Groupes et Espaces Vectoriels

Jérôme Feret
DIENS (INRIA,ÉNS,CNRS)

1–7 février 2016

1 Groupes

Définition 1.1. Un groupe est une paire (G,×) telle que G soit un ensemble, et × soit une loi interne associative sur G qui admet un élément neutre, et telle que tout élément de x soit inversible.

Définition 1.2. Un groupe (G,+) est dit abélien, si la loi + est commutative.

Notation 1.1. Lorsque (G,+) est un groupe abélien, l’élément neutre est souvent noté 0G et l’inverse d’un élément x est noté x.

2 Espaces vectoriels

Dans la suite, 𝕂 est soit l’ensemble , soit l’ensemble , soit l’ensemble .

2.1 Définition

Définition 2.1. Un 𝕂-espace vectoriel est un triplet (E,+,) tel que :

  1. (E,+) soit un groupe abélien, dont on note l’élément neutre 0E ;
  2. soit une loi externe de 𝕂 × E dans E ;
  3. pour tout λ,μ 𝕂, u,v E on ait :
    1. (λ + μ) u = (λ u) + (μ u) ;
    2. λ (u + v) = (λ u) + (λ v) ;
    3. λ (μ u) = (λ μ) u ;
    4. 1 u = u.

Propriété 2.1. Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel et soit u un élément de E. On a : 0 u = 0E.

Propriété 2.2. Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel, d’élément neutre 0E et soit λ un élément de 𝕂. On a : λ 0E = 0E.

Propriété 2.3. Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel et soit u un élément de E. On a : (1) u = u.

Propriété 2.4. Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel, soit u un élément de E, et soit λ un élément de 𝕂. Si λ u = 0E, alors u = 0E ou λ = 0.

2.2 Sous-espaces

Définition 2.2. Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel. On appelle sous-espace vectoriel de E tout sous-ensemble non vide F E, tel que :

  1. pour tout u,v F, (u + v)F ;
  2. pour tout u F, λ 𝕂, (λ u) F.

Propriété 2.5. Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel et soit F un sous-espace vectoriel de E. Alors F contient l’élément neutre 0E de la loi + définie sur E.

Propriété 2.6. Soit F un sous-espace vectoriel d’un 𝕂-espace vectoriel (E,+,). On note + |F la loi interne qui associe à une paire (u,v) d’éléments dans F, l’élément u + v, et .|F la loi externe qui associe à un scalaire λ 𝕂 et à un élément u F, l’élément λ u. Alors (F,+|F,.|F) est un 𝕂-espace vectoriel d’élément neutre 0E.

Propriété 2.7. Soit (E,+,) est un 𝕂-espace vectoriel. Soit I un ensemble non vide et soit (Ei)iI une famille de sous-espaces vectoriel de (E,+,) indexée par I.

Alors l’interection iIEi de tous les sous-espaces Ei est un sous-espace de (E,+,).