Familles de vecteurs

Jérôme Feret
DIENS (INRIA,ÉNS,CNRS)

9 Février – 4 Mars 2017

1 Familles libres

Déﬁnition 1.1. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Une famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ d’éléments de $E$ est dite libre si et seulement si pour tout ensemble ﬁni $J \subseteq I$ et toute famille de scalaire ${(λ_{j})}_{j \in J}$ , on a :

\sum_{j \in J} λ_{j} ∙ u_{j} = 0_{E} \Leftrightarrow \forall j \in J, λ_{j} = 0 .

Déﬁnition 1.2. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel et $f$ une famille d’éléments de $E$ . On dit que $f$ est liée si et seulement si elle n’est pas libre.

Remarque 1.1. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble ﬁni. Une famille ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ d’éléments de $E$ est libre si et seulement si pour tout toute famille de scalaires ${(λ_{i})}_{i \in I}$ , on a :

\sum_{i \in I} λ_{i} ∙ u_{I} = 0_{E} \Leftrightarrow \forall i \in I, λ_{j} = 0 .

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble ﬁni. Une famille ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ d’éléments de $E$ .

( $\Rightarrow$ ) Si ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre.
$I$ est un sous-ensemble ﬁni de $I$ .
Puis par la déﬁnition 1.1, pour tout toute famille de scalaires ${(λ_{i})}_{i \in I}$ , on a : $\sum_{i \in I} λ_{i} ∙ u_{i} = 0_{E} \Leftrightarrow \forall i \in I, λ_{j} = 0$ .

(

\Leftarrow

) On suppose que pour tout toute famille de scalaires

{(λ_{i})}_{i \in I}

, on a :

\sum_{i \in I} λ_{i} ∙ u_{i} = 0_{E} \Leftrightarrow \forall i \in I, λ_{j} = 0

.
Soit

J

un sous ensemble ﬁni de

I

.
Soit

{(λ_{j})}_{j \in J} \in 𝕂^{J}

une famille de scalaire.
On pose pour

i \in I ∖ J

λ_{i} = 0

.
On a :

\forall j \in J, λ_{j} = 0 \Leftrightarrow \forall i \in I, λ_{i} = 0,

puisque pour tout $i \in I ∖ J$ , $λ_{i} = 0$ . Et, par hypothèse,

\forall i \in I, λ_{i} = 0 \Leftrightarrow \sum_{i \in I} λ_{i} ∙ u_{i} = 0_{E} .

Donc :

\forall j \in J, λ_{j} = 0 \Leftrightarrow \sum_{i \in I} λ_{i} ∙ u_{i} = 0_{E}

Or :

\sum_{i \in I} λ_{i} ∙ u_{i} = \sum_{j \in J} λ_{j} ∙ u_{j}

Donc :

\forall j \in J, λ_{j} = 0 \Leftrightarrow \sum_{j \in J} λ_{j} ∙ u_{j} = 0_{E} .

Puis, par la déﬁnition 1.1, ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille libre.

□

Propriété 1.1. Si $(E, +, ∙)$ est un $𝕂$ -espace vectoriel, alors les familles libres ne contiennent pas l’élément $0_{E}$ .

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble et ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . On suppose qu’il existe un indice $i_{0} \in I$ tel que $u_{i_{0}} = 0_{E}$ . Alors $1 ∙ u_{i_{0}}$ est une combinaison linéaire d’éléments de ${(u_{i})}_{i \in I}$ avec un coeﬃcient non nul ( $1$ ). Or $1 ∙ u_{i_{0}} = 1 ∙ 0_{E}$ , puis, $1 ∙ u_{i_{0}} = 0_{E}$ . Donc la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est liée dans $E$ .

$□$

Exemple 1.1. Si $(E, +, ∙)$ est un $𝕂$ -espace vectoriel, alors toute famille formée d’un élément de $E ∖ {0_{E}}$ est libre.

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un singleton ${i_{0}}$ et ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’un élément de $E$ indexée par $I$ . On suppose que $u_{i_{0}} \neq 0_{E}$ . Soit $J \subseteq I$ , et ${(λ_{j})}_{j \in J} \in E^{J}$ une famille de scalaires indexée par $J$ telle que $\sum_{j \in J} λ_{j} ∙ u_{j} = 0_{E}$ .

Si $J = \emptyset$ , alors pour tout $j \in J$ , $λ_{j} = 0$ .
Sinon, $J = {i_{0}}$ , puis, $λ_{i_{0}} ∙ u_{i_{0}} = 0_{E}$ . Donc, $λ_{i_{0}} = 0$ ou $u_{i_{0}} = 0_{E}$ , puis, comme $u_{i_{0}} \neq 0_{E}$ , $λ_{i_{0}} = 0$ .

Donc dans tous les cas, pour tout $j \in J$ , $λ_{j} = 0$ .
Puis, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre.

$□$

Exemple 1.2. La famille $((1, 1, 0), (- 1, 1, 0))$ est libre dans $(ℝ^{3}, \dot{+}, \dot{\cdot})$ .

Preuve Soient $λ \in ℝ$ et $μ \in ℝ$ tels que $λ \dot{\cdot} (1, 1, 0) \dot{+} μ \dot{\cdot} (- 1, 1, 0) = (0, 0, 0)$ .
On a sur la première coordonnée : $λ - μ = 0$ ;
et sur la seconde coordonnée : $λ + μ = 0$ .
Ainsi :

\{\begin{matrix} λ - μ = 0 \\ λ + μ = 0 . \end{matrix}

Puis par substitution :

\{\begin{matrix} λ = μ \\ 2 \cdot μ = 0 . \end{matrix}

Puis :

\{\begin{matrix} λ = 0 \\ μ = 0 . \end{matrix}

Ainsi la famille $((1, 1, 0), (- 1, 1, 0))$ est libre dans $(ℝ^{3}, \dot{+}, \dot{\cdot})$ .

$□$

Exemple 1.3. La famille $((1, 1, 0), (- 1, 1, 0), (2, 3, 0))$ est liée dans $(ℝ^{3}, \dot{+}, \dot{\cdot})$ .

Preuve On a : $\begin{array}{l} (- 5) \dot{\cdot} (1, 1, 0) + (- 1) \dot{\cdot} (- 1, 1, 0) + 2 \dot{\cdot} (2, 3, 0) & = ((- 5) + (- 1) \cdot (- 1) + 2 \cdot 2, (- 5) + (- 1) + 2 \cdot 3, 0) \\ (- 5) \dot{\cdot} (1, 1, 0) + (- 1) \dot{\cdot} (- 1, 1, 0) + 2 \dot{\cdot} (2, 3, 0) & = (- 5 + 1 + 4, - 5 - 1 + 6, 0) \\ (- 5) \dot{\cdot} (1, 1, 0) + (- 1) \dot{\cdot} (- 1, 1, 0) + 2 \dot{\cdot} (2, 3, 0) & = (0, 0, 0) \end{array}$

Donc la famille $((1, 1, 0), (- 1, 1, 0), (2, 3, 0))$ est liée.

$□$

Exemple 1.4. Soit $n \in ℕ$ un entier naturel. Soit $(𝕂^{n}, \dot{+}, \overset{)}{} \cdot$ . l’espace vectoriel des $n$ -uplets de scalaires, muni de l’addition et la multiplication coordonnée par coordonnée. La famille ${(δ^{k})}_{1 \leq k \leq n}$ de vecteurs telle que $δ_{k}$ a toutes ses coordonnées égales à $0$ , sauf la $k$ -ième coordonnée qui vaut $1$ est libre.

Preuve Soit ${(λ_{k})}_{1 \leq k \leq n} \in 𝕂^{n}$ une famille de scalaires telle que $\sum_{k = 1}^{n} λ_{k} \dot{\cdot} δ^{k} = {(0)}_{1 \leq k \leq n}$ . Soit $j \in ℕ$ tel que $1 \leq j \leq n$ , on a sur la $j$ -ième coordonnée, $\sum_{k = 1}^{n} λ_{k} \cdot δ_{j}^{k} = 0$ . Or $δ_{j}^{k} = 0$ pour tout $k$ tel que $j \neq k$ . Puis $λ_{k} \cdot 1 = 0$ et $λ_{k} = 0$ . Donc la famille ${(δ^{k})}_{1 \leq k \leq n}$ est libre.

$□$

Propriété 1.2. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille libre d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $J$ un sous ensemble de $I$ . Alors, la famille ${(u_{j})}_{j \in J}$ est libre.

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble et ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille libre d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $J$ un sous ensemble de $I$ .
Montrons que ${(u_{j})}_{j \in J}$ est une famille libre.
Soit $K$ un sous ensemble ﬁni de $J$ et ${(λ_{k})}_{k \in K} \in 𝕂^{K}$ une famille de scalaires indexée par $K$ . Comme $J \subseteq I$ , $K$ est un sous ensemble ﬁni de $I$ . Donc, par la déﬁnition 1.1, $\sum_{k \in K} λ_{k} ∙ u_{k} = 0_{E} \Leftrightarrow \forall k \in K, λ_{k} = 0$ . Puis, par la déﬁnition 1.1, la famille ${(u_{j})}_{j \in J}$ est libre.

$□$

Propriété 1.3. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $σ$ une bijection de $I$ dans $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i} \overset{Δ}{=} u_{σ (i)} . \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est libre.

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $σ$ une bijection de $I$ dans $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i} \overset{Δ}{=} u_{σ (i)} . \end{matrix}

$(\Rightarrow)$ On suppose que la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre.
Montrons que la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est libre.
Soit $J$ un sous-ensemble ﬁni de $I$ et ${(λ_{j})}_{j \in J} \in 𝕂^{J}$ une famille de scalaires indexée par $J$ tel que : $\sum_{j \in J} λ_{j} ∙ v_{j} = 0_{E}$ . Il faut montrer que pour tout $j \in J$ , $λ_{j} = 0$ .
Pour $j \in J$ , on a : $v_{j} = u_{σ j}$ .
Donc $\sum_{j \in J} λ_{j} ∙ u_{σ j}$ . Puis, comme $σ$ est une bijection, on peut faire le changement de variable $j^{'} = σ (j)$ . D’où $\sum_{j^{'} \in {σ (j) | j \in J}} λ_{σ^{- 1} (j^{'})} ∙ u_{j^{'}}$ . Or l’ensemble ${σ (j) | j \in J}$ est ﬁni et la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre, donc par la déﬁnition 1.1, on a : pour $j^{'} \in {σ (j) | j \in J}$ , $λ_{σ^{- 1} (j^{'})} = 0$ . Puis en posant $j \in J$ , $λ_{σ^{- 1} (σ (j))} = 0$ , et $λ_{j} = 0$ .
Ainsi, par la déﬁnition 1.1, la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est libre.
( $\Leftarrow$ ) On suppose que la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est libre.
Alors la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ en appliquant le point précédent en remplaçant ${(u_{i})}_{i \in I}$ par ${(v_{i})}_{i \in I}$ et réciproquement, puis en remplaçant $σ$ par $σ^{- 1}$ .

□

Propriété 1.4. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $λ \in 𝕂$ tel que $λ \neq 0$ et $i_{0} \in I$ un élément de $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i_{0}} \overset{Δ}{=} λ ∙ u_{i_{0}} \\ v_{i} \overset{Δ}{=} u_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} . \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est libre.

