Exercices sur les groupes

Question 1.1. Combien il y a-t-il de groupes formés de deux éléments distincts $𝜀$ et $a$ , en supposant que $𝜀$ soit l’élément neutre ?

Question 1.2. Combien il y a-t-il de groupes formés de trois éléments deux à deux distincts $𝜀$ , $a$ et $b$ , en supposant que $𝜀$ soit l’élément neutre ?

Question 1.3. Combien il y a-t-il de groupes formés de quatre éléments deux à deux distincts $𝜀$ , $a$ , $b$ et $c$ , en supposant que $𝜀$ soit l’élément neutre ?

2 Puissances d’un élément dans un groupe

Dans cette partie, on considère

p G, q

un groupe dont l’élément neutre est noté

𝜀

Déﬁnition 2.1. Pour tout élément $a P G$ , on déﬁnit par récurrence les deux suites suivantes :

\{\begin{matrix} a_{d, 0} 𝜀, \\ a_{d, n 1} a_{d, n} a, pour n 0; \end{matrix} et \{\begin{matrix} a_{g, 0} 𝜀, \\ a_{g, n 1} a a_{g, n}, pour n 0 . \end{matrix}

Question 2.1. Soit $a$ un élément de $G$ .

Montrer par récurrence, que pour tout entier $n P ℕ$ , on a : $a_{d, n} a_{g, n}$ .

Déﬁnition 2.2. Pour tout élément $a P G$ et tout entier $n P ℕ$ , on appelle la $n$ -ième puissance de $a$ l’élément $a_{d, n}$ (qui est égal à $a_{g, n}$ ).

On note $a^{n}$ la puissance $n$ -ième de $a$ .

Remarque 2.1. En particulier, la puissance $0$ -ième d’un élément est toujours l’élément neutre $𝜀$ .

Question 2.2. Soit $a P G$ et $n P ℕ$ .

Montrer que l’inverse de la puissance $n$ -ième de $a$ est la puissance $n$ -ième de l’inverse de $a$ (c’est à dire ${p a^{n} q}^{1} {p a^{1} q}^{n}$ ).

Déﬁnition 2.3. Pour tout élément $a P G$ et tout entier $n P ℕ z t 0 u$ , on appelle la puissance $p n q$ -ième de l’élément $a$ , l’inverse de la puissance $n$ -ième de $a$ .

On la note $a^{n}$ .

Déﬁnition 2.4. Soit $a P G$ et $n P ℕ$ , on dit que $a^{n}$ est une puissance positive de $a$ si et seulement si $n 0$ ; on dit que $a^{n}$ est une puissance négative de $a$ si et seulement si $n 0$ .

Question 2.3. Soit $a P G$ et $m, n P ℕ$ .

Montrer par récurrence sur $n$ que la puissance $m$ -ième de $a$ et la puissance $n$ -ième de $a$ commutent (c’est à dire $a^{m} a^{n} a^{n} a^{m}$ ).

Question 2.4. Soit $a P G$ et $m, n P ℤ$ .

Montrer que la puissance $m$ -ième de $a$ et la puissance $n$ -ième de $a$ commutent (c’est à dire $a^{m} a^{n} a^{n} a^{m}$ ).

3 Puissance dans un groupe ﬁni

Dans cette partie, on considère

p G, q

un groupe tel que l’ensemble

G

ait un nombre ﬁni d’éléments distincts. On considère également

a

un élément de

G

Question 3.1. On considère la fonction $ϕ$ de $ℕ$ dans $G$ qui à l’entier $n$ associe la $n$ -ième puissance de $a$ , c’est à dire :

\{\begin{matrix} \begin{matrix} ℕ & G \\ a & \mapsto & a^{n} \end{matrix} \end{matrix}

Montrer que la fonction $ϕ$ n’est pas injective.

Question 3.2. Montrer qu’il existe $m, n P ℕ$ deux entiers distincts tels que $a^{m} a^{n}$ .

Question 3.3. Montrer qu’il existe un entier $n P ℕ z t 0 u$ non nul, tel que $a^{n} 𝜀$ .

Question 3.4. Montrer que l’inverse de $a$ est une puissance (positive) de $a$ (c’est à dire, il existe un entier naturel $n P ℕ$ tel que $a^{1} a^{n}$ ).

Question 3.5. Donner un exemple de groupe $p H, q$ et d’un élément $a P H$ , tel que l’inverse de $a$ ne soit pas une puissance (positive) de $a$ .