Groupes et Espaces Vectoriels

Jérôme Feret
DIENS (INRIA,ÉNS,CNRS)

1–7 février 2016

1 Groupes

Définition 1.1. Un groupe est une paire (G,×) telle que G soit un ensemble, et × soit une loi interne associative sur G qui admet un élément neutre, et telle que tout élément de x soit inversible.

Propriété 1.1. Un groupe est non vide.

Preuve En effet, il possède un élément neutre.


Définition 1.2. Un groupe (G,+) est dit abélien, si la loi + est commutative.

Notation 1.1. Lorsque (G,+) est un groupe abélien, l’élément neutre est souvent noté 0G et l’inverse d’un élément x est noté x.

Exemple 1.1. Un ensemble à un élément, x, est un groupe abélien pour la loi + définie par x + x=Δx.

Preuve

  1. + est associative.
  2. + est commutative.
  3. x est un élément neutre car pour tout y {x}, on a : y = x, puis y + x = x (par définition de +), d’où y + x = x.
  4. x est inversible et son inverse est x, car x + x = x (et x est l’élément neutre).

Exemple 1.2. Aucune des paires (,+), (,), (,), (,), ou (,) n’est un groupe.

Exemple 1.3. Les paires (,+), (,+), (,+) sont des groupes abéliens.

Exemple 1.4. Soit n un entier strictement positif. Soit (n,+) l’ensemble des entiers entre 0 et n 1 muni de l’addition modulo n, est un groupe. L’élément neutre est 0. De plus, pour tout entier i tel que 0 i < n, l’inverse de i est n i.

Exemple 1.5. Si A est un ensemble avec un ou deux éléments. La paire (Bij(A),), où Bij(A) est l’ensemble des bijections de A dans A, est un groupe abélien.

Exemple 1.6. Si A est un ensemble avec au moins trois éléments. La paire (Bij(A),), où Bij(A) est l’ensemble des bijections de A dans A est un groupe non abélien.

Preuve (On prouve à la fois les énoncés de l’exemple 1.5 et de l’exemple 1.6)
Soit A un ensemble non vide.

  1. La composée de deux bijections est une bijection. Donc est bien une loi interne sur Bij(A).
  2. La loi est associative, car pour toute f,g,h Big(A), [fg]h et f[gh] sont deux fonctions de A dans A, et, de plus, pour tout x A. [[fg] h](x) = f(g(h(x))) [[fg] h](x) = [f[gh]](x).

    Ainsi [f g]h = f[gh].

  3. La fonction identité IdA est un élément neutre.
  4. Soit f une bijection de A dans A.
    La fonction g de A dans A qui à y A associe l’unique antécédent de y par x est une bijection et g f = IdA et f g = IdA, donc f est inversible et son inverse est g.
  5. Supposons que A soit un singleton.
    Alors l’ensemble Bij(A) ne contient que la fonction identité. C’est donc un groupe abélien (Exemple 1.1).
  6. Supposons que A soit un ensemble à deux éléments distincts.
    On les note a et b.
    Il y a deux bijections, la fonction identité IdA et la fonction σ définie par σ(a)=Δb et σ(b)=Δa.

    Soient f et g deux bijections sur A.

    1. si f = g, on a : f g = g f.
    2. sinon, on peut supposer que f = IdA et g = σ,
      puis
      f g = IdA σ f g = σ f g = σ IdA f g = g f
  7. Supposons que A soit un ensemble avec au moins trois éléments.
    Notons a,b,c trois éléments distincts de A.
    Nous notons :
    f : A A a b b a x x si x{a,b} g : A A a c c a x x si x{a,b}

    f et g sont bien des bijections de A dans A.
    De plus, [f g](a) = f(g(a)) [f g](a) = f(c) [f g](a) = c.

    Et : [g f](a) = g(f(a)) [g f](a) = g(b) [g f](a) = b.

    Or, cb.
    D’où, f gg f.
    Puis n’est pas commutative sur Bij(A).


Proposition 1.1. Si (G,×) est un groupe d’élément neutre 𝜀G et tel que pour tout x G, x × x = 𝜀G, alors (G,×) est abélien.