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $λ \in 𝕂$ tel que $λ \neq 0$ et $i_{0} \in I$ un élément de $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i_{0}} \overset{Δ}{=} λ ∙ u_{i_{0}} \\ v_{i} \overset{Δ}{=} u_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} . \end{matrix}

( ⇒) On suppose que la famille (ui)i∈I est libre.
Montrons que la famille (vi)i∈I est libre.
Soit J un sous-ensemble ﬁni de I et (λj)j∈J ∈ 𝕂J une famille de scalaires indexée par J tel que : ∑ j∈Jλj ∙ vj = 0E. Il faut montrer que pour tout j ∈ J, λj = 0.
On pose, pour j ∈ J, λj′=Δλj si j≠i0, et λj′=Δλ ⋅ λj si j = i0.
On a donc : ∑ j∈Jλj′∙ uj = 0.
Or la famille (ui)i∈I est libre, donc par la déﬁnition 1.1, on sait que, pour tout j ∈ J, λj′ = 0.
Puis pour j ∈ J,
- si $j \neq i_{0}$ ,
  $λ_{j}^{'} = λ_{j}$ , puis $λ_{j} = 0$ ;
- si $j = i_{0}$ ,
  $λ_{j}^{'} = λ \cdot λ_{j}$ et $λ \neq 0$ , donc $λ_{j} = 0$ ;
donc dans les deux cas, $λ_{j} = 0$ .
Puis par la déﬁnition 1.1, la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est libre.
( $\Leftarrow$ ) On suppose que la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est libre. On montre que la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre en appliquant le point précédent en remplaçant la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ par la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ et réciproquement, et en remplaçant $λ$ par son inverse (puisque $λ \neq 0$ ).

□

Propriété 1.5. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soient $i_{0} \in I$ et $j_{0} \in I$ deux éléments de $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i_{0}} \overset{Δ}{=} u_{i_{0}} + u_{j_{0}} \\ v_{i} \overset{Δ}{=} u_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est libre.

Preuve Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soient $i_{0} \in I$ et $j_{0} \in I$ deux éléments de $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\begin{matrix} v_{i} \overset{Δ}{=} u_{i} + δ_{i_{0}}^{i} \cdot u_{j_{0}} & pour i \in I . \end{matrix}

si $i_{0} = j_{0}$ , ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre si et seulement si ${(v_{i})}_{i \in I}$ est libre d’après la propriété 1.4 (avec $λ = 2$ ).
on suppose que i0≠j0 :
1. ( $\Rightarrow$ ) On suppose que la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille libre.
  Soit $J \subseteq I$ un sous-ensemble ﬁni de $I$ .
  Soit ${(λ_{i})}_{i \in J} \in 𝕂^{J}$ une famille de scalaires indexée par $J$ , telle que $\sum_{i \in J} λ_{i} ∙ v_{i} = 0_{E}$ .
  On a donc $\sum_{i \in J} λ_{i} ∙ (u_{i} + δ_{i_{0}}^{i} \cdot u_{j_{0}}) = 0_{E}$ .
  Puis, $λ_{i_{0}} \cdot u_{j_{0}} + \sum_{i \in J} λ_{i} ∙ u_{i} = 0_{E}$ .
  Puis, $\sum_{i \in J} (λ_{i} + δ_{j_{0}}^{i} \cdot λ_{i_{0}}) \cdot u_{i} = 0_{E}$ .
  Comme ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre dans $(E, +, ∙)$ , pour tout $i \in J$ , $λ_{i} + δ_{j_{0}}^{i} \cdot λ_{i_{0}} = 0$ .
  Donc pour $i \in J ∖ {j_{0}}$ , $λ_{i} = 0$ .
  De plus, on a : $λ_{j_{0}} + λ_{i_{0}} = 0$ .
  Comme $j_{0} \neq i_{0}$ , on a $λ_{i_{0}} = 0$ , donc $λ_{j_{0}} = 0$ . Puis, ${(v_{i})}_{i \in I}$ est une famille libre de $(E, +, ∙)$ .
2. ( $\Leftarrow$ ) On suppose que la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est une famille libre.
  Soit $J \subseteq I$ un sous-ensemble ﬁni de $I$ .
  Soit ${(λ_{i})}_{i \in J} \in 𝕂^{J}$ une famille de scalaires indexée par $J$ , telle que $\sum_{i \in J} λ_{i} ∙ u_{i} = 0_{E}$ .
  On a donc $\sum_{i \in J} λ_{i} ∙ (v_{i} - δ_{i_{0}}^{i} \cdot u_{j_{0}}) = 0_{E}$ .
  Or $v_{j_{0}} = u_{j_{0}}$ car $i_{0} \neq j_{0}$ .
  Donc $\sum_{i \in J} λ_{i} ∙ (v_{i} - δ_{i_{0}}^{i} \cdot v_{j_{0}}) = 0_{E}$ . Puis, $\sum_{i \in J} (λ_{i} - δ_{j_{0}}^{i} \cdot λ_{i_{0}}) \cdot v_{i} = 0_{E}$ .
  Comme ${(v_{i})}_{i \in I}$ est libre dans $(E, +, ∙)$ , pour tout $i \in J$ , $λ_{i} - δ_{j_{0}}^{i} \cdot λ_{i_{0}} = 0$ .
  Donc pour $i \in J ∖ {j_{0}}$ , $λ_{i} = 0$ .
  De plus, On a : $λ_{j_{0}} - λ_{i_{0}} = 0$ , donc $λ_{j_{0}} = 0$ . Puis ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille libre de $(E, +, ∙)$ .

□

Propriété 1.6. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $λ \in 𝕂$ . Soient $i_{0} \in I$ et $j_{0} \in I$ deux éléments de $I$ tels que $i_{0} \neq j_{0}$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i_{0}} \overset{Δ}{=} u_{i_{0}} + λ ∙ u_{j_{0}} \\ v_{i} \overset{Δ}{=} u_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est libre.

Preuve On déﬁnit la famille ${(w_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁne par :

\{\begin{matrix} w_{j_{0}} \overset{Δ}{=} λ ∙ u_{j_{0}} \\ w_{i} \overset{Δ}{=} u_{i} & pour i \in I ∖ {j_{0}} \end{matrix}

Puis, la famille ${(w_{i}^{'})}_{i \in I} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} w_{i_{0}}^{'} \overset{Δ}{=} w_{i_{0}} + w_{j_{0}} \\ w_{i}^{'} \overset{Δ}{=} w_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} \end{matrix}

Et, la famille ${(w_{i}^{'})}_{i \in I} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} w_{j_{0}}^{″} \overset{Δ}{=} \frac{1}{λ} ∙ w_{j_{0}}^{'} \\ w_{i}^{″} \overset{Δ}{=} w_{i}^{'} & pour i \in I ∖ {j_{0}} \end{matrix}

puis la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre dans $(E, +, ∙)$ ,
si et seulement si, par la propriété 1.4, la famille ${(w_{i})}_{i \in I}$ est libre dans $(E, +, ∙)$ ,
si et seulement si, par la propriété 1.5, la famille ${(w_{i}^{'})}_{i \in I}$ est libre dans $(E, +, ∙)$ ,
si et seulement si, par la propriété 1.4, la famille ${(w ”_{i})}_{i \in I}$ est libre dans $(E, +, ∙)$ .

Or, pour $i \in I$ on a :

$\begin{matrix} w_{i_{0}}^{″} = w_{i_{0}}^{'} & (car i_{0} \neq j_{0}) \\ w_{i_{0}}^{″} = w_{i_{0}} + w_{j_{0}} \\ w_{i_{0}}^{″} = u_{i_{0}} + λ ∙ u_{j_{0}} & (car i_{0} \neq j_{0}) \\ w_{i_{0}}^{″} = v_{i_{0}} \end{matrix}$

\begin{matrix} w_{j_{0}}^{″} = \frac{1}{λ} \cdot w_{j_{0}}^{'} \\ w_{j_{0}}^{″} = \frac{1}{λ} \cdot w_{j_{0}}^{'} & (car j_{0} \neq i_{0}) \\ w_{j_{0}}^{″} = \frac{1}{λ} \cdot (λ ∙ u_{j_{0}}) \\ w_{j_{0}}^{″} = u_{j_{0}} \\ w_{j_{0}}^{″} = v_{j_{0}} & (car j_{0} \neq i_{0}) \end{matrix}

et pour

i \in I ∖ {i_{0}, j_{0}}

\begin{matrix} w_{i}^{″} = w_{i}^{'} & (car i \neq j_{0}) \\ w_{i}^{″} = w_{i} & (car i \neq i_{0}) \\ w_{i}^{″} = u_{i} & (car i \neq j_{0}) \\ w_{i}^{″} = v_{i} & (car i \neq i_{0}) \end{matrix}

Ainsi ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre dans $(E, +, ∙)$ si et seulement si ${(v_{i})}_{i \in I}$ est libre dans $(E, +, ∙)$ .

□

Propriété 1.7. Soient $m$ et $n$ deux entiers positifs dans $ℕ$ . Soit ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq m} \in {(𝕂^{n})}^{m}$ une famille de $m$ vecteurs du $𝕂$ -espace vectoriel $(𝕂^{n}, \dot{+}, \dot{\cdot})$ . Si pour tout $i$ entre $1$ et $m$ , il existe une coordonnée $j_{i}$ telle que pour tout indice $i^{'}$ entre $1$ et $m$ , la $j_{i}$ -ième coordonnée de $u_{i^{'}}$ soit égale à $0$ si et seulement si $i^{'} \neq i$ , alors la famille ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq m}$ est libre.

Preuve Soient ${(λ_{i})}_{1 \leq i \leq m} \in 𝕂^{m}$ une famille de $m$ scalaires tels que $\sum_{i = 1}^{m} λ_{i} \dot{∙} u_{i} = {(0)}_{1 \leq j \leq n}$ .
Soit $i$ entre $1$ et $m$ .
Soit $j_{i}$ entre $1$ et $n$ tel que pour tout $i^{'}$ entre $1$ et $m$ on ait : la $j_{i}$ -ième cordonnée de $u_{i^{'}}$ soit égale à zéro si et seulement si $i \neq i^{'}$ .
On a : $\sum_{i = 1}^{m} λ_{i} \dot{∙} u_{i} = {(0)}_{1 \leq j \leq n}$ .
Donc, selon la $j_{i}$ -ième coordonnée, on obtient : $λ_{i} ∙ u_{i} = 0$ .
Puis, comme $u_{i} \neq 0$ , $λ_{i} = 0$ .
Donc la famille ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq n}$ est libre.

$□$

Algorithme 1.1. Soient $m$ et $n$ deux entiers positifs dans $ℕ$ . Soit ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq n} \in {(𝕂^{n})}^{m}$ une famille de $m$ vecteurs de $𝕂^{n}$ . On note $u_{i, j}$ la $j$ -ième coordonnée du $i$ -ième vecteur de la famille ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq m}$ . L’algorithme suivant permet de décider si ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq m}$ est libre, ou liée.
Prendre $p \leftarrow 0$ .

si $p = m$ alors la famille est libre.
si $p < m$ et s’il pour tout $q$ entre $1$ et $n$ , $u_{p + 1, q} = 0$ , alors la famille est liée.
sinon, prendre $q$ le plus petit entier tel que $u_{p + 1, q} \neq 0$ .
Multiplier le vecteur $u_{p + 1}$ par l’inverse de $u_{p + 1, q}$ .
Soustraire à chaque vecteur $u_{p^{'}}$ pour $p^{'} \neq p$ le vecteur $u_{p + 1}$ multiplié par $u_{p^{'}, q}$ .
Prendre $p \leftarrow p + 1$ .
Retourner à l’étape 1.

Preuve À l’étape 1, on peut montrer par récurrence que pour tout les vecteurs $u_{k}$ pour $1 \leq k \leq p$ , il existe une coordonnée $j_{k}$ tel que $u_{k^{'}, j_{k}} = 0$ pour $k^{'}$ entre $1$ et $m$ et $k^{'} \neq k$ . De plus, les transformations eﬀectuées sur la famille de vecteur ne modiﬁent pas le fait d’être lié ou libre (d’après la propriété 1.4 pour l’étape $4$ , la propriété 1.6 pour l’étape $5$ ). Ainsi, si à l’étape 1, $p = m$ , alors la famille satisfait la propriété 1.7, elle est donc libre. Par contre, si un vecteur est nul, d’après la propriété 1.1 la famille est liée. Dans les autres cas, on peut continuer à itérer l’algorithme.

