche. On a : $𝜀_{g} \otimes 𝜀_{d} = 𝜀_{d}$ (car $𝜀_{g}$ est neutre à gauche) et $𝜀_{g} \otimes 𝜀_{d} = 𝜀_{g}$ (car $𝜀_{d}$ est neutre à droite). D’où $𝜀_{d} = 𝜀_{g}$ . Puis $𝜀_{d}$ est un élément neutre.

$□$

Proposition 4.2. Soit $A$ un ensemble muni d’une loi interne $\otimes$ . Si $\otimes$ admet un élément neutre, alors $\otimes$ admet un unique élément neutre.

Preuve Soit $A$ un ensemble muni d’une loi interne $\otimes$ . Soit $𝜀_{1}$ et $𝜀_{2}$ deux éléments neutres. On a : $𝜀_{1} \otimes 𝜀_{2} = 𝜀_{2}$ (car $𝜀_{1}$ est neutre à gauche) et $𝜀_{1} \otimes 𝜀_{2} = 𝜀_{1}$ (car $𝜀_{2}$ est neutre à droite). D’où $𝜀_{1} = 𝜀_{2}$ .

$□$

5 Inverses

Déﬁnition 5.1. Soit $\otimes$ une loi interne sur un ensemble $A$ qui admet un élément neutre $𝜀$ et soit $x, y$ deux éléments de $A$ . On dit que :

$y$ est un inverse à gauche de $x$ si et seulement si $y \otimes x = 𝜀$ .
$y$ est un inverse à droite de $x$ si et seulement si $x \otimes y = 𝜀$ .
$y$ est un inverse de $x$ si et seulement si $y$ est un inverse à droite de $x$ , et un inverse à gauche de $x$ .

Un élément $x \in A$ est dit inversible si et seulement si il admet un inverse.

Exemple 5.1. L’entier $0$ est le seul élément inversible pour la loi $+$ déﬁnie sur $ℕ$ .

Exemple 5.2. Tous les éléments de $ℤ$ (resp. $ℚ$ , resp. $ℝ$ ) sont inversibles pour la loi $+$ .

Exemple 5.3. L’élément $1$ est le seul élément inversible de $ℕ$ (resp. $ℤ$ ) pour la loi $\cdot$ .

Exemple 5.4. Tous les éléments sauf $0$ sont inversibles pour les lois $\cdot$ déﬁnies sur $ℚ$ et $ℝ$ .

Exemple 5.5. La fonction :

f \overset{Δ}{=} \{\begin{matrix} ℕ & \to ℕ \\ n & \mapsto n + 1 \end{matrix}

a des inverses à gauche, mais pas d’inverse à droite, pour la composition $\circ$ déﬁnie sur $ℱ (ℕ)$ .

Preuve

Soit $k \in ℕ$ .
On considère la fonction $g_{k} \overset{Δ}{=} \{\begin{matrix} ℕ & \to ℕ \\ 0 & \mapsto k \\ n > 0 & \mapsto n - 1 \end{matrix}$
On a bien $g_{k} \in ℱ (ℕ)$ .
De plus, pour $n \in ℕ$ , on a : $\begin{array}{l} [g_{k} \circ f] (n) & = g_{k} (f (n)) \\ [g_{k} \circ f] (n) & = g_{k} (n + 1) \\ [g_{k} \circ f] (n) & = (n + 1) - 1 (car n + 1 > 0) \\ [g_{k} \circ f] (n) & = n . \end{array}$
Donc $[g_{k} \circ f] = {Id}_{ℕ}$ .
Puis $g_{k}$ est un inverse à gauche de $f$ .
Soit $g$ un inverse à gauche de $f$ .
On a, pour $n \in ℕ$ : $\begin{array}{l} [g \circ f] (n) & = g (f (n)) \\ [g \circ f] (n) & = g (n + 1) . \end{array}$
Or $g$ est un inverse à gauche de $f$ , donc : $[g \circ f] = {Id}_{ℕ}$ , puis $[g \circ f] (n) = n$ .
Donc pour tout $n \in ℕ$ , $g (n + 1) = n$ .
Puis pour tout $m \in ℕ ∖ {0}$ , $g (m) = m - 1$ (on a posé $m = n + 1$ ).
Donc $g = g_{g (0)}$ . Ce qui prouve qu’il n’y a pas d’autre inverse à gauche.
Par l’absurde, on considère $g$ un inverse à droite de $f$ .
On aurait : $\begin{array}{l} [f \circ g] (0) & = f (g (0)) \\ [f \circ g] (0) & = g (0) + 1 . \end{array}$
et : $\begin{array}{l} [f \circ g] (0) & = I d_{ℕ} (0) \\ [f \circ g] (0) & = 0 . \end{array}$
D’où $g (0) + 1 = 0$ , puis $g (0) = - 1$ (ce qui est absurde car $g (0) \in ℕ$ ).
Donc $g$ n’est pas un inverse à droite de $f$ .

