Définition 1.1 (Applications linéaires). Soit et deux -espaces vectoriels. Une application linéaire de dans est une fonction de dans qui vérifie les deux propriétés suivantes :
L’ensemble des applications linéaires de dans est noté .
Définition 1.2 (Homomorphismes). Soit
un -espace
vectoriel. Une application linéaire de
dans
dans lui même est appelée un homomorphisme.
L’ensemble des homomorphismes de
est noté .
Définition 1.3 (Isomorphismes). Un isomorphisme est une application linéaire bijective.
L’ensemble des isomorphismes entre un espace vectoriel
et un autre
est noté .
Définition 1.4 (Automorphismes). Un automorphisme est un homomorphisme bijectif. L’ensemble des automorphismes d’un espace linéaire est noté .
Définition 1.5 (Forme linéaire). Une application linéaire d’un espace dans l’espace est appelée une forme linéaire.
Propriété 1.1. Soient et deux -espaces vectoriels et une fonction de dans . Alors est une application linéaire de dans si et seulement si, pour tout scalaire , tout couple de vecteurs , on a : .
Propriété 1.2. Soient et deux -espaces vectoriels et une application linéaire de dans . Alors, est injective si et seulement si pour tout vecteur tel que , on a : .
Propriété 1.4. Soient et deux -espaces vectoriels. Alors l’ensemble des applications linéaires de dans , muni de la somme point à point et du produit externe point à point, est un espace vectoriel.
Théorème 1.1. Soient et deux -espaces vectoriels et une application linéaire entre et . On suppose, de plus, qu’il existe une base de 1. Alors les trois assertions suivantes sont équivalentes :
Théorème 1.2. Soient et deux -espaces vectoriels et . Soit un ensemble d’indices et une famille génératrice de . Soient deux applications linéaires de dans . Si pour tout indice , , alors .
Définition 1.6 (Noyau). Soient
et deux
-espaces vectoriels et
soit une application
linéaire entre
et .
On définit le noyau de ,
par :
Propriété 1.5. Soient et deux -espaces vectoriels et soit une application linéaire entre et . Alors est un sous-espace vectoriel de .
Définition 1.7 (Image). Soient
et deux
-espaces vectoriels et
soit une application
linéaire entre
et .
On définit l’image de ,
par :
Propriété 1.6. Soient et deux -espaces vectoriels et soit une application linéaire entre et . Alors est un sous-espace vectoriel de .
Théorème 1.4. Soient et deux -espaces vectoriels et soit une application linéaire entre et . On suppose que est de dimension fini. Alors,