Applications linéaires

Jérôme Feret
DIENS (INRIA,ÉNS,CNRS)

9,13 mars 2017

1 Applications linéaires

1.1 Définitions

Définition 1.1 (Applications linéaires). Soit (E,+E,E) et (F,+F,F) deux 𝕂-espaces vectoriels. Une application linéaire de (E,+E,E) dans (F,+F,F) est une fonction ϕ de E dans F qui vérifie les deux propriétés suivantes :

  1. (additivité) u,v E, on a : ϕ(u + Ev) = ϕ(u) + Fϕ(v) ;
  2. (homogénéité) λ 𝕂, u E, on a : ϕ(λ Eu) = λ Fϕ(u).

L’ensemble des applications linéaires de (E,+E,E) dans (F,+F,F) est noté (E,F).

Définition 1.2 (Homomorphismes). Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel. Une application linéaire de (E,+,) dans (E,+,) dans lui même est appelée un homomorphisme.
L’ensemble des homomorphismes de (E,+,) est noté (E).

Définition 1.3 (Isomorphismes). Un isomorphisme est une application linéaire bijective.
L’ensemble des isomorphismes entre un espace vectoriel (E,+E,E) et un autre (F,+F,F) est noté Isom(E,F).

Définition 1.4 (Automorphismes). Un automorphisme est un homomorphisme bijectif. L’ensemble des automorphismes d’un espace linéaire (E,+,) est noté 𝒢(E).

Définition 1.5 (Forme linéaire). Une application linéaire d’un espace dans l’espace (𝕂,+,) est appelée une forme linéaire.

Propriété 1.1. Soient (E,+E,E) et (F,+F,F) deux 𝕂-espaces vectoriels et ϕ une fonction de E dans F. Alors ϕ est une application linéaire de (E,+E,E) dans (F,+F,F) si et seulement si, pour tout scalaire λ 𝕂, tout couple de vecteurs (u,v) E2, on a : ϕ(u + Eλ Ev) = ϕ(u) + Fλ Fϕ(v).

Propriété 1.2. Soient (E,+E,E) et (F,+F,F) deux 𝕂-espaces vectoriels et ϕ (E,F) une application linéaire de (E,+E,E) dans (F,+F,F). Alors, ϕ est injective si et seulement si pour tout vecteur u E tel que ϕ(u) = 0F, on a : u = 0E.

Propriété 1.3. Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel. Alors 𝒢(E) est un groupe pour la composition.

Propriété 1.4. Soient (E,+E,E) et (F,+F,F) deux 𝕂-espaces vectoriels. Alors l’ensemble des applications linéaires de (E,+E,E) dans (F,+F,F), muni de la somme + F point à point et du produit externe F point à point, est un espace vectoriel.

1.2 Image des familles de vecteurs

Théorème 1.1. Soient (E,+E,E) et (F,+F,F) deux 𝕂-espaces vectoriels et ϕ (E,F) une application linéaire entre E et F. On suppose, de plus, qu’il existe une base de E1. Alors les trois assertions suivantes sont équivalentes :

  1. ϕ Isom(E,F) ;
  2. L’image de chaque base de (E,+E,E) est une base de (F,+F,F) ;
  3. Il existe une base de (E,+E,E) dont l’image est une base de (F,+F,F).

Théorème 1.2. Soient (E,+E,E) et (F,+F,F) deux 𝕂-espaces vectoriels et ϕ (E,F). Soit I un ensemble d’indices et (ui)iI une famille génératrice de E. Soient ϕ,ψ (E,F) deux applications linéaires de E dans F. Si pour tout indice i I, ϕ(ui) = ψ(ui), alors ϕ = ψ.

Théorème 1.3. Soit (E,+,) un 𝕂 espace vectoriel de dimension n, alors il existe un isomorphisme entre (E,+,) et (𝕂n,+.,.).

1.3 Noyau, Image et dimension

Définition 1.6 (Noyau). Soient (E,+E,E) et (F,+F,F) deux 𝕂-espaces vectoriels et soit ϕ (E,F) une application linéaire entre E et F.
On définit le noyau de ϕ, Ker(ϕ) par :

Ker(ϕ)=Δ{x E|ϕ(x) = 0F}.

Propriété 1.5. Soient (E,+E,E) et (F,+F,F) deux 𝕂-espaces vectoriels et soit ϕ (E,F) une application linéaire entre E et F. Alors Ker(ϕ) est un sous-espace vectoriel de (E,+E,E).

Définition 1.7 (Image). Soient (E,+E,E) et (F,+F,F) deux 𝕂-espaces vectoriels et soit ϕ (E,F) une application linéaire entre E et F.
On définit l’image de ϕ, Im(ϕ) par :

Im(ϕ)=Δ{ϕ(x) F|x E}.

Propriété 1.6. Soient (E,+E,E) et (F,+F,F) deux 𝕂-espaces vectoriels et soit ϕ (E,F) une application linéaire entre E et F. Alors Im(ϕ) est un sous-espace vectoriel de (F,+F,F).

Théorème 1.4. Soient (E,+E,E) et (F,+F,F) deux 𝕂-espaces vectoriels et soit ϕ (E,F) une application linéaire entre E et F. On suppose que (E,+E,E) est de dimension fini. Alors,

dim(E) = dim(Ker(E)) + dim(Im(E))

Corollaire 1.1. Soient (E,+E,E) et (F,+F,F) deux 𝕂-espaces vectoriels. Si E ou F est de dimension fini et s’il existe un isomorphisme ϕ Isom(E,F), alors E et F sont de dimensions finis et égales.

Corollaire 1.2. Soient (E,+E,E) et (F,+F,F) deux 𝕂-espaces vectoriels. On suppose que (E,+E,E) est de dimension fini. Soit ϕ (E,F) une application linéaire de E dans F.
Les trois assertions suivantes sont équivalents :

  1. ϕ est un isomorphisme ;
  2. ϕ est injectif et dimE = dimF ;
  3. ϕ est surjectif et dimE = dimF.