□

Exemple 5.6. La fonction :

f \overset{Δ}{=} \{\begin{matrix} ℕ & \to ℕ \\ 0 & \mapsto 0 \\ n & \mapsto n - 1 \end{matrix}

a exactement un inverse à droite, mais pas d’inverse à gauche, pour la composition $\circ$ déﬁnie sur $ℱ (ℕ)$ .

Preuve

On considère la fonction $g \overset{Δ}{=} \{\begin{matrix} ℕ & \to ℕ \\ n & \mapsto n + 1 \end{matrix}$ .
On a bien $g \in ℱ (ℕ)$ .
De plus, pour $n \in ℕ$ , on a : $\begin{array}{l} [f \circ g] (n) & = f (g (n)) \\ [f \circ g] (n) & = f (n + 1) \\ [f \circ g] (n) & = (n + 1) - 1 (car n + 1 > 0) \\ [f \circ g] (n) & = n \end{array}$
Donc $[f \circ g] = {Id}_{ℕ}$ .
Puis $g$ est un inverse à droite de $f$ .
Soit $h$ un inverse à droite de $f$ .
On a, pour $n \in ℕ$ , $[f \circ h] (n) = f (h (n))$ et, comme $[f \circ h] = {Id}_{ℕ}$ , $[f \circ h] (n) = n$ .
D’où $n = f (h (n))$ .
Puis, si $h (n) > 0$ , alors $n = h (n) - 1$ , puis $h (n) = n - 1$ et $n > 0$ .
Par contraposé, si $n = 0$ alors $h (n) = 0$ .
D’où $h (0) = 0$ .
De plus, pour tout $n > 0$ , $h (n) > 0$ (sinon $n = f (h (n))$ , puis $n = 0$ ), et donc $h (n) = n - 1$ .
Donc $f$ a au plus un inverse à droite.
Par l’absurde, on considère $g$ un inverse à gauche de $f$ .
On aurait : $\begin{array}{l} [g \circ f] (0) & = g (f (0)) \\ [g \circ f] (0) & = g (0) . \end{array}$
et : $\begin{array}{l} [g \circ f] (0) & = I d_{ℕ} (0) \\ [f \circ g] (0) & = 0 . \end{array}$
Mais on aurait aussi : $\begin{array}{l} [g \circ f] (1) & = g (f (1)) \\ [g \circ f] (1) & = g (0) . \end{array}$
et : $\begin{array}{l} [g \circ f] (1) & = I d_{ℕ} (1) \\ [g \circ f] (1) & = 1 . \end{array}$
D’où $0 = 1$ ce qui est absurde. Donc $g$ n’est pas un inverse à gauche de $f$ .

□

Exemple 5.7. La fonction :

f \overset{Δ}{=} \{\begin{matrix} ℤ & \to ℤ \\ n & \mapsto n + 1 \end{matrix}

a un inverse à gauche et un inverse à droite, pour la composition $\circ$ déﬁnie sur $ℱ (ℤ)$ .