$□$

Exemple 1.5. On peut utiliser l’algorithme 1.1 pour montrer que la famille $((1, 1, 0), (- 1, 1, 0))$ est libre.

Preuve La famille $(\begin{matrix} (1, 1, 0) \\ (- 1, 1, 0) \end{matrix})$ est libre,
si et seulement si la famille $(\begin{matrix} (1, 1, 0) \\ (0, 2, 0) \end{matrix})$ est libre (en utilisant la transformation $L_{2} \leftarrow L_{2} + L_{1}$ ),
si et seulement si la famille $(\begin{matrix} (1, 1, 0) \\ (0, 1, 0) \end{matrix})$ est libre (en utilisant la transformation $L_{2} \leftarrow L_{2} ∕ 2$ ),
si et seulement si la famille $(\begin{matrix} (1, 0, 0) \\ (0, 1, 0) \end{matrix})$ est libre (en utilisant la transformation $L_{1} \leftarrow L 1 - L 2$ ).
Or cette dernière famille est libre, par la propriété 1.7, donc la famille $((1, 1, 0), (- 1, 1, 0))$ est libre.

$□$

Exemple 1.6. On peut utiliser l’algorithme 1.1 pour montrer que la famille $((1, 0, 1), (- 1, 0, 1))$ est libre.

Preuve La famille $(\begin{matrix} (1, 0, 1) \\ (- 1, 0, 1) \end{matrix})$ est libre,
si et seulement si la famille $(\begin{matrix} (1, 0, 1) \\ (0, 0, 2) \end{matrix})$ est libre (en utilisant la transformation $L_{2} \leftarrow L_{2} + L_{1}$ ),
si et seulement si la famille $(\begin{matrix} (1, 0, 1) \\ (0, 0, 1) \end{matrix})$ est libre (en utilisant la transformation $L_{2} \leftarrow L_{2} ∕ 2$ ),
si et seulement si la famille $(\begin{matrix} (1, 0, 0) \\ (0, 0, 1) \end{matrix})$ est libre (en utilisant la transformation $L_{1} \leftarrow L 1 - L 2$ ).
Or cette dernière famille est libre, par la propriété 1.7, donc la famille $((1, 0, 1), (- 1, 0, 1))$ est libre.

$□$

Exemple 1.7. On peut utiliser l’algorithme 1.1 pour montrer que la famille $((1, 1, 0), (- 1, - 1, 0))$ est liée.

Preuve La famille $(\begin{matrix} (1, 1, 0) \\ (- 1, - 1, 0) \end{matrix})$ est libre,
si et seulement si la famille $(\begin{matrix} (1, 1, 0) \\ (0, 0, 0) \end{matrix})$ est libre (en utilisant la transformation $L_{2} \leftarrow L_{2} + L_{1}$ ).
Or cette dernière famille est liée, par la propriété 1.1, donc la famille $((1, 1, 0), (- 1, - 1, 0))$ est liée.

$□$

2 Familles génératrices

Déﬁnition 2.1. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Une famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ d’éléments de $E$ est dite génératrice de $(E, +, ∙)$ si et seulement si pour tout élément $u \in E$ , il existe un sous-ensemble ﬁni $J \subseteq I$ et une famille de scalaire ${(λ_{j})}_{j \in J}$ , tels que :

\sum_{j \in J} λ_{j} ∙ u_{j} = u .

Propriété 2.1. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel, soit $I$ un ensemble, et soit ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . La famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice de $(E, +, ∙)$ si et seulement si $Vect ({u_{i} | i \in I}) = E$ .

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble et soit ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ .

( $\Rightarrow$ ) On suppose que ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice de $(E, +, ∙)$ .
On sait que : $Vect ({u_{i} | i \in I}) \subseteq E$ .
Montrons que : $E \subseteq Vect ({u_{i} | i \in I})$ .
Soit $u \in E$ .
${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice de $E$ .
Donc, il existe $J \subseteq I$ un sous ensemble ﬁni de $I$ et une famille ${(λ_{j})}_{j \in J}$ de scalaires indexée par $J$ , tel que : $u = \sum_{j \in J} λ_{j} ∙ u_{j}$ .
Puis $u \in Vect ({u_{i} | i \in I})$ .
D’où $E \subseteq Vect ({u_{i} | i \in I})$ .
Puis $E = Vect ({u_{i} | i \in I})$ .
( $\Leftarrow$ ) On suppose que $Vect ({u_{i} | i \in I}) = E$ .
Montrons que : ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice de $E$ .
Soit $u \in E$ .
On a : $u \in Vect ({u_{i} | i \in I})$ .
Puis, il existe $J \subseteq I$ un sous ensemble ﬁni de $I$ et une famille ${(λ_{j})}_{j \in J}$ de scalaires indexée par $J$ , tel que : $u = \sum_{j \in J} λ_{j} ∙ u_{j}$ .
Donc ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice de $E$ .

□

Exemple 2.1. Pour tout élément non nul, $λ \in 𝕂 ∖ {0}$ , la famille $(λ)$ est une famille génératrice de $𝕂$ -espace vectoriel $(𝕂, +, \cdot)$ .

Preuve Soit $λ \in 𝕂$ tel que $λ \neq 0$ .
Soit $μ \in 𝕂$ . On a, comme $λ \neq 0$ , $μ = \frac{μ}{λ} \cdot λ$ .
Donc $(λ)$ est une famille génératrice de $(𝕂, +, \cdot)$ .

$□$

Exemple 2.2. Si $(E, +, ∙)$ est un $𝕂$ -espace vectoriel, alors la famille ${(u)}_{u \in E}$ de tous les vecteurs de $E$ est une famille génératrice.

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel.
Pour $u \in E$ , on a $u = 1 ∙ u$ .
Donc ${(u)}_{u \in E}$ est une famille génératrice de $E$ .

$□$

Exemple 2.3. La famille $((1, 1, 0), (- 1, 1, 0), (1, 1, 1))$ est une famille génératrice de $(ℝ^{3}, \dot{+}, \dot{\cdot})$ .

Preuve Soit $(x, y, z) \in ℝ^{3}$ .
On a : $\frac{x + y - 2 \cdot z}{2} \dot{\cdot} (1, 1, 0) \dot{+} \frac{y - x}{2} \dot{\cdot} (- 1, 1, 0) \dot{+} z \dot{\cdot} (1, 1, 1) = (\frac{x + y - 2 \cdot z}{2} - \frac{y - x}{2} + z, \frac{x + y - 2 \cdot z}{2} + \frac{y - x}{2} + z, z)$ .
Puis, $\frac{x + y - 2 \cdot z}{2} \dot{\cdot} (1, 1, 0) \dot{+} \frac{y - x}{2} \dot{\cdot} (- 1, 1, 0) \dot{+} z \dot{\cdot} (1, 1, 1) = (x, y, z)$ .
Donc, la famille $((1, 1, 0), (- 1, 1, 0), (1, 1, 1))$ est une famille génératrice de $(ℝ^{3}, \dot{+}, \dot{\cdot})$ .

$□$

Exemple 2.4. La famille $((1, 1, 0), (- 1, 1, 0), (2, 3, 0))$ n’est pas une famille génératrice de $(ℝ^{3}, \dot{+}, \dot{∙})$ .

Preuve Montrons que $(0, 0, 1) \notin Vect ({(1, 1, 0), (- 1, 1, 0), (2, 3, 0)})$ .
Par l’absurde, soit $λ, μ, ν \in ℝ$ tel que $λ \dot{\cdot} (1, 1, 0) \dot{+} μ \dot{\cdot} (- 1, 1, 0) \dot{+} ν \dot{\cdot} (2, 3, 0) = (0, 0, 1)$ .
Pour la troisième coordonnée, on aurait : $λ \cdot 0 + μ \cdot 0 + ν \cdot 0 = 1$ .
Puis $1 = 0$ , ce qui est absurde.
Donc la famille $((1, 1, 0), (- 1, 1, 0), (2, 3, 0))$ n’est pas une famille génératrice de $(ℝ^{3}, \dot{+}, \dot{\cdot})$ .

$□$

Exemple 2.5. La famille des suites ${(δ^{k})}_{k \in ℕ}$ n’est pas une famille génératrice de l’espace des suites à valeur dans $ℝ$ .

Preuve Montrons que la suite ${(n)}_{n \in ℕ} \notin Vect ({(δ^{k})}_{k \in ℕ})$ . Par l’absurde, soit $I$ un sous ensemble ﬁni de $ℕ$ et ${(λ_{i})}_{i \in I} \in 𝕂^{I}$ une famille ﬁnie de scalaire indexée par $I$ , tel que : ${(n)}_{n \in ℕ} = \sum_{i \in I} λ_{i} \dot{\cdot} δ^{i}$ .
$I$ serait une partie ﬁnie de $ℕ$ .
Donc il existerait un entier $n_{0} > 0$ tel que pour tout $i \in I$ , $i < n_{0}$ .
Au rang $n_{0}$ , on aurait $n_{0} = \sum_{i \in I} λ_{i} \dot{\cdot} δ_{n_{0}}^{i}$ .
Or pour $i \in I$ , $i < n_{0}$ donc $i \neq n_{0}$ , puis $δ_{n_{0}}^{i} = 0$ .
D’où, $n_{0} = 0$ (ce qui est absurde).
Donc la famille ${(δ^{k})}_{k \in ℕ}$ n’est pas une famille génératrice des suites à valeur dans $ℝ$ .

$□$

Propriété 2.2. Soit $n \in ℕ$ un entier naturel. Soit $I$ un ensemble et ${(u_{i})}_{i \in I}$ une famille d’éléments de $𝕂^{n}$ telle qu’il existe un indice $i_{0} \in I$ tel que pour tout indice $i \in I$ , la coordonnée $i_{0}$ de $u_{i}$ soit égale à 0. Alors la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ n’est pas génératrice.

Preuve Soit $n \in ℕ$ un entier naturel. Soit $I$ un ensemble et ${(u_{i})}_{i \in I}$ une famille d’éléments de $𝕂^{n}$ telle qu’il existe un indice $i_{0} \in I$ tel que pour tout indice $i \in I$ , la coordonnée $i_{0}$ de $u_{i}$ soit égale à 0.
Soit $δ^{i_{0}} \in 𝕂^{n}$ , le vecteur dont toutes les coordonnées sont égales à $0$ , sauf la $i$ -ième coordonnée qui vaut $1$ . Soit $J \subseteq I$ un sous-ensemble ﬁni de $I$ et ${(λ_{j})}_{j \in J} \in 𝕂^{J}$ une famille de scalaires indexée par $J$ . On suppose par l’absurde que $δ^{i_{0}} = \sum_{j \in J} λ_{j} \dot{∙} u_{j}$ . Sur la $i$ -ième coordonnée, on aurait : $1 = 0$ , ce qui est absurde.
Donc la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ n’est pas une famille génératrice.

$□$

Propriété 2.3. Soit $m, n \in ℕ$ deux entiers naturels. Soit ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq m}$ une famille de $m$ éléments de $𝕂^{n}$ . On suppose qu’il existe un indice $i_{0}$ tel que $1 \leq i_{0} \leq min (m - 1, n)$ , et tel que pour tout $i$ entre $1$ et $i_{0}$ , la $j$ -ième coordonnée du vecteur $u_{i}$ vaut $1$ si $i = j$ et $0$ sinon, et tel que pour tout $i > i_{0}$ la $i_{0} + 1$ -ième coordonnée du vecteur $u_{i}$ vaut $0$ . Alors la famille ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq m}$ n’est pas génératrice.