Preuve Si (G,×) est un groupe d’élément neutre 𝜀G et tel que pour tout x G, x × x = 𝜀G.

  1. Soit x G.
    On a x̲ × x = 𝜀G et x ×x̲ = 𝜀G. Donc x1 = x.
  2. Soient x et y deux éléments de G.

    D’où, x × y = y × x.


2 Espaces vectoriels

Dans la suite, 𝕂 est soit l’ensemble , soit l’ensemble , soit l’ensemble .

2.1 Définition

Définition 2.1. Un 𝕂-espace vectoriel est un triplet (E,+,) tel que :

  1. (E,+) soit un groupe abélien, dont on note l’élément neutre 0E ;
  2. soit une loi externe de 𝕂 × E dans E ;
  3. pour tout λ,μ 𝕂, u,v E on ait :
    1. (λ + μ) u = (λ u) + (μ u) ;
    2. λ (u + v) = (λ u) + (λ v) ;
    3. λ (μ u) = (λ μ) u ;
    4. 1 u = u.

Exemple 2.1. (𝕂,+,) est un 𝕂-espace vectoriel.

Preuve

  1. (𝕂,+) est un groupe abélien ;
  2. est une loi de 𝕂 × 𝕂 dans 𝕂 ;
  3. pour tout λ,μ,u,u 𝕂, on a :
    1. (λ + μ) u = (λ u) + (μ u) ;
    2. λ (u + v) = (λ u) + (λ v) ;
    3. λ (μ u) = (λ μ) u ;
    4. 1 u = u.

Exemple 2.2. Soit n un entier et (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel. Le triplet (En,+.,.) où +. applique la loi + composante par composante et . applique la loi composante par composante, est un 𝕂-espace vectoriel.

Preuve

  1. Montrons que (En,+.) est un groupe abélien :
    Soient (ui)1in, (vi)1in, et (wi)1in trois familles à valeur dans E indexées par l’ensemble des entiers qui sont compris entre 1 et n.
    1. Montrons que +. est bien une loi interne.
      Pour 1 i n, on a : ui + vi E (car + est une loi interne sur E), ainsi (ui)1in+.(vi)1in est une famille à valeur dans E indexée par l’ensemble des entiers qui sont compris entre 1 et n.
      Puis +. est bien une loi interne.
    2. Montrons que +. est associative.
      Pour 1 i n, on a :
      (((ui )1in+.(vi)1in)+.(wi)1in)i = ((ui)1in+.(vi)1in)i + wi (par définition de +.) (((ui )1in+.(vi)1in)+.(wi)1in)i = (ui + vi) + wi (par définition de +.) (((ui )1in+.(vi)1in)+.(wi)1in)i = ui + (vi + wi) (car + est associative dans E) (((ui )1in+.(vi)1in)+.(wi)1in)i = ui + ((vi)1in+.(wi)1in)i (par définition de +.) (((ui )1in+.(vi)1in)+.(wi)1in)i = ((ui)1in+.((vi)1in+.(wi)1in))i (par définition de +.)

      Puis, ((ui)1in+.(vi)1in)+.(wi)1in = (ui)1in+.((vi)1in+.(wi)1in) et +. est associative.

    3. Montrons que +. est commutative.
      Pour 1 i n, on a :
      ((ui)1in+.(vi)1in)i = ui + vi (par définition de +.) ((ui)1in+.(vi)1in)i = vi + ui (car + est commutative dans E) ((ui)1in+.(vi)1in)i = ((vi)1in+.(ui)1in)i (par définition de +.)

      Puis, (ui)1in+.(vi)1in = (vi)1in+.(ui)1in et +. est commutative.

    4. Montrons que (0E)1in est un élément neutre :
      • On a : 0E E, puis, (0E)1in En.
      • Pour 1 i n, on a :
        ((ui)1in+.(0E)1in)i = ui + 0E (par définition de +.) ((ui)1in+.(0E)1in)i = ui (car 0E est neutre pour +. dans E)

        Puis, (ui)1in+.(0E)1in = (ui)1in.

      Donc (0E)1in est un élément neutre pour la loi +..