Preuve

On considère la fonction $g \overset{Δ}{=} \{\begin{matrix} ℤ & \to ℤ \\ n & \mapsto n - 1 . \end{matrix}$
On a bien $g \in ℱ (ℤ)$ .
De plus, pour $n \in ℕ$ , on a : $\begin{array}{l} [g \circ f] (n) & = g (f (n)) \\ [g \circ f] (n) & = g (n + 1) \\ [g \circ f] (n) & = (n + 1) - 1 \\ [g \circ f] (n) & = n \end{array}$
Donc $[g \circ f] = {Id}_{ℤ}$ .
Puis $g$ est un inverse à gauche de $f$ .
Soit $h$ un inverse à gauche de $f$ .
On a, pour $n \in ℤ$ : $\begin{array}{l} [h \circ f] (n) & = h (f (n)) \\ [h \circ f] (n) & = h (n + 1) \end{array}$
Or $h$ est un inverse à gauche de $f$ , donc : $[h \circ f] = {Id}_{ℤ}$ , puis $[h \circ f] (n) = n$ .
Donc pour tout $n \in ℤ$ , $h (n + 1) = n$ .
Puis pour tout $m \in ℤ$ , $h (m) = m - 1$ (on a posé $m = n + 1$ ).
Donc il existe au plus un inverse à gauche de $f$ .
On considère la fonction $g \overset{Δ}{=} \{\begin{matrix} ℤ & \to ℤ \\ n & \mapsto n - 1 \end{matrix}$ .
On a bien $g \in ℱ (ℤ)$ .
De plus $n \in ℕ$ , on a : $\begin{array}{l} [f \circ g] (n) & = f (g (n)) \\ [f \circ g] (n) & = f (n - 1) \\ [f \circ g] (n) & = (n - 1) + 1 \\ [f \circ g] (n) & = n \end{array}$
Donc $[f \circ g] = {Id}_{ℤ}$ .
Puis $g$ est un inverse à droite de $f$ .
Soit $h$ un inverse à droite de $f$ .
On a, pour $n \in ℤ$ : $\begin{array}{l} [f \circ h] (n) & = f (h (n)) \\ [f \circ h] (n) & = h (n) + 1 \end{array}$
Or $h$ est un inverse à droite de $f$ , donc : $[f \circ h] = {Id}_{ℤ}$ , puis $[f \circ h] (n) = n$ .
Donc pour tout $n \in ℤ$ , $n = h (n) + 1$ .
Puis pour tout $n \in ℤ$ , $h (n) = n - 1$ .
Donc il existe au plus un inverse à droite de $f$ .

□

Exemple 5.8. La fonction :

f \overset{Δ}{=} \{\begin{matrix} ℤ & \to ℤ \\ 0 & \mapsto 0 \\ n & \mapsto n - 1 \end{matrix}

n’a d’inverse ni à gauche, ni à droite, pour la composition $\circ$ déﬁnie sur $ℱ (𝒵)$ .

Preuve

Par l’absurde, soit $g$ un inverse à gauche de $f$ .
$\begin{array}{l} [g \circ f] (0) & = g (f (0)) \\ [g \circ f] (0) & = g (0) \end{array}$
Or $g$ est un inverse à gauche, donc $[g \circ f] = {Id}_{ℕ}$ .
Puis $[g \circ f] (0) = 0$ .
Ainsi $g (0) = 0$ .

De plus, $\begin{array}{l} [g \circ f] (1) & = g (f (1)) \\ [g \circ f] (1) & = g (0) \end{array}$
Or $g$ est un inverse à gauche, donc $[g \circ f] = {Id}_{ℕ}$ .
Puis $[g \circ f] (1) = 1$ .
Ainsi $g (0) = 1$ .