Preuve Soit $m, n \in ℕ$ deux entiers naturels. Soit ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq m}$ une famille de $m$ éléments de $𝕂^{n}$ . Soit $i_{0}$ un indice tel que $1 \leq i_{0} \leq min (m - 1, n)$ , et tel que pour tout $i$ entre $1$ et $i_{0}$ , la $j$ -ième coordonnée du vecteur $u_{i}$ vaut $1$ si $i = j$ et $0$ sinon, et tel que pour tout $i > i_{0}$ la $i_{0} + 1$ -ième coordonnée du vecteur $u_{i}$ vaut $0$ . On note $u_{i, j}$ la valeur de la $j$ -ième coordonnée du vecteur $u_{i}$ Posons ${(v_{j})}_{1 \leq j \leq n} \in 𝕂^{n}$ le vecteur déﬁni par :

\{\begin{matrix} v_{j} = 1 & si j \neq i_{0} \\ v_{j} = 1 + \sum_{k = 1}^{i_{0}} u_{k, i_{0}} & si j = i_{0} \end{matrix}

On suppose par l’absurde qu’il existe ${(λ_{i})}_{1 \leq i \leq m} \in 𝕂^{m}$ une famille de $m$ scalaires tels que $\sum_{1 \leq i \leq m} λ_{i} \dot{\cdot} u_{i} = {(v_{j})}_{1 \leq j \leq n}$ . Pour $j < i_{0}$ , on aurait, sur la $j$ -ième coordonnée, $v_{j} = λ_{j}$ , puis $λ_{j} = 1$ . Mais, sur la $i_{0}$ -ième coordonnée, on aurait $v_{i_{0}} = \sum_{k = 1}^{i_{0}} λ_{k} \cdot u_{k, i_{0}}$ , puis $1 + \sum_{k = 1}^{i_{0}} u_{k, i_{0}} = \sum_{k = 1}^{i_{0}} λ_{k} \cdot u_{k, i_{0}}$ , et $1 = 0$ (ce qui est absurde).
Donc la famille ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq m}$ n’est pas génératrice.

$□$

Exemple 2.6. D’après la propriété 2.3, la famille :

(\begin{matrix} (1, 0, 0, 3) \\ (0, 1, 0, 2) \\ (0, 0, 1, 2) \\ (0, 0, 0, 0) \end{matrix})

n’est pas une famille génératrice de $(ℝ^{4}, \dot{+}, \dot{\cdot})$ .

Exemple 2.7. Soit $n \in ℕ$ un entier naturel. Soit $(𝕂^{n}, \dot{+}, \dot{\cdot})$ . l’espace vectoriel des n-uplets de scalaires, muni de l’addition et la multiplication coordonnée par coordonnée. La famille ${(δ^{k})}_{1 \leq k \leq n}$ de vecteurs telle que $δ_{k}$ a toutes ses coordonnées égales à $0$ , sauf la $k$ -ième coordonnée qui vaut $1$ est génératrice.

Preuve Soit ${(x_{i})}_{1 \leq i \leq n} \in 𝕂^{n}$ .
Posons $y = \sum_{1 \leq k \leq n} x_{k} \dot{\cdot} δ^{k}$ .
Soit $j$ un entier tel que $1 \leq j \leq n$ ,
la $j$ -ième coordonnée de ${(x_{i})}_{1 \leq i \leq n}$ vaut $x_{j}$ .
la $j$ -ième coordonnée de $y$ vaut $\sum_{1 \leq k \leq n} x_{k} \cdot δ_{j}^{k}$ , puis la $j$ -ième coordonnée de $y$ vaut $x_{j}$ .
Ainsi ${(x_{i})}_{i \in I} = \sum_{1 \leq k \leq n} x_{k} \dot{\cdot} δ^{k}$ . Donc ${(δ^{k})}_{1 \leq k \leq n}$ est une famille génératrice de $𝕂^{n}$ .

$□$

Propriété 2.4. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $J$ un sous ensemble de $I$ . Alors, si la famille ${(u_{j})}_{j \in J}$ est génératrice de $E$ , alors la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est génératrice de $E$ .

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $J$ un sous ensemble de $I$ . Alors, si la famille ${(u_{j})}_{j \in J}$ est génératrice de $E$ .

Soit $x \in E$ , Soit $K \subseteq J$ un ensemble ﬁni d’indices, et ${(λ_{k})}_{k \in K} \in E^{K}$ , une famille de scalaires indexée par $K$ telle que : $x = \sum_{k \in K} λ_{k} ∙ u_{k}$ . On a : $J \subseteq I$ , donc $K$ est un sous ensemble ﬁni de $I$ et $x = \sum_{k \in K} λ_{k} ∙ u_{k}$ . Ainsi ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice de $(E, +, ∙)$ .

$□$

Propriété 2.5. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $σ$ une bijection de $I$ dans $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i} \overset{Δ}{=} u_{σ (i)} \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est génératrice si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est génératrice.

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $σ$ une bijection de $I$ dans $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i} \overset{Δ}{=} u_{σ (i)} . \end{matrix}

( $\Rightarrow$ ) On suppose que la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice.
Soit $x \in E$ .
Soit $J \subseteq I$ et ${(λ_{j})}_{j \in J} \in 𝕂^{J}$ une famille de scalaires indexée par $J$ telle que $x = \sum_{j \in J} λ_{j} ∙ u_{j}$ .
On a donc : $x = \sum_{j \in J} λ_{σ (σ^{- 1} (j))} ∙ u_{σ (σ^{- 1} (j))}$ .
Puis : $x = \sum_{j \in J} λ_{σ (σ^{- 1} (j))} ∙ v_{σ^{- 1} (j)}$ .
Enﬁn : $x = \sum_{j^{'} \in {k \in I | σ (k) \in J}} λ_{σ (k)} ∙ v_{k}$ .
Or ${k \in I | σ (k) \in J}$ est un sous-ensemble ﬁni de $I$ , puis ${(v_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice de $(E, +, ∙)$ .
( $\Leftarrow$ ) On suppose que la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice. Alors la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ l’est également, en appliquant le point précédent en remplaçant ${(u_{i})}_{i \in I}$ par ${(v_{i})}_{i \in I}$ , et réciproquement et $σ$ par $σ^{- 1}$ .

□

Propriété 2.6. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $λ \in 𝕂$ tel que $λ \neq 0$ et $i_{0} \in I$ un élément de $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i_{0}} \overset{Δ}{=} λ ∙ u_{i_{0}} \\ v_{i} \overset{Δ}{=} u_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est génératrice si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est génératrice.

\{\begin{matrix} v_{i_{0}} \overset{Δ}{=} λ ∙ u_{i_{0}} \\ v_{i} \overset{Δ}{=} u_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} \end{matrix}

( $\Rightarrow$ ) On suppose que la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice de $(E, +, ∙)$ .
Soit $x \in E$ ,
Comme ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice, il existe un sous-ensemble $J \subseteq I$ ﬁni de $I$ et une famille de scalaires ${(μ_{j})}_{j \in J} \in 𝕂^{J}$ indexée par $J$ de sorte que : $x = \sum_{j \in J} μ_{j} ∙ u_{j}$ .
Or, pour $i \in I$ , on a : $u_{i} = \frac{1}{1 + (λ - 1) \times δ_{i}^{i_{0}}} ∙ v_{i}$ .
D’où $x = \sum_{j \in J} \frac{μ_{j}}{1 + (λ - 1) \times δ_{i}^{i_{0}}} ∙ v_{i}$ .
Puis $(v_{i})$ est une famille génératrice.
( $\Leftarrow$ ) On suppose que la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice de $(E, +, ∙)$ .
On a pour $i \in I$ , comme $λ \neq 0$ :
$\{\begin{matrix} u_{i} = \frac{1}{λ} ∙ v_{i} & si i = i_{0} \\ u_{i} = v_{i} & sinon; \end{matrix}$

Or $\frac{1}{λ} \neq 0$ , par le point précédent, la famille $(u_{i})$ est une famille génératrice de $(E, +, ∙)$ .

□

Propriété 2.7. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soient $i_{0} \in I$ et $j_{0} \in I$ deux éléments de $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i_{0}} \overset{Δ}{=} u_{i_{0}} + u_{j_{0}} \\ v_{i} \overset{Δ}{=} u_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est génératrice si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est génératrice.

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soient $i_{0} \in I$ et $j_{0} \in I$ deux éléments de $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i_{0}} \overset{Δ}{=} u_{i_{0}} + u_{j_{0}} \\ v_{i} \overset{Δ}{=} u_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} . \end{matrix}

si $i_{0} = j_{0}$ , alors $v_{i_{0}} = 2 ∙ u_{i_{0}}$ , puis d’après la propriété 2.6, ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice si et seuelement si ${(v_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice.
si i0≠j0 :
1. $(\Rightarrow)$ On suppose que la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice de $(E, +, ∙)$ .
  Soit $x \in E$ un vecteur de $E$ .
  Soit $J \subseteq I$ un sous ensemble ﬁni de $I$ et ${(μ_{j})}_{j \in J} \in 𝕂^{J}$ une famille de scalaires indexée par $J$ et telle que $x = \sum_{j \in J} μ_{j} ∙ u_{j}$ .
  On a, pour $i \in I$ , $v_{i} = u_{i} + δ_{i}^{i_{0}} ∙ u_{j_{0}}$ .
  Puis comme $i_{0} \neq j_{0}$ , $v_{j_{0}} = u_{i_{0}}$ et, pour $i \in I$ , $v_{i} = u_{i} + δ_{i}^{i_{0}} ∙ v_{j_{0}}$ .
  Ainsi, pour $i \in I$ , $u_{i} = v_{i} - δ_{i}^{i_{0}} ∙ u_{j_{0}}$ .
  D’où, $x = \sum_{j \in J} μ_{j} ∙ (v_{i} - δ_{i}^{i_{0}} ∙ u_{j_{0}})$ . Et, $x = \sum_{j \in J} (μ_{j} - δ_{i}^{j_{0}} \times μ_{i_{0}}) ∙ v_{i}$ .
  Donc la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice de $(E, +, ∙)$ .
2. $(\Leftarrow)$ On suppose que la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice de $(E, +, ∙)$ .
  Soit $x \in E$ un vecteur de $E$ .
  Soit $J \subseteq I$ un sous ensemble ﬁni de $I$ et ${(μ_{j})}_{j \in J} \in 𝕂^{J}$ une famille de scalaires indexée par $J$ et telle que $x = \sum_{j \in J} μ_{j} ∙ v_{j}$ .
  On a donc, $x = \sum_{j \in J} μ_{j} ∙ (u_{j} + δ_{i}^{i_{0}} ∙ u_{j_{0}})$ . Puis, $x = \sum_{j \in J} (μ_{j} + δ_{i}^{j_{0}} μ_{i_{0}}) ∙ u_{i}$ . Puis ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice de $(E, +, ∙)$ .

□

Propriété 2.8. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $λ \in 𝕂$ . Soient $i_{0} \in I$ et $j_{0} \in I$ deux éléments de $I$ tels que $i_{0} \neq j_{0}$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i_{0}} = u_{i_{0}} + λ ∙ u_{j_{0}} \\ v_{i} = u_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est génératrice si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est génératrice.

Preuve On déﬁnit la famille ${(w_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁne par :

\{\begin{matrix} w_{j_{0}} \overset{Δ}{=} λ ∙ u_{j_{0}} \\ w_{i} \overset{Δ}{=} u_{i} & pour i \in I ∖ {j_{0}} \end{matrix}

Puis, la famille ${(w_{i}^{'})}_{i \in I} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} w_{i_{0}}^{'} \overset{Δ}{=} w_{i_{0}} + w_{j_{0}} \\ w_{i}^{'} \overset{Δ}{=} w_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} \end{matrix}

Et, la famille ${(w_{i}^{'})}_{i \in I} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} w_{j_{0}}^{″} \overset{Δ}{=} \frac{1}{λ} ∙ w_{j_{0}}^{'} \\ w_{i}^{″} \overset{Δ}{=} w_{i}^{'} & pour i \in I ∖ {j_{0}} \end{matrix}

puis la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est génératrice de $(E, +, ∙)$ ,
si et seulement si, par la propriété 2.6, la famille ${(w_{i})}_{i \in I}$ est génératrice de $(E, +, ∙)$ ,
si et seulement si, par la propriété 2.7, la famille ${(w_{i}^{'})}_{i \in I}$ est génératrice de $(E, +, ∙)$ ,
si et seulement si, par la propriété 2.6, la famille ${(w ”_{i})}_{i \in I}$ est génératrice de $(E, +, ∙)$ .