    5. Montrons que (ui)1in est l’inverse de (ui)1in :
      • Pour 1 i n, on a : ui E (car (E,+) est un groupe et u E), puis (ui)1in En.
      • Pour 1 i n, on a :
        ((ui)1in+.(ui)1in)i = ui + (ui) (par définition de +.) ((ui)1in+.(ui)1in)i = (0E)1ini (car  ui est l’inverse de ui)

        Puis, (ui)1in+.(ui)1in = (0E)1in.

      Donc (ui)1in est l’inverse de (ui)1in pour la loi +..

    Donc (En,+.) est un groupe abélien.

  2. Montrons que . est bien une loi externe.
    Pour 1 i n, on a : λ ui E (car est une loi de 𝕂 × E dans E), ainsi λ.(ui)1in est une famille à valeur dans E indexée par l’ensemble des entiers qui sont compris entre 1 et n.
    Puis . est bien une loi externe.
    1. Montrons que (λ + μ).(ui)1in = (λ.(ui)1in)+.(μ.(ui)1in) :
      Pour 1 i n, on a :
      ((λ + μ).(ui)1in)i = (λ + μ) ui (par définition de .) ((λ + μ).(ui)1in)i = (λ ui) + (μ ui) car (E,+,) est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3a) ((λ + μ).(ui)1in)i = (λ.(ui)1in)i + (μ.(ui)1in)i (par définition de .) ((λ + μ).(ui)1in)i = ((λ.(ui)1in)+.(μ.(vi)1in))i (par définition de +.)

      Donc (λ + μ).(ui)1in = (λ.(ui)1in)+.(μ.(ui)1in).

    2. Montrons que λ.((ui)1in+.(vi)1in) = (λ.(ui)1in)+.(λ.(vi)1in) :
      Pour 1 i n, on a :
      (λ . ((ui )1in+.(vi)1in))i = λ ((ui)1in+.(vi)1in)i (par définition de .) (λ . ((ui )1in+.(vi)1in))i = λ (ui + vi) (par définition de +.) (λ . ((ui )1in+.(vi)1in))i = (λ ui) + (λ vi) car (E,+,) est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3b) (λ . ((ui )1in+.(vi)1in))i = (λ.(ui)1in)i + (λ.(vi)1in)i (par définition de .) (λ . ((ui )1in+.(vi)1in))i = ((λ.(ui)1in)+.(λ.(vi)1in))i (par définition de +.)

      Donc λ.((ui)1in+.(vi)1in) = (λ.(ui)1in)+.(λ.(vi)1in).

    3. Montrons que λ.(μ.(ui)1in) = (λ μ).(ui)1in :
      Pour 1 i n, on a :
      (λ . (μ . ((ui)1in)))i = λ (μ.((ui)1in))i (par définition de .) (λ . (μ . ((ui)1in)))i = λ (μ ui) (par définition de .) (λ . (μ . ((ui)1in)))i = (λ μ) ui car (E,+,) est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3c) (λ . (μ . ((ui)1in)))i = ((λ μ).(ui)1in)i (par définition de .)

      Donc λ.(μ.(ui)1in) = (λ μ).(ui)1in.

    4. Montrons que 1.(ui)1in = (ui)1in :
      Pour 1 i n, on a :
      (1.(ui)1in)i = 1 ui (par définition de .) (1.(ui)1in)i = ((ui)1in)i car (E,+,) est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3d)

      Puis, 1.(ui)1in = (ui)1in.

Ainsi (En,+.,.) est un 𝕂-espace vectoriel.


Exemple 2.3. Soit A un ensemble et (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel. Alors ((A,E),+.,.) où (A,E) est l’ensemble des fonctions de A dans E, +. applique la loi + point à point, et . applique la loi point à point est un 𝕂-espace vectoriel.