Ainsi $0 = 1$ ce qui est absurde.
Donc $f$ n’a pas d’inverse à gauche.
Par l’absurde, soit g un inverse à droite de f.
[f ∘ g](1) = f(g(1))
Or $g$ est un inverse à droite, donc $[f \circ g] = {Id}_{ℕ}$ .
Puis $[f \circ g] (1) = 1$ .
1. si $g (1) = 0$ ,
  on aurait : $\begin{array}{l} [f \circ g] (1) & = f (0) \\ [f \circ g] (1) & = 0 . \end{array}$
  puis $1 = 0$ (absurde).
2. si $g (1) \neq 0$ ,
  on aurait : $\begin{array}{l} [f \circ g] (1) & = f (g (1)) \\ [f \circ g] (1) & = g (1) - 1 . \end{array}$
  Puis $g (1) - 1 = 1$ .
  Donc $g (1) = 0$ (absurde).
Dans les deux cas, c’est absurde.
Donc $f$ n’a pas d’inverse à droite.

□

Proposition 5.1. Soit $A$ un ensemble. Les éléments inversibles pour la composition déﬁnie sur l’ensemble $ℱ (A)$ sont les fonctions bijectives. Les éléments qui ont un inverse à gauche sont les injections. Si de plus si il existe une fonction $h : ℘ (A) ∖ {\emptyset} \to A$ telle que pour tout $X \subseteq A ∖ {\emptyset}$ , $h (X) \in X$ , alors les éléments qui ont un inverse à droite sont les surjections.

Preuve

( $\Rightarrow$ )Soit $f : A \to A$ qui admet un inverse à gauche. Soit $g : A \to A$ un inverse à gauche de $f$ . On a $g \circ f = {Id}_{A}$ . Soit $x, y \in A$ tels que $f (x) = f (y)$ . On a $g (f (x)) = x$ et $g (f (y)) = y$ . D’où $x = y$ (car $g \circ f = {Id}_{A}$ ). Puis $f$ est injective. ( $\Leftarrow$ ) Soit $f$ une injection de $A$ dans $A$ . Soit $g : A \to A$ la fonction qui à $y \in Im (f)$ associe l’unique $x$ tel que $f (x) = y$ , et à $y \in A ∖ Im (f)$ associe $y$ . On a alors pour tout $x \in A$ , $f (x) \in Im (a)$ , donc $g (f (x))$ est égal à $x$ . Puis $g \circ f$ est la fonction identité.
( $\Rightarrow$ )Soit $f : A \to A$ qui admet un inverse à droite. Soit $g : A \to A$ un inverse à droite de $g$ . On a $f \circ g = {Id}_{A}$ . Soit $x \in A$ . On a $f (g (x)) = x$ , donc $x \in Im (f)$ . Puis $f$ est surjective. ( $\Leftarrow$ ) Soit $f$ une surjection de $A$ dans $A$ . Soit $g : A \to A$ la fonction qui à $x \in A$ associe $h ({y \in A | f (y) = x})$ ( $h$ est bien déﬁni car $f$ est surjective). On a alors pour tout $x \in A$ , $g (x) = h ({y \in A | f (y) = x})$ . Puis $g (x) \in {y \in A | f (y) = x}$ . D’où, $f (g (y)) = y$ . Puis $f \circ g$ est la fonction identité.

□

Propriété 5.1. Soit $A$ un ensemble, soit $\otimes$ une loi interne sur $A$ , qui admet un élément neutre $𝜀$ . Alors, l’élément $x$ est un inverse à droite de l’élément $y$ pour $\otimes$ si et seulement si l’élément $y$ est un inverse à gauche de l’élément $x$ pour $\otimes$ .

Preuve Soit $A$ un ensemble et $\otimes$ une loi interne sur $A$ , qui admet un élément neutre $𝜀$ . Soient $x$ et $y$ deux éléments de $A$ .