Or, pour $i \in I$ on a :

$\begin{matrix} w_{i_{0}}^{″} = w_{i_{0}}^{'} & (car i_{0} \neq j_{0}) \\ w_{i_{0}}^{″} = w_{i_{0}} + w_{j_{0}} \\ w_{i_{0}}^{″} = u_{i_{0}} + λ ∙ u_{j_{0}} & (car i_{0} \neq j_{0}) \\ w_{i_{0}}^{″} = v_{i_{0}} \end{matrix}$

\begin{matrix} w_{j_{0}}^{″} = \frac{1}{λ} \cdot w_{j_{0}}^{'} \\ w_{j_{0}}^{″} = \frac{1}{λ} \cdot w_{j_{0}}^{'} & (car j_{0} \neq i_{0}) \\ w_{j_{0}}^{″} = \frac{1}{λ} \cdot (λ ∙ u_{j_{0}}) \\ w_{j_{0}}^{″} = u_{j_{0}} \\ w_{j_{0}}^{″} = v_{j_{0}} & (car j_{0} \neq i_{0}) \end{matrix}

et pour $i \in I ∖ {i_{0}, j_{0}}$ :
$\begin{matrix} w_{i}^{″} = w_{i}^{'} & (car i \neq j_{0}) \\ w_{i}^{″} = w_{i} & (car i \neq i_{0}) \\ w_{i}^{″} = u_{i} & (car i \neq j_{0}) \\ w_{i}^{″} = v_{i} & (car i \neq i_{0}) \end{matrix}$

Ainsi ${(u_{i})}_{i \in I}$ est génératrice de $(E, +, ∙)$ si et seulement si ${(v_{i})}_{i \in I}$ est génératrice de $(E, +, ∙)$ .

□

Algorithme 2.1. Soient $m$ et $n$ deux entiers positifs dans $ℕ$ . Soit ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq n} \in {(𝕂^{n})}^{m}$ une famille de $m$ vecteurs de $𝕂^{n}$ . On note $u_{i, j}$ la $j$ -ième coordonnée du $i$ -ième vecteur de la famille ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq m}$ . L’algorithme suivant permet de décider si ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq m}$ est génératrice, ou non.
Prendre $p \leftarrow 0$ .

si $p = n$ alors la famille est génératrice.
si $p < n$ et si pour tout $k$ tel que $p < k \leq m$ , on a : $u_{k, p + 1} = 0$ alors la famille n’est pas génératrice.
sinon, prendre $k$ le plus petit entier strictement supérieur à $p$ tel que $u_{k, p + 1} \neq 0$ .
Multiplier le vecteur $u_{k}$ par l’inverse de $u_{k, p + 1}$ .
Soustraire à chaque vecteur $u_{k^{'}}$ pour $k^{'} \neq k$ le vecteur $u_{k}$ multiplié par $u_{k, p + 1}$ .
Permuter le vecteur $u_{p + 1}$ et $u_{k}$ .
Prendre $p \leftarrow p + 1$ .
Retourner à l’étape 1.

Preuve À l’étape 1, on peut montrer par récurrence que pour tout $k$ et tout $l$ tels que $1 \leq k \leq p$ , $1 \leq l \leq p$ , $u_{k, l} = 0$ si $k \neq l$ , et $u_{k, l} = 1$ si $k = l$ . De plus, les transformations eﬀectuées sur la famille de vecteur ne modiﬁent pas le fait d’être une famille génératrice, ou non (d’après la propriété 2.6 pour l’étape $4$ , d’après la propriété 2.7 pour l’étape $5$ , d’après la propriété 2.5 pour l’étape $6$ ). Ainsi, si à l’étape 1, $p = n$ , la famille est celle de l’exemple 2.7, elle est donc génératrice. Par contre, si le test de l’étape (2) échoue, la famille ne peut pas être génératrice soit par la propriété 2.2, soit par la propriété 2.3.

$□$

Exemple 2.8. On peut utiliser l’algorithme 2.1 pour montrer que la famille $((1, 1, 0), (- 1, 1, 0), (1, 1, 1))$ est une famille génératrice.

Preuve La famille $(\begin{matrix} (1, 1, 0) \\ (- 1, 1, 0) \\ (1, 1, 1) \end{matrix})$ est une famille génératrice
si et seulement si la famille $(\begin{matrix} (1, 1, 0) \\ (0, 2, 0) \\ (0, 0, 1) \end{matrix})$ est une famille génératrice (en utilisant les transformations $L_{2} \leftarrow L_{2} + L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ )
si et seulement si la famille $(\begin{matrix} (1, 1, 0) \\ (0, 1, 0) \\ (0, 0, 1) \end{matrix})$ est une famille génératrice (en utilisant la transformation $L_{2} \leftarrow L_{2} ∕ 2$ )
si et seulement si la famille $(\begin{matrix} (1, 0, 0) \\ (0, 1, 0) \\ (0, 0, 1) \end{matrix})$ est une famille génératrice (en utilisant la transformation $L_{1} \leftarrow L_{1} - L_{2}$ )
Or cette dernière famille est génératrice car elle satisfait la propriété 2.2.
Donc la famille $((1, 1, 0), (- 1, 1, 0), (1, 1, 1))$ est une famille génératrice.

$□$

Exemple 2.9. On peut utiliser l’algorithme 2.1 pour montrer que la famille $((1, 1, 1), (- 1, 1, - 1), (2, 0, 2))$ n’est pas génératrice.

Preuve La famille $(\begin{matrix} (1, 1, 1) \\ (- 1, 1, - 1) \\ (2, 0, 2) \end{matrix})$ est une famille génératrice
si et seulement si la famille $(\begin{matrix} (1, 1, 1) \\ (0, 2, 0) \\ (0, - 2, 0) \end{matrix})$ est une famille génératrice (en utilisant les transformations $L_{2} \leftarrow L_{2} + L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 \cdot L_{1}$ )
si et seulement si la famille $(\begin{matrix} (1, 1, 1) \\ (0, 1, 0) \\ (0, - 2, 0) \end{matrix})$ est une famille génératrice (en utilisant la transformation $L_{2} \leftarrow L_{2} ∕ 2$ )
si et seulement si la famille $(\begin{matrix} (1, 0, 1) \\ (0, 1, 0) \\ (0, 0, 0) \end{matrix})$ est une famille génératrice (en utilisant la transformation $L_{1} \leftarrow L_{1} - L_{2}$ )
Or cette dernière famille n’est pas génératrice car pour tout $(x, y, z) \in Vect ((1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 0))$ , on a $x = z$ . Puis $(0, 0, 1) \notin Vect ((1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 0))$ .
Donc la famille $((1, 1, 1), (- 1, 1, - 1), (2, 0, 2))$ n’est pas une famille génératrice.

$□$

3 Bases et dimensions

Déﬁnition 3.1. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. On appelle base de $E$ toute famille d’éléments de $E$ qui est à la fois libre et génératrice de $E$ .

Théorème 3.1. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble et ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par I, tel que ${(u_{i})}_{i \in I}$ soit une base de $E$ .
Alors pour tout vecteur $u \in E$ , il existe un unique sous-ensemble $J \subseteq I$ et une unique famille ${(λ_{j})}_{j \in J}$ de scalaires non nuls tel que :

u = \sum_{j \in J} λ_{j} ∙ u_{j} .

Ainsi tout vecteur admet une décomposition unique dans une base.

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble et ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par I, tel que ${(u_{i})}_{i \in I}$ soit une base de $E$ .
Soit $u \in E$ .

La famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est génératrice. Il existe donc un sous-ensemble ﬁni $J \subseteq I$ et une famille ${(λ_{j})}_{j \in J} \in 𝕂^{J}$ de scalaires dans $𝕂$ tel que $u = \sum_{j \in J} λ_{j} ∙ u_{j}$ .
Soient $J^{'}$ un sous-ensemble de $I$ , et ${(λ_{j^{'}}^{'})}_{j^{'} \in J^{'}} \in 𝕂^{J^{'}}$ une famille de scalaires non nuls telle que : $u = \sum_{j^{'} \in J^{'}} λ_{j^{'}} ∙ u_{j^{'}}$ . On déﬁnit, pour $j^{'} \in J ∖ J^{'}$ , $λ_{j^{'}}^{'} = 0$ et pour $j \in J^{'} ∖ J$ , $λ_{j} = 0$ . On a donc : $u = \sum_{j \in J \cup J^{'}} λ_{j} ∙ u_{j}$ et $u = \sum_{j \in J \cup J^{'}} λ_{j}^{'} ∙ u_{j}$ . Puis $\sum_{j \in J \cup J^{'}} λ_{j} ∙ u_{j} = \sum_{j \in J \cup J^{'}} λ_{j}^{'} ∙ u_{j}$ . D’où : $\sum_{j \in J \cup J^{'}} (λ_{j} - λ_{j}^{'}) ∙ u_{j}$ . Or $J \cup J^{'}$ est un ensemble ﬁni, et la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre. Donc pour tout $j \in J \cup J^{'}$ , $λ_{j} - λ_{j}^{'} = 0$ . Puis pour tout $j \in J \cup J^{'}$ , $λ_{j} = λ_{j}^{'}$ . On en déduit que $J = J^{'}$ , et pour tout $j \in J$ , $λ_{j} = λ_{j^{'}}$ .

□

Exemple 3.1. Tout élément non nul de $𝕂$ est une base du $𝕂$ -espace vectoriel $(𝕂, +, ∙)$ .

Preuve Soit $λ \in 𝕂 ∖ {0}$ . Nous savons que $(λ)$ est une famille libre du $𝕂$ -espace vectoriel $(𝕂, +, ∙)$ . D’après l’exemple 2.1, $(λ)$ est une famille génératrice du $𝕂$ -espace vectoriel $(𝕂, +, ∙)$ . Ainsi, $(λ)$ est une base du $𝕂$ -espace vectoriel $(𝕂, +, ∙)$ .

$□$

Exemple 3.2. Soit $n \in ℕ$ un entier naturel. Soit ${(δ_{i})}_{1 \leq i \leq n} \in {(𝕂^{n})}^{n}$ la famille de $n$ vecteurs de $𝕂^{n}$ telle que la $j$ -ième coordonnée du $i$ -ième vecteur soit égale à $0$ si $i \neq j$ et à $1$ sinon. Alors ${(δ_{i})}_{1 \leq i \leq n} \in {(𝕂^{n})}^{n}$ est une base de $(𝕂^{n}, \dot{+}, \dot{\cdot})$ (on dit que c’est la base canonique de $𝕂^{n}$ ).

Preuve Soit $n \in ℕ$ un entier naturel. Soit ${(δ_{i})}_{1 \leq i \leq n} \in {(𝕂^{n})}^{n}$ la famille de $n$ vecteurs de $𝕂^{n}$ telle que la $j$ -ième coordonnée du $i$ -ième vecteur soit égale à $0$ si $i \neq j$ et à $1$ sinon. Nous savons que la famille ${(δ_{i})}_{1 \leq i \leq n}$ est libre dans $(𝕂^{n}, \dot{+}, \dot{\cdot})$ . De plus, d’après l’exemple 2.7, la famille ${(δ_{i})}_{1 \leq i \leq n}$ est génératrice de $(𝕂^{n}, \dot{+}, \dot{\cdot})$ . Par la déﬁntion 3.1, c’est donc une base de $(𝕂^{n}, \dot{+}, \dot{\cdot})$ .