Preuve

  1. Montrons que (EA,+.) est un groupe abélien :
    Soient f, g, et h trois fonctions de A dans E.
    1. Montrons que +. est bien une loi interne.
      Pour a A, on a : f(a) + g(a) E (car + est une loi interne sur E), ainsi f+.g est une fonction de A dans E.
      Puis +. est bien une loi interne.
    2. Montrons que +. est associative.
      Pour a A, on a :
      ((f+ . g)+ .h)(a) = (f+.g)(a) + h(a) (par définition de +.) ((f+.g)+.h)(a) = (f(a) + g(a)) + h(a) (par définition de +.) ((f+.g)+.h)(a) = f(a) + (g(a) + h(a)) (car + est associative dans E) ((f+.g)+.h)(a) = f(a) + (g+.h)(a) (par définition de +.) ((f+.g)+.h)(a) = (f+.(g+.h))(a) (par définition de +.)

      Puis, (f+.g)+.h = f+.(g+.h) et +. est associative.

    3. Montrons que +. est commutative.
      Pour a A, on a :
      (f+.g)(a) = f(a) + g(a) (par définition de +.) (f+.g)(a) = g(a) + f(a) (car + est commutative dans E) (f+.g)(a) = (g+.f)(a) (par définition de +.)

      Puis, f+.g = g+.f et +. est commutative.

    4. Montrons que [a A0E E] est un élément neutre :
      • On a : 0E E, puis, [a A0E E] EA.
      • Pour a A, on a :
        (f+.[a A0E E])(a) = f(a) + [a A0E E](a) (par définition de +.) (f+.[a A0E E])(a) = f(a) + 0E (f+.[a A0E E])(a) = f(a) (car 0E est neutre pour +. dans E)

        Puis, f+.[a A0E E] = f.

      Donc [a A0E E] est un élément neutre pour la loi +..

    5. Montrons que (.f) est l’inverse de f :
      • Pour a A, on a : on a (.f)(a) = f(a) et f(a) E (car (E,+) est un groupe et f(a) E), puis .f EA.
      • Pour a A, on a :
        (f+.(.f))(a) = f(a) + ((.f)(a)) (par définition de +.) (f+.(.f))(a) = f(a) + (f(a)) (par définition de .) (f+.(.f))(a) = 0E (car  f(a) est l’inverse de f(a)) (f+.(.f))(a) = [a A0E E](a)

        Puis, f+.(.f) = [a A0E E].

      Donc (.f) est l’inverse de f pour la loi +..

    Donc (EA,+.) est un groupe abélien.

  2. Montrons que . est bien une loi externe.
    Pour a A, on a : λ f(a) = E (car est une loi de 𝕂 × E dans E), ainsi λ.f est une fonction de A dans E.
    Puis . est bien une loi externe.
    1. Montrons que (λ + μ).f = (λ.f)+.(μ.f) :
      Pour a A, on a :
      ((λ + μ).f)(a) = (λ + μ) f(a) (par définition de .) ((λ + μ).f)(a) = (λ f(a)) + (μ f(a)) car (E,+,) est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3a) ((λ + μ).f)(a) = (λ.f)(a) + (μ.f)(a) (par définition de .) ((λ + μ).f)(a) = ((λ.f)+.(μ.g))(a) (par définition de +.)

      Donc (λ + μ).f = (λ.f)+.(μ.f).

    2. Montrons que λ.(f+.g) = (λ.f)+.(λ.g) :
      Pour a A, on a :
      (λ . (f+ . g))(a) = λ (f+.g)(a) (par définition de .) (λ . (f+ . g))(a) = λ (f(a) + g(a)) (par définition de +.) (λ . (f+ . g))(a) = (λ f(a)) + (λ g(a)) car (E,+,) est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3b) (λ . (f+ . g))(a) = (λ.f)(a) + (λ.g)(a) (par définition de .) (λ . (f+ . g))(a) = ((λ.f)+.(λ.g))(a) (par définition de +.)

      Donc λ.(f+.g) = (λ.f)+.(λ.g).

    3. Montrons que λ.(μ.f) = (λ μ).f :
      Pour a A, on a :
      (λ . (μ . (f)))(a) = λ (μ.(f))(a) (par définition de .) (λ . (μ . (f)))(a) = λ (μ f(a)) (par définition de .) (λ . (μ . (f)))(a) = (λ μ) f(a) car (E,+,) est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3c) (λ . (μ . (f)))(a) = ((λ μ).f)(a) (par définition de .)

      Donc λ.(μ.f) = (λ μ).f.