( $\Rightarrow$ ) Si l’élément $x$ est un inverse à droite de l’élément $y$ , alors $x \otimes y = 𝜀$ , puis l’élément $y$ est un inverse à gauche de l’élément $x$ .
( $\Leftarrow$ ) Si l’élément $y$ est un inverse à gauche de l’élément $x$ , alors $y \otimes x = 𝜀$ , puis l’élément $x$ est un inverse à droite de l’élément $y$ .

□

Propriété 5.2. Soit $A$ un ensemble, soit $\otimes$ une loi interne associative sur $A$ , qui admet un élément neutre, et soit $x$ un élément de $A$ . Si l’élément $x$ a un inverse à gauche pour $\otimes$ , alors pour tous éléments $y$ , $z$ de l’ensemble $A$ , si $x \otimes y = x \otimes z$ alors $y = z$ .
On dit alors que l’élément $x$ est simpliﬁable à gauche.

Preuve Soit $A$ un ensemble, soit $\otimes$ une loi interne associative sur $A$ , soit $𝜀$ un élément neutre pour $\otimes$ , et soit $x$ un élément de $A$ .
On suppose que l’élément $x$ a un inverse à gauche. On note cet inverse $x_{g}^{- 1}$ .
Soient maintenant $y$ et $z$ deux éléments de $A$ tels que $x \otimes y = x \otimes z$ .
On a :

\begin{matrix} y = 𝜀 \otimes y & (puisque 𝜀 est neutre) \\ y = (x_{g}^{- 1} \otimes x) \otimes y & (puisque x_{g}^{- 1} est un inverse à gauche de x) \\ y = x_{g}^{- 1} \otimes (x \otimes y) & (par associativité) \\ y = x_{g}^{- 1} \otimes (x \otimes z) & (puisque x \otimes y = x \otimes z) \\ y = (x_{g}^{- 1} \otimes x) \otimes z & (par associativité) \\ y = 𝜀 \otimes z & (puisque x_{g}^{- 1} est un inverse à gauche de x) \\ y = z & (puisque 𝜀 est neutre) \end{matrix}

Donc $y = z$ .

$□$

Propriété 5.3. Soit $A$ un ensemble, soit $\otimes$ une loi interne associative sur $A$ , qui admet un élément neutre $𝜀$ et soit $x$ un élément de $A$ . Si $x \in A$ a un inverse à droite pour $\otimes$ , alors pour tous élément $y$ , $z$ de l’ensemble $A$ , si $y \otimes x = z \otimes x$ alors $y = z$ .
On dit alors que l’élément $x$ est simpliﬁable à droite.

Preuve Soit $A$ un ensemble, soit $\otimes$ une loi interne associative sur $A$ , soit $𝜀$ un élément neutre pour $\otimes$ , et soit $x$ un élément de $A$ .
On suppose que l’élément $x$ a un inverse à gauche. On note cet inverse $x_{d}^{- 1}$ .
Soient maintenant $y$ et $z$ deux éléments de $A$ tels que $y \otimes x = z \otimes x$ .
On a :

\begin{matrix} y = y \otimes 𝜀 & (puisque 𝜀 est neutre) \\ y = y \otimes (x \otimes x_{d}^{- 1}) & (puisque x_{d}^{- 1} est un inverse à droite de x) \\ y = (y \otimes x) \otimes x_{d}^{- 1} & (par associativité) \\ y = (z \otimes x) \otimes x_{d}^{- 1} & (puisque y \otimes x = z \otimes x) \\ y = z \otimes (x \otimes x_{d}^{- 1}) & (par associativité) \\ y = z \otimes 𝜀 & (puisque x_{d}^{- 1} est un inverse à droite de x) \\ y = z & (puisque 𝜀 est neutre) \end{matrix}

Donc $y = z$ .

$□$

Proposition 5.2. Soit $\otimes$ une loi interne associative sur un ensemble $A$ , qui admet un élément neutre $𝜀$ . Soit $x$ un élément de $A$ . On suppose l’existence de deux éléments $x_{d}, x_{g} \in A$ tels que $x_{d}$ soit un inverse à droite de $x$ et que $x_{d}$ soit un inverse à gauche de $x_{g}$ . Alors $x_{d} = x_{q}$ (et donc $x$ est inversible).