$□$

Exemple 3.3. Soit $n$ un entier et $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble et ${(b_{i})}_{i \in I}$ une base de $E$ . La famille ${(e_{i, j})}_{i \in I, 1 \leq j \leq n}$ déﬁnie par $e_{i, j}$ est un vecteur de $n$ composantes dont la $k$ -ième composante est égale $b_{i}$ si $j = k$ ou $0_{E}$ sinon, est une base de $(E^{n}, \dot{+}, \dot{∙})$ .

Preuve Soit $n$ un entier et $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble et ${(b_{i})}_{i \in I}$ une base de $E$ . La famille ${(e_{i, j})}_{i \in I, 1 \leq j \leq n}$ déﬁnie par $e_{i, j}$ est un vecteur de $n$ composantes dont la $k$ -ième composante est égale $b_{i}$ si $j = k$ ou $0_{E}$ sinon.

famille libre :
Soit $K$ un sous-ensemble ﬁni de $I \times {k \in 𝕂 | 1 \leq k \leq n}$ et soit ${(λ_{k})}_{k \in K} \in 𝕂^{K}$ une famille de scalaires indexée par $K$ tel que : $\sum_{(i, j) \in K} λ_{i, j} \dot{\cdot} e_{i, j} = 0_{E^{n}}$ .
Soit $k$ un entier entre $1$ et $n$ , on a, sur la $k$ -ième composante, $\sum_{(i, j) \in K} λ_{i, j} \cdot δ_{j}^{k} \cdot b_{i} = 0_{E}$ ; puis $\sum_{i \in I, (i, k) \in K} λ_{i, k} \cdot b_{i} = 0_{E}$ ; or l’ensemble ${i \in I | (i, k) \in K}$ est un sous-ensemble ﬁni de $I$ et la famille ${(b_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ est libre (car c’est une base), donc pour $i^{'} \in {i \in I | (i, k) \in K}$ , $λ_{i, k} = 0$ .
Ainsi, pour $(i, j) \in K$ , on a : $λ_{i, j} = 0$ .
Puis la famille ${(e_{i, j})}_{i \in I, 1 \leq j \leq n}$ est une famille libre de $(E^{n}, \dot{+}, \dot{∙})$ .
famille génératrice :
Soit ${(x_{j})}_{1 \leq j \leq n} \in E^{n}$ .
Soit $k \in ℕ$ tel que $1 \leq k \leq n$ .
On sait que ${(b_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice.
Il existe donc un sous-ensemble ﬁni $K_{k} \subseteq I$ et une famille de scalaires ${(λ_{i, k})}_{i \in K_{k}}$ telle que $x_{k} = \sum_{i \in K_{k}} λ_{i, k} \cdot b_{i}$ .
On considère le vecteur $x^{'}$ de $E^{n}$ déﬁni par : $x^{'} \overset{Δ}{=} \sum_{1 \leq j \leq n, i \in K_{j}} λ_{i, j} \dot{\cdot} e_{i, j}$ .
L’ensemble ${(i, j) | 1 \leq j \leq n, i \in K_{j}}$ est un sous-ensemble ﬁni de $I \times J$ .
De plus, pour tout entier $k \in ℕ$ tel que $1 \leq k \leq n$ , la $k$ -ième coordonnée $x_{k}^{'}$ de $x^{'}$ vaut $\sum_{1 \leq j \leq n, i \in K_{j}} λ_{i, j} \dot{\cdot} δ_{k}^{j} \cdot b_{i}$ . On a donc : $x_{k}^{'} = \sum_{i \in K_{k}} λ_{i, k} \cdot b_{i}$ . Puis $x_{k}^{'} = x_{k}$ .
Ainsi ${(x_{j}^{'})}_{1 \leq j \leq n} = {(x_{j})}_{1 \leq j \leq n}$ .
Donc ${(e_{i, j})}_{i \in I, 1 \leq j \leq n}$ est une famille génératrice.

Puis ${(e_{i, j})}_{i \in I, 1 \leq j \leq n}$ est une base de $(E^{n}, \dot{+}, \dot{∙})$ .

$□$

Exemple 3.4. Soit $A$ un ensemble ﬁni et $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble et ${(b_{i})}_{i \in I}$ une base de $E$ . La famille ${(f_{i, j})}_{i \in I, j \in A}$ déﬁnie par $f_{i, j} (a) = b_{i}$ si $a = j$ , et $f_{i, j} (a) = 0_{E}$ sinon, est une base de $(ℱ (A, E), \dot{+}, \dot{∙})$ .

Preuve Soit $A$ un ensemble ﬁni et $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble et ${(b_{i})}_{i \in I}$ une base de $E$ . La famille ${(f_{i, j})}_{i \in I, j \in A}$ déﬁnie par $f_{i, j} (a) = b_{i}$ si $a = j$ , et $f_{i, j} (a) = 0_{E}$ sinon, est une base de $(ℱ (A, E), \dot{+}, \dot{∙})$ .

famille libre :
Soit

K

un sous-ensemble ﬁni de

I \times A

et soit

{(λ_{k})}_{k \in K} \in 𝕂^{K}

une famille de scalaires indexée par

K

tel que :

\sum_{(i, j) \in K} λ_{i, j} \dot{\cdot} f_{i, j} = 0_{ℱ (A, E)}

.
Soit

a \in A

, on a :

\begin{matrix} 0 = (0_{ℱ} (A, E)) (a) \\ 0 = (\sum_{(i, j) \in K} λ_{i, j} \dot{\cdot} f_{i, j}) (a) \\ 0 = \sum_{(i, j) \in K} λ_{i, j} \cdot f_{i, j} (a) \\ 0 = \sum_{(i, j) \in K} λ_{i, j} \cdot δ_{a}^{j} \cdot b_{i} \\ 0 = \sum_{i \in I, (i, a) \in K} λ_{i, a} \cdot b_{i} . \end{matrix}

Or la famille ${(b_{i})}_{i \in I}$ est une famille libre (car c’est une base).
Donc pour $i \in I$ tel que $(i, a) \in K$ , on a : $λ_{i, a} = 0$ .
Puis pour tout $(i, j) \in K$ , $λ_{i, j} = 0$ .
Puis la famille ${(f_{i, j})}_{i \in I, j \in A}$ est une famille libre de $(ℱ [A, E), \dot{+}, \dot{∙})$ .

famille génératrice :
Soit $g \in ℱ (A, E)$ .
Soit $a \in A$ .
On sait que ${(b_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice de $(E, +, ∙)$ . .
Il existe donc un sous-ensemble ﬁni $K_{a} \subseteq I$ et une famille de scalaires ${(λ_{i, a})}_{i \in K_{a}}$ telle que $g (a) = \sum_{i \in K_{a}} λ_{i, a} \cdot b_{i}$ .
On considère la fonction $g^{'} \in ℱ (A, E)$ déﬁnie par : $g^{'} \overset{Δ}{=} \sum_{a \in A, i \in K_{a}} λ_{i, a} \dot{\cdot} f_{i, a}$ .
L’ensemble ${(i, a) | a \in A, i \in K_{a}}$ est un sous-ensemble ﬁni de $I \times J$ .
De plus, pour tout élément $a \in A$ , $g^{'} (a)$ vaut $\sum_{a^{'} \in A, i \in K_{a}} λ_{i, a^{'}} \dot{\cdot} δ_{a^{'}}^{a} \cdot b_{a^{'}}$ . On a donc : $g^{'} (a) = \sum_{i \in K_{a}} λ_{i, a} \cdot b_{i}$ . Puis $g^{'} (a) = g (a)$ .
Ainsi $g^{'} = g$ .
Donc ${(f_{i, j})}_{i \in I, j \in A}$ est une famille génératrice.

Puis ${(f_{i, j})}_{i \in I, j \in A}$ est une base de $(ℱ (A, E), \dot{+}, \dot{∙})$

$□$

Exemple 3.5. La famille des suites ${(δ^{k})}_{k \in ℕ} \in {(𝕂^{ℕ})}^{ℕ}$ est une base du $𝕂$ -espace vectoriel des suites qui stationnent en $0$ .

Preuve

famille libre : Soit $I \subseteq ℕ$ un ensemble ﬁni d’entiers.
Soit ${(λ_{i})}_{i \in I} \in 𝕂^{I}$ une famille de scalaires indexée par $I$ et telle que : $\sum_{i \in I} λ_{i} \dot{∙} δ^{i} = {(0)}_{i \in ℕ}$ . Soit $k \in I$ , on optient au rang $k$ , $\sum_{i \in I} λ_{i} ∙ δ_{k}^{i} = 0$ . Puis $λ_{k} = 0$ .
famille génératrice : Soit $(u_{n}) \in 𝕂^{n}$ une suite d’éléments de $𝕂$ qui stationne en $0$ .
Soit $n_{0} \in ℕ$ tel que pour tout $n > n_{0}$ , $u_{n} = 0$ .
On a donc, pour $n \in ℕ, u_{n} = \sum_{k = 0}^{n_{0}} u_{k} ∙ δ_{n}^{k}$ .
Puis ${(u_{n})}_{n \in ℕ} = \sum_{k = 0}^{n_{0}} u_{k} \dot{∙} δ^{k}$ .

Ainsi, ${(δ^{k})}_{k \in ℕ}$ est une base du $𝕂$ -espace vectoriel des suites à valeur dans $𝕂$ , qui stationnent en $0$ , pour la somme et le produit externe point à point.

$□$

Propriété 3.1. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Une famille d’éléments de $E$ est une base de $E$ si et seulement si c’est une famille libre maximale.

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble et ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ .

( $\Rightarrow$ ) On suppose que ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une base du $𝕂$ -espace vectoriel $(E, +, ∙)$ .
Par la déﬁnition 3.1, ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille libre.
Soit $J$ un ensemble tel que $I \subseteq J$ et ${(v_{j})}_{j \in J}$ une famille libre de $(E, +, ∙)$ telle que pour tout $i \in I$ , $u_{i} = v_{i}$ .
Supposons par l’absurde que $I \neq J$ .
Il existerait $j_{0} \in J ∖ I$ .
Or, par la déﬁnition 3.1, ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice de $(E, +, ∙)$ .
Puis, il existerait un sous-ensemble ﬁni $J^{'}$ de $I$ et une famille de scalaires ${(λ_{j^{'}})}_{j^{'} \in J^{'}} \in E^{J^{'}}$ tels que $v_{j_{0}} = \sum_{j^{'} \in J^{'}} λ_{j^{'}} ∙ u_{j^{'}}$ .
Puis, $v_{j_{0}} = \sum_{j^{'} \in J^{'}} λ_{j^{'}} ∙ v_{j^{'}}$ . Ce qui est absurde car ${(v_{j})}_{j \in J}$ est libre et $j_{0} \notin J^{'}$ .
Donc $J = I$ , et ${(u_{i})}_{i \in I}$ est bien une famille libre maximale.
( ⇐) On suppose que (ui)i∈I est une famille libre maximale de (E,+,∙).
Par l’absurde, soit u ∈ E un vecteur tel que u∉Vect(ui|i ∈ I).
Soit I′ un ensemble tel que I′ = I ⊎{i0} (où i0 est un indice qui n’est pas dans I).
On pose ui0=Δu. Montrons que la famille (ui′)i′∈I′ serait une famille libre.
Soit J un sous-ensemble ﬁni de I′ et (λj)j∈J ∈ 𝕂J une famille de scalaires, tel que : ∑ j∈Jλj ∙ uj = 0E.
1. Si $i_{0} \in J$ et $λ_{i_{0}} \neq 0$ . Alors $u_{i_{0}} = \sum_{j \in J ∖ {i_{0}}} \frac{λ_{j}}{λ_{i_{0}}} ∙ u_{j}$ . Ce qui est absurde car $u_{i_{0}} \notin Vect ({) u_{i} | i \in I}$ .
2. Sinon. On a $\sum_{j \in J ∖ {i_{0}}} λ_{j} ∙ u_{j} = 0_{E}$ . Puis, comme la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre, pour tout $j \in J$ , $λ_{j} = 0$ . Donc la famille ${(u_{i^{'}})}_{i^{'} \in I^{'}}$ est libre.
Donc la famille ${(u_{i^{'}})}_{i^{'} \in I^{'}}$ est libre, ce qui est absurde car la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est maximale pour cette propriété.