Preuve Soit $\otimes$ une loi interne associative sur un ensemble $A$ , qui admet un élément neutre $𝜀$ . Soient $x, x_{d}, x_{g}$ trois éléments de $A$ . On suppose que $x_{d}$ est un inverse à droite de $x$ et $x_{g}$ est un inverse à gauche de $x$ .

On a : $\begin{array}{l} x_{d} = x_{d} \otimes 𝜀 & (puisque 𝜀 est un élément neutre) \\ x_{d} = x_{d} \otimes (x \otimes x_{g}) & (puisque x_{g} est un inverse à gauche de x) \\ x_{d} = (x_{d} \otimes x) \otimes x_{g} & (puisque \otimes est associative) \\ x_{d} = 𝜀 \otimes x_{g} & (puisque x_{d} est un inverse à droite de x) \\ x_{d} = x_{g} & (puisque 𝜀 est un élément neutre) \end{array}$ $□$

Proposition 5.3. Soit $\otimes$ une loi interne associative sur un ensemble $A$ , qui admet un élément neutre $𝜀$ . Soit $x$ un élément de $A$ . Si l’élément $x$ est inversible, alors il existe un unique élément $y \in A$ tel que $x \otimes y = 𝜀$ et $y \otimes x = 𝜀$ .

Preuve Soit $\otimes$ une loi interne associative sur un ensemble $A$ , qui admet un élément neutre.
Soit $x$ un élément de $A$ .
Soient $y$ et $z$ deux inverses de l’élément $x$ .
Par déﬁnition, $y$ et $z$ sont des inverses à gauche de $x$ .
Donc, $y \otimes x = 𝜀$ et $z \otimes x = 𝜀$ .
Ainsi $y \otimes x = z \otimes x$ .
Or $y$ est, par déﬁnition, un inverse à droite de $x$ et, de plus, $\otimes$ est associative.
Donc, par la propriété 5.3, $x$ est simpliﬁable à droite.
Puis $y = z$ .

$□$

Déﬁnition 5.2. Soit $\otimes$ une loi interne associative sur un ensemble $A$ , qui admet un élément neutre $𝜀$ . Si $x \in A$ est inversible, l’unique élément $y \in A$ tel que $x \otimes y = 𝜀$ et $y \otimes x = 𝜀$ est appelé inverse de $x$ , et est noté $x^{- 1}$ .

Propriété 5.4. Soit $A$ un ensemble, soit $\otimes$ une loi interne associative sur $A$ , qui admet un élément neutre. Si l’élément $x$ est inversible, alors son inverse est inversible et l’inverse de l’inverse de l’élément $x$ est l’élément $x$ .

Preuve Soit $\otimes$ une loi interne associative sur un ensemble $A$ , qui admet un élément neutre $𝜀$ , et $x$ un élément inversible $A$ . On note $𝜀$ l’élément neutre. On sait que $x^{- 1}$ est l’inverse de $x$ . En particulier, c’est un inverse à droite de $x$ , puis par la propriété 5.1, $x$ est un inverse à gauche de $x^{- 1}$ . De plus, $x^{- 1}$ est aussi un inverse à gauche de $x$ , puis par la propriété 5.1, $x$ est un inverse à droite de $x^{- 1}$ . Ainsi, $x$ est l’inverse à droite et à gauche de $x^{- 1}$ . Donc $x^{- 1}$ est inversible, et son inverse est $x$ .

$□$

Propriété 5.5. Soit $A$ un ensemble, soit $\otimes$ une loi interne associative sur $A$ , qui admet un élément neutre. Soient $x$ et $y \in A$ deux élément inversibles. Alors $x \otimes y$ est inversible, de plus :

{(x \otimes y)}^{- 1} = y^{- 1} \otimes x^{- 1} .

Preuve Soit $A$ un ensemble, soit $\otimes$ une loi interne associative sur $A$ , qui admet un élément neutre $𝜀$ .
Soient $x$ et $y \in A$ deux élément inversibles.
On a :

\begin{matrix} (\underset{̲}{y^{- 1}} \otimes \underset{̲}{x^{- 1}}) \otimes \underset{̲}{(x \otimes y)} = y^{- 1} \otimes (\underset{̲}{x^{- 1}} \otimes (\underset{̲}{x} \otimes \underset{̲}{y})) & (par associativité) \\ (y^{- 1} \otimes x^{- 1}) \otimes (x \otimes y) = y^{- 1} \otimes ((x^{- 1} \otimes x) \otimes y) & (par associativité) \\ (y^{- 1} \otimes x^{- 1}) \otimes (x \otimes y) = y^{- 1} \otimes (𝜀 \otimes y) & (car x^{- 1} est l’inverse de x) \\ (y^{- 1} \otimes x^{- 1}) \otimes (x \otimes y) = y^{- 1} \otimes y & (car 𝜀 est un élément neutre) \\ (y^{- 1} \otimes x^{- 1}) \otimes (x \otimes y) = 𝜀 & (car y^{- 1} est l’inverse de y) \end{matrix}

Et, quitte à remplacer $y$ par $x^{-} 1$ et $x$ par $y^{-} 1$ dans le calcul précédent, et en appliquant ${(x^{- 1})}^{- 1} = x$ et ${(y^{- 1})}^{- 1} = y$ , on a également : $(x \otimes y) \otimes (y^{- 1} \otimes x^{- 1}) = 𝜀$ .
Donc $(y^{- 1} \otimes x^{- 1})$ est bien l’inverse de $x \otimes y$ .

$□$

Propriété 5.6. Soit $A$ un ensemble, soit $\otimes$ une loi interne associative et commutative sur $A$ , qui admet un élément neutre. Soient $x$ et $y \in A$ deux élément inversibles. Alors $x \otimes y$ est inversible, de plus :

{(x \otimes y)}^{- 1} = x^{- 1} \otimes y^{- 1} .

Preuve Soit $A$ un ensemble, soit $\otimes$ une loi interne associative sur $A$ , qui admet un élément neutre $𝜀$ .
Soient $x$ et $y \in A$ deux élément inversibles.
D’après la propriété 5.5, $x \otimes y$ est un élément inversible de $A$ , et de plus, on a : ${(x \otimes y)}^{- 1} = (y^{- 1}) \otimes (x^{- 1})$ . Puis, comme $\otimes$ est commutative, on obtient : ${(x \otimes y)}^{- 1} = (x^{- 1}) \otimes (y^{- 1})$ .

$□$

Propriété 5.7. Il existe des lois associatives non commutatives, munies d’un élément neutre, dont tous les éléments ont un inverse, et qui ne vériﬁent pas la propriété 5.6.

Preuve Par exemple, nous considérons un ensemble $A$ à trois éléments ${a, b, c}$ distincts deux à deux. Nous considérons $Bij (A)$ l’ensemble des bijections de $A$ dans $A$ , muni de la composition $\circ$ des fonctions.

La loi $\circ$ est bien une loi interne, car la composée de deux bijection de $A$ dans $A$ , est bien une bijection de $A$ dans $A$ .
De plus, la composition est bien associative.
Enﬁn, la fonction identité sur $A$ est une bijection, et c’est l’élément neutre de la loi $\circ$ sur $Bij (A)$ .
Enﬁn chaque bijection admet un inverse, qui est aussi une bijection de $A$ dans $A$ .