□

Propriété 3.2. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Une famille d’éléments de $E$ est une base de $E$ si et seulement si c’est une famille génératrice minimale.

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble et ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille de vecteurs de $E$ indexée par $I$ .

( $\Rightarrow$ ) On suppose que la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une base de $(E, +, ∙)$ .
Par la déﬁnition 3.1, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice.
On suppose par l’absurde que cette famille n’est pas minimale.
Il existerait donc $J \subset I$ tel que ${(u_{j})}_{j \in J}$ soit une famille génratrice de $E$ .
Soit $i \in I ∖ J$ .
Comme la famille ${(u_{j})}_{j \in J}$ est une famille génératrice, il existerait un ensemble ﬁni $K \subseteq J$ et une famille de scalaires ${(λ_{k})}_{k \in K} \in 𝕂^{K}$ indexée par $K$ , tel que $u_{i} = \sum_{k \in K} λ_{k} ∙ u_{k}$ .
En posant $λ_{i} \overset{Δ}{=} (- 1)$ , on aurait : $\sum_{k \in K \cup {i}} λ_{k} ∙ u_{k} = 0_{E}$ .
Or l’ensemble $K \cup {i}$ est ﬁni, $K \cup {i} \subseteq I$ , et, par la déﬁnition 3.1, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre. Donc pour $k \in K \cup {i}$ , on aurait : $λ_{k} = 0$ . Ce qui est absurde, car, en particulier, $λ_{i} = - 1$ .
( $\Leftarrow$ ) On suppose que la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice minimale.
Montrons que la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille libre.
Soit $J$ un ensemble ﬁni d’indices et $(λ_{j}) \in 𝕂^{I}$ une famille de scalaires tels que $\sum_{j \in J} λ_{j} ∙ u_{j} = 0_{E}$ .
Par l’absurde, on suppose qu’il existe un indice $j_{0} \in I$ , tel que $λ_{j_{0}} \neq 0$ .
On aurait donc, $u_{j_{0}} = \sum_{j \in J ∖ {j_{0}}} \frac{λ_{j}}{λ_{j_{0}}} ∙ u_{j}$ .
On pourrait alors montrer que la famille ${(u_{j})}_{j \in J ∖ {j_{0}}}$ serait génératrice :
Soit $u \in E$ .
Comme ${(u_{i})}_{i \in I}$ est génératrice, il existe un ensemble ﬁni d’indices $K$ et une famille de scalaires ${(μ_{k})}_{k \in K} \in 𝕂^{J}$ indexée par $K$ tel que $u = \sum_{k \in K} μ_{k} ∙ u_{k}$ .
Pour $k \in K ∖ J$ , on pose $λ_{k} \overset{Δ}{=} 0$ .
Pour $j \in J ∖ K$ , on pose $μ_{j} \overset{Δ}{=} 0$ .
On aurait donc $u = \sum_{l \in (J \cup K) ∖ j_{0}} (μ_{j_{0}} \cdot λ_{l} + μ_{l}) ∙ u_{l}$ .
Donc la famille ${(u_{i})}_{i \in I ∖ {j_{0}}}$ serait une famille génératrice ce qui est absurde car ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice minimale.

□

Propriété 3.3. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $σ$ une bijection de $I$ dans $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i} = u_{σ (i)} \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une base de $E$ si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est une base de $E$ .

Preuve On procède par équivalence :
la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une base de $E$
$\Leftrightarrow$ la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre dans $E$ et génératrice de $E$ (d’après la déﬁnition 3.1)
$\Leftrightarrow$ la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est libre dans $E$ et génératrice de $E$ (d’après la propriété 2.5)
$\Leftrightarrow$ la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est une base de $E$ (d’après la déﬁnition 3.1).

$□$

Propriété 3.4. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $λ \in 𝕂$ tel que $λ \neq 0$ et $i_{0} \in I$ un élément de $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i_{0}} = λ ∙ u_{i_{0}} \\ v_{i} = u_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une base de $E$ si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est une base de $E$ .

Preuve On procède par équivalence :
la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une base de $E$
$\Leftrightarrow$ la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre dans $E$ et génératrice de $E$ (d’après la déﬁnition 3.1)
$\Leftrightarrow$ la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est libre dans $E$ et génératrice de $E$ (d’après la propriété 2.6)
$\Leftrightarrow$ la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est une base de $E$ (d’après la déﬁnition 3.1).

$□$

Propriété 3.5. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soient $i_{0} \in I$ et $j_{0} \in I$ deux éléments de $I$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i_{0}} = u_{i_{0}} + u_{j_{0}} \\ v_{i} = u_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est base de $E$ si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est une base de $E$ .

Preuve On procède par équivalence : la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une base de $E$
$\Leftrightarrow$ la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre dans $E$ et génératrice de $E$ (d’après la déﬁnition 3.1)
$\Leftrightarrow$ la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est libre dans $E$ et génératrice de $E$ (d’après la propriété 2.7)
$\Leftrightarrow$ la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est une base de $E$ (d’après la déﬁnition 3.1).

$□$

Propriété 3.6. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $I$ un ensemble. Si ${(u_{i})}_{i \in I} \in E^{I}$ une famille d’éléments de $E$ indexée par $I$ . Soit $λ \in 𝕂$ . Soient $i_{0} \in I$ et $j_{0} \in I$ deux éléments de $I$ tels que $i_{0} \neq j_{0}$ . Soit ${(v_{i})}_{i \in} \in E^{I}$ la famille d’éléments de $E$ déﬁnie par :

\{\begin{matrix} v_{i_{0}} = u_{i_{0}} + λ ∙ u_{j_{0}} \\ v_{i} = u_{i} & pour i \in I ∖ {i_{0}} \end{matrix}

Alors, la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une base si et seulement si la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est une base.

Preuve On procède par équivalence : la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une base de $E$
$\Leftrightarrow$ la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre dans $E$ et génératrice de $E$ (d’après la déﬁnition 3.1)
$\Leftrightarrow$ la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est libre dans $E$ et génératrice de $E$ (d’après la propriété 2.8)
$\Leftrightarrow$ la famille ${(v_{i})}_{i \in I}$ est une base de $E$ (d’après la déﬁnition 3.1).

$□$

Théorème 3.2. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $J$ un ensemble ﬁni. Soit $I$ un sous-ensemble de $J$ . Soit ${(u_{j})}_{j \in J}$ une famille d’élément de $E$ , tel que la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ soit une famille libre et la famille ${(u_{j})}_{j \in J}$ soit une famille génératrice de $E$ . Alors il existe un ensemble $K$ tel que $I \subseteq K \subseteq J$ et la famille ${(u_{k})}_{k \in K}$ est une base de $E$ .

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $J$ un ensemble ﬁni. Soit $I$ un sous-ensemble de $J$ . Soit ${(u_{j})}_{j \in J}$ une famille d’élément de $E$ , tel que la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ soit une famille libre et la famille ${(u_{j})}_{j \in J}$ soit une famille génératrice de $E$ .

On suppose que la famille ${(u_{j})}_{j \in J}$ n’est pas une base de $E$ . On considère l’ensemble de tous les ensembles $J^{'}$ tels que $I \subseteq J^{'} \subseteq J$ , et ${(u_{j^{'}})}_{j^{'} \in J^{'}}$ soit une famille génératrice. Cet ensemble possède un élément minimal $K$ pour l’inclusion.

Ainsi, la famille ${(u_{k})}_{k \in K}$ est libre dans $E$ .
Par l’absurde, supposons que ce ne soit pas le cas.
Il existerait donc une famille de scalaires ${(λ_{k})}_{k \in K} \in 𝕂^{K}$ non tous nuls telle que $\sum_{k \in K} λ_{k} ∙ u_{k} = 0_{E}$ .
Puis il existerait nécessairement un indice $k_{0} \in K ∖ I$ tel que $λ_{k_{0}} \neq 0$ (puisque ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre).
Prenons $k_{0} \in K ∖ I$ tel que $λ_{k_{0}} \neq 0$ .
On aurait donc $u_{k_{0}} = \sum_{k \in K ∖ {k_{0}}} \frac{λ_{k}}{λ_{k_{0}}} ∙ u_{k}$ .
Soit $u \in E$ .
Comme ${(u_{k})}_{k \in K}$ est une famille génératrice, il existerait une famille de scalaires ${(μ_{k})}_{k \in K}$ telle que $u = \sum_{k \in K} μ_{k} ∙ u_{k}$ .
Puis $u = \sum_{k \in K ∖ {k_{0}}} (μ_{k} + \frac{μ_{k_{0}} \times λ_{k}}{λ_{k_{0}}}) ∙ u_{k}$ .
Donc la famille ${(u_{k})}_{j \in K ∖ {k_{0}}}$ est une famille génératrice de $E$ . Ce qui est absurde (par minimalité de $K$ ).

$□$

Remarque 3.1. Le théorème 3.2 est aussi valable si la famille génératrice est inﬁni, si l’on suppose l’axiome du choix (Pour tout ensemble $A$ , il existe une fonction $h_{A} : ℘ (A) \to A$ , telle que pour toute partie $X \subseteq A$ , on ait : $h (X) \in X$ ).

Corollaire 3.1. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel qui admet une famille génératrice ﬁnie. Alors, toute famille libre ﬁnie de $(E, +, ∙)$ s’étend en une base.

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel qui admet une famille génératrice ﬁnie. Alors, soit $I$ un ensemble ﬁni et ${(u_{i})}_{i \in I}$ une famille libre. Soit $J$ un ensemble ﬁni tel que $I \cap J = \emptyset$ et ${(u_{j})}_{j \in J}$ une famille génératrice de $E$ . On a ${(u_{i})}_{i \in I \cup J}$ est une famille génératrice de $E$ et $I \subseteq I \cup J$ . De plus, l’ensemble $I \cup J$ est ﬁni. Donc il existe un ensemble $K$ tel que $I \subseteq K \subseteq J$ et ${(u_{k})}_{k \in K}$ soit une base de $E$ .

$□$

Corollaire 3.2. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Toute famille génératrice ﬁnie de $(E, +, ∙)$ contient une base.

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $J$ un ensemble ﬁni et ${(u_{j})}_{j \in J}$ une famille génératrice de $E$ . On note $I = \emptyset$ . On a ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille libre et $I \subseteq J$ . Donc il existe un ensemble $K$ tel que $I \subseteq K \subseteq J$ et ${(u_{k})}_{k \in K}$ soit une base de $E$ .

$□$

Corollaire 3.3. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel qui admet une famille génératrice ﬁnie. Alors, toute famille libre ﬁnie de $(E, +, ∙)$ s’étend en une base.

Preuve Soit $I, J$ deux ensembles ﬁnis tels que $I \cap J = \emptyset$ . Soit $(u_{i}) \in E^{I}$ une famille libre de $(E, +, ∙)$ et $(u_{j}) \in E^{J}$ une famille génératrice de $(E, +, ∙)$ . Par la propriété 2.4, la famille ${(u_{k})}_{k \in I \cup J}$ est une famille génératrice de $(E, +, ∙)$ . De plus, $I \cup J$ est un ensemble ﬁni. Donc d’après le théorème 3.2, il existe $K$ tel que $I \subseteq K \subseteq I \cup J$ et tel que ${(u_{k})}_{k \in K}$ soit une base de $E$ . Puis ${(u_{i})}_{i \in I}$ s’étend en une base du $𝕂$ -espace vectoriel $(E, +, ∙)$ .