Notons :

f : \{\begin{matrix} A \to A \\ a \mapsto b \\ b \mapsto a \\ c \mapsto c \end{matrix} g : \{\begin{matrix} A \to A \\ a \mapsto c \\ b \mapsto b \\ c \mapsto a \end{matrix}

On a :

\begin{matrix} (f \circ f) (a) = f (f (a)) & (f \circ g) (a) = f (g (a)) & (g \circ f) (a) = g (f (a)) & (g \circ g) (a) = g (g (a)) \\ (f \circ f) (a) = f (b) & (f \circ g) (a) = f (c) & (g \circ f) (a) = g (b) & (g \circ g) (a) = g (c) \\ (f \circ f) (a) = a & (f \circ g) (a) = c & (g \circ f) (a) = b & (g \circ g) (a) = a \\ (f \circ f) (b) = f (f (b)) & (f \circ g) (b) = f (g (b)) & (g \circ f) (b) = g (f (b)) & (g \circ g) (b) = g (g (b)) \\ (f \circ f) (b) = f (a) & (f \circ g) (b) = f (b) & (g \circ f) (b) = g (a) & (g \circ g) (b) = g (b) \\ (f \circ f) (b) = b & (f \circ g) (b) = a & (g \circ f) (b) = c & (g \circ g) (b) = b \\ (f \circ f) (c) = f (f (c)) & (f \circ g) (c) = f (g (c)) & (g \circ f) (c) = g (f (c)) & (g \circ g) (c) = g (g (c)) \\ (f \circ f) (c) = f (c) & (f \circ g) (c) = f (a) & (g \circ f) (c) = g (c) & (g \circ g) (c) = g (a) \\ (f \circ f) (c) = c & (f \circ g) (c) = b & (g \circ f) (c) = a & (g \circ g) (c) = c \end{matrix}

Ainsi, $f \circ g \neq g \circ f$ .
De plus, $f \circ f = {Id}_{A}$ , donc $f^{- 1} = f$ .
De même, $g \circ g = {Id}_{A}$ , donc $g^{- 1} = g$ .
D’après la propriété 5.5, on a : ${(f \circ g)}^{- 1} = (g^{- 1}) \circ (f^{- 1})$ .
Puis, ${(f \circ g)}^{- 1} = g \circ f$ .
Or $g \circ f \neq f \circ g$ .
Et $f \circ g = (f^{- 1}) \circ (g^{- 1})$ .
Donc ${(f \circ g)}^{- 1} \neq (f^{- 1}) \circ (g^{- 1})$ .

□

Proposition 5.4. Soit $\otimes$ une loi interne associative sur un ensemble $A$ , qui admet un élément neutre. Si tous les éléments de $A$ ont un inverse à droite, alors tous les éléments de $A$ sont inversibles.

Preuve Soit $\otimes$ une loi interne sur un ensemble $A$ , qui admet un élément neutre.
On suppose que tous les éléments de $A$ ont un inverse à droite pour la loi $\otimes$ . Soit $x$ un élément de $A$ .
Soit $x_{d} \in A$ un inverse à droite de $x$ pour la loi $\otimes$ .
Soit $x_{d d}$ un inverse à droite de $x_{d}$ pour la loi $\otimes$ .
On a :

\begin{matrix} x_{d d} = 𝜀 \otimes x_{d d} & (car 𝜀 est neutre) \\ x_{d d} = (x \otimes x_{d}) \otimes x_{d d} & (car x_{d} est un inverse à droite de x) \\ x_{d d} = x \otimes (x_{d} \otimes x_{d d}) & (par associativité) \\ x_{d d} = x \otimes 𝜀 & (car x_{d d} est un inverse à droite de x_{d}) \\ x_{d d} = x & (car 𝜀 est neutre) \end{matrix}

Donc :

\begin{matrix} x_{d} \otimes x = x_{d} \otimes x_{d d} \\ x_{d} \otimes x = 𝜀 & (car x_{d d} est un inverse à droite de x_{d}) \end{matrix}

Donc $x_{d}$ est aussi un inverse à gauche de $x$ . Puis c’est l’inverse de $x$ .

$□$