$□$

Propriété 3.7. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel qui possède une famille génératrice de $n$ vecteurs, alors toute famille qui possède au moins $n + 1$ éléments de $E$ est liée.

Preuve On procède par l’absurde. On prends le plus petit entier $n \in ℕ$ tel qu’il existe un $𝕂$ -espace vectoriel, avec une famille génératrice de $n$ éléments et une famille libre d’au moins $n + 1$ éléments. Soit $(E, +, ∙)$ un tel $𝕂$ -espace vectoriel. Soient $I$ un ensemble, ${(u_{i})}_{i \in I}$ une famille libre d’éléments de $E$ et ${(v_{j})}_{1 \leq j \leq n}$ une famille génératrice de $E$ .

si $n = 0$ , alors $E = {0_{E}}$ , puis toutes les familles libres de $E$ sont vides ??.
si $n = 1$ , si $I$ possède au moins deux indices $i_{1}, i_{2}$ . Comme ${(v_{j})}_{j = 1}$ est une famille génératrice. Il existe $λ_{1}, λ_{2} \in 𝕂$ tels que $u_{i_{1}} = α ∙ v_{1}$ et $u_{i_{2}} = β ∙ v_{2}$ . Puis $α ∙ u_{i_{2}} - β ∙ u_{i_{1}} = 0_{E}$ . Donc $α = β = 0$ . Ce qui est absurde.

On suppose la propriété vraie pour

n_{0}

, on suppose maintenant que

n = n_{0} + 1

. Prenons un sous ensemble de

I

avec

n + 1

éléments, que l’on note

k_{1}, \dots, k_{n + 1}

.
Comme

{(v_{j})}_{1 \leq j \leq n}

est une famille génératrice, on peut choisir une famille

{(λ_{i, j})}_{1 \leq i \leq n + 1, 1 \leq j \leq n}

de scalaires de

𝕂

telle que pour tout

i

entre

1

n + 1

, on ait :

u_{k_{i}} = \sum_{1 \leq j \leq n} λ_{i, j} ∙ v_{j} .

Si tous les scalaires $λ_{i, j}$ étaient nuls. Alors on aurait $u_{1} = 0_{E}$ ce qui est absurde, par la propriété 3.7 et car la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ est libre.

Soit, donc,

i_{0}

entre

1

m

j_{0}

entre

1

n

tel que

λ_{i_{0}, j_{0}} \neq 0

.
La famille

{(u_{k_{i}})}_{1 \leq i \leq n + 1}

est libre.
Donc la famille

{(w_{i})}_{1 \leq i \leq n + 1}

où :

\{\begin{matrix} w_{i_{0}} = u_{k_{i_{0}}} \\ w_{i} = λ_{i_{0}, j_{0}} ∙ u_{k_{i}} - λ_{i, i_{0}} ∙ u_{i_{0}} & si i \neq i_{0} \end{matrix}

Puis, la famille libre ${(w_{i})}_{1 \leq i \leq n + 1, i \neq i_{0}}$ est dans l’espace engendré par ${(v_{j})}_{1 \leq j \leq n, j \neq j_{0}}$ .
Ce qui est absurde car on a formé un $𝕂$ -espace vectoriel avec une famille génératrice de $n - 1$ vecteurs et une famille libre d’au moins $n$ vecteurs.

□

Théorème 3.3. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel qui admet une famille génératrice ﬁnie. Alors toutes les bases de $(E, +, ∙)$ ont le même cardinal.

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel qui admet une famille génératrice ﬁnie. Soient $ℬ$ et $ℬ^{'}$ deux bases $(E, +, ∙)$ .

Comme $ℬ$ est une base, par la déﬁnition 3.1, elle est donc libre. Comme $E$ admet une famille génératrice ﬁnie, on en déduit par la propriété 3.7 que la famille $ℬ$ est ﬁnie. Avec le même raisonnement, nous déduisons que la famille $ℬ^{'}$ est ﬁnie.

De plus, par la déﬁnition 3.1, $ℬ$ est une famille libre dans $(E, +, ∙)$ et $ℬ^{'}$ est une famille génératrice de $(E, +, ∙)$ . Ainsi, comme $(E, +, ∙)$ admet une famille génératrice ﬁnie, par la propriété 3.7, $card (ℬ) \leq card (ℬ^{'})$ . Puis en remplaçant $ℬ$ par $ℬ^{'}$ et reciproquement, on obtient : $card (ℬ) = card (ℬ^{'})$ .

$□$

Déﬁnition 3.2. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel qui admet une famille génératrice ﬁnie. On dit que $(E, +, ∙)$ est de dimension ﬁnie et on appelle dimension de $(E, +, ∙)$ le cardinal des bases de $E$ .

Propriété 3.8. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension ﬁni égale à $n$ . Alors toute famille libre de $n$ élément est une base.

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension ﬁni égale à $n$ . Soit $I$ un ensemble de $n$ éléments et ${(u_{i})}_{i \in I}$ une famille libre de $(E, +, ∙)$ .
Donc , ${(u_{i})}_{i \in I}$ s’étend en une base de $(E, +, ∙)$ . Or d’après le théorème 3.3, le cardinal de cette base est égale à $n$ , il s’agit donc de ${(u_{i})}_{i \in I}$ . Ainsi ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une base.

$□$

Propriété 3.9. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension ﬁni égale à $n$ . Alors toute famille génératrice de $n$ élément est une base.

Preuve Soit $n \in ℕ$ un entier naturel et soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension ﬁni égale à $n$ .
Soit $I$ un ensemble de $n$ éléments et ${(u_{i})}_{i \in I}$ une famille génératrice de $(E, +, ∙)$ .
Par le corollaire 3.2, ${(u_{i})}_{i \in I}$ contient une base de $(E, +, ∙)$ . Or d’après le théorème 3.3, le cardinale de cette base est égale à $n$ . Il s’agit donc de la famille ${(u_{i})}_{i \in I}$ . Ainsi ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une base.

$□$

Propriété 3.10. Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $F$ un sous-espace vectoriels de $(E, +, ∙)$ . Si $E$ et $F$ sont de dimensions ﬁnies et égales. Alors $E = F$ .

Preuve Soit $(E, +, ∙)$ un $𝕂$ -espace vectoriel. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $(E, +, ∙)$ . On suppose que $E$ et $F$ sont de dimensions ﬁnies et égales.
Soit ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq dim F}$ une base de $F$ .
Puis, la famille ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq dim E}$ est une famille libre dans $(F, +_{| F}, ∙_{|})$ .
Puis, la famille ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq dim E}$ est une famille libre de $(E, +, ∙)$ .
C’est donc une famille libre avec $n$ éléments, donc, par la propriété 3.8, c’est une base de $E$ .
Ainsi ${(u_{i})}_{i \in I}$ est une famille génératrice de $E$ et de $F$ .
Puis $E = Vect ({u_{i} | i \in I})$ et $F = Vect ({u_{i} | i \in I})$ .
Puis $E = F$ .

$□$

Exemple 3.6. Le sous-espace de $(ℝ^{3}, \dot{+}, \dot{∙})$ engendré par l’ensemble ${(1, 1, 0), (2, 2, 0)}$ est dimension ﬁni égal à $1$ .

Exemple 3.7. Le sous-espace de $(ℝ^{3}, \dot{+}, \dot{∙})$ engendré par l’ensemble ${(1, 1, 0), (2, 1, 0)}$ est dimension ﬁni égal à $2$ .

Algorithme 3.1. Soient $n$ un entier positif dans $ℕ$ . Soit ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq n} \in {(𝕂^{n})}^{n}$ une famille de $n$ vecteurs de $𝕂^{n}$ . On note $u_{i, j}$ la $j$ -ième coordonnée du $i$ -ième vecteur de la famille ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq n}$ . L’algorithme suivant permet de décider si ${(u_{i})}_{1 \leq i \leq n}$ est libre, ou liée.
Prendre $p \leftarrow 0$ .

si $p = n$ alors la famille est une base.
si $p < n$ et si pour tout $k$ tel que $p < k \leq n$ , on ait $u_{k, p + 1} = 0$ alors la famille n’est pas une base.
sinon, prendre $k$ le plus petit entier strictement supérieur à $p$ tel que $u_{k, p + 1} \neq 0$ .
Multiplier le vecteur $u_{k}$ par l’inverse de $u_{k, p + 1}$ .
Soustraire à chaque vecteur $u_{k^{'}}$ pour $k^{'} \neq k$ le vecteur $u_{k}$ multiplié par $u_{k, p + 1}$ .
Permuter le vecteur $u_{p + 1}$ et $u_{k}$ .
Prendre $p \leftarrow p + 1$ .
Retourner à l’étape 1.

Preuve Toutes les transformations préservent le fait d’être une base. On peut montrer, par récurrence, qu’à l’étape 1 $u_{k, l} = 0$ pour tout $k, l$ tels que $k \neq l$ , $1 \leq k \leq p$ , $1 \leq l \leq n$ . Donc si $p = n$ , on reconnaît l’exemple 3.2. Si le test de la seconde étape échoue, la famille n’est pas génératrice, donc elle n’est pas une base. Enﬁn, toutes les étapes de transformation préservent le fait d’être une base.

$□$

Exemple 3.8. On utiliser l’algorithme 2.1 pour montrer que la famille $((1, 1, 0), (- 1, 1, 0), (1, 1, 1))$ est une base.

Preuve La famille $(\begin{matrix} (1, 1, 0) \\ (- 1, 1, 0) \\ (1, 1, 1) \end{matrix})$ est une base
si et seulement si la famille $(\begin{matrix} (1, 1, 0) \\ (0, 2, 0) \\ (0, 0, 1) \end{matrix})$ est une base (en utilisant les transformations $L_{2} \leftarrow L_{2} + L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ )
si et seulement si la famille $(\begin{matrix} (1, 1, 0) \\ (0, 1, 0) \\ (0, 0, 1) \end{matrix})$ est une base (en utilisant la transformation $L_{2} \leftarrow L_{2} ∕ 2$ )
si et seulement si la famille $(\begin{matrix} (1, 0, 0) \\ (0, 1, 0) \\ (0, 0, 1) \end{matrix})$ est une base (en utilisant la transformation $L_{1} \leftarrow L_{1} - L_{2}$ )
Or cette dernière famille est une base (c’est l’exemple 3.2).
Donc la famille $((1, 1, 0), (- 1, 1, 0), (1, 1, 1))$ est une base.

$□$

Exemple 3.9. On peut utiliser l’algorithme 2.1 pour montrer que la famille $((1, 1, 1), (- 1, 1, - 1), (2, 0, 2))$ n’est pas une base.

Preuve La famille $(\begin{matrix} (1, 1, 1) \\ (- 1, 1, - 1) \\ (2, 0, 2) \end{matrix})$ est une base
si et seulement si la famille $(\begin{matrix} (1, 1, 1) \\ (0, 2, 0) \\ (0, - 2, 0) \end{matrix})$ est une base (en utilisant les transformations $L_{2} \leftarrow L_{2} + L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 \cdot L_{1}$ )
si et seulement si la famille $(\begin{matrix} (1, 1, 1) \\ (0, 1, 0) \\ (0, - 2, 0) \end{matrix})$ est une base (en utilisant la transformation $L_{2} \leftarrow L_{2} ∕ 2$ )
si et seulement si la famille $(\begin{matrix} (1, 0, 1) \\ (0, 1, 0) \\ (0, 0, 0) \end{matrix})$ est une base (en utilisant la transformation $L_{1} \leftarrow L_{1} - L_{2}$ )
Or cette dernière famille n’est pas une base car elle n’est pas libre.
Donc la famille $((1, 1, 1), (- 1, 1, - 1), (2, 0, 2))$ n’est pas une famille génératrice, puis ce n’est pas une base.

$□$