    4. Montrons que 1.f = f :
      Pour a A, on a :
      (1.f)(a) = 1 f(a) (par définition de .) (1.f)(a) = (f)(a) car (E,+,) est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3d)

      Puis, 1.f = f.

Ainsi (EA,+.,.) est un 𝕂-espace vectoriel.


Exemple 2.4. L’ensemble des fonctions de dans muni de l’addition point à point et de la multiplication point à point est un -espace vectoriel.

Preuve D’après l’exemple 2.1, (,+,) est un -espace vectoriel. Puis, par l’exemple 2.3, (,+.,.) est un -espace vectoriel.


Exemple 2.5. Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel. Alors (E,+.,.) où +. applique la loi + composante par composante, et . applique la loi composante par composante est un 𝕂-espace vectoriel.

Preuve

  1. Montrons que (E,+.) est un groupe abélien :
    Soient (un)n, (vn)n, et (wn)n trois suites d’entiers naturels.
    1. Montrons que +. est bien une loi interne.
      Pour n , on a : un + vn E (car + est une loi interne sur E), ainsi (un)n+.(vn)n est une suite d’entiers naturels.
      Puis +. est bien une loi interne.
    2. Montrons que +. est associative.
      Pour n , on a :
      (((un )n +.(vn)n)+.(wn)n)n = ((un)n+.(vn)n)n + wn (par définition de +.) (((un)n+.(vn)n)+.(wn)n)n = (un + vn) + wn (par définition de +.) (((un)n+.(vn)n)+.(wn)n)n = un + (vn + wn) (car + est associative dans E) (((un)n+.(vn)n)+.(wn)n)n = un + ((vn)n+.(wn)n)n (par définition de +.) (((un)n+.(vn)n)+.(wn)n)n = ((un)n+.((vn)n+.(wn)n))n (par définition de +.)

      Puis, ((un)n+.(vn)n)+.(wn)n = (un)n+.((vn)n+.(wn)n) et +. est associative.

    3. Montrons que +. est commutative.
      Pour n , on a :
      ((un)n+.(vn)n)n = un + vn (par définition de +.) ((un)n+.(vn)n)n = vn + un (car + est commutative dans E) ((un)n+.(vn)n)n = ((vn)n+.(un)n)n (par définition de +.)

      Puis, (un)n+.(vn)n = (vn)n+.(un)n et +. est commutative.

    4. Montrons que (0E)n est un élément neutre :
      • On a : 0E E, puis, (0E)n E.
      • Pour n , on a :
        ((un)n+.(0E)n)n = un + 0E (par définition de +.) ((un)n+.(0E)n)n = un (car 0E est neutre pour +. dans E)

        Puis, (un)n+.(0E)n = (un)n.

      Donc (0E)n est un élément neutre pour la loi +..

    5. Montrons que (un)n est l’inverse de (un)n :
      • Pour n , on a : un E (car (E,+) est un groupe et u E), puis (un)n E.
      • Pour n , on a :
        ((un)n+.(un)n)n = un + (un) (par définition de +.) ((un)n+.(un)n)n = (0E)nn (car  un est l’inverse de un)

        Puis, (un)n+.(un)n = (0E)n.

      Donc (un)n est l’inverse de (un)n pour la loi +..

    Donc (E,+.) est un groupe abélien.

  2. Montrons que . est bien une loi externe.
    Pour n , on a : λ un E (car est une loi de 𝕂 × E dans E), ainsi λ.(un)n est une suite d’entiers naturels.
    Puis . est bien une loi externe.
    1. Montrons que (λ + μ).(un)n = (λ.(un)n)+.(μ.(un)n) :
      Pour n , on a :
      ((λ + μ).(un)n)n = (λ + μ) un (par définition de .) ((λ + μ).(un)n)n = (λ un) + (μ un) car (E,+,) est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3a) ((λ + μ).(un)n)n = (λ.(un)n)n + (μ.(un)n)n (par définition de .) ((λ + μ).(un)n)n = ((λ.(un)n)+.(μ.(vn)n))n (par définition de +.)

      Donc (λ + μ).(un)n = (λ.(un)n)+.(μ.(un)n).

    2. Montrons que λ.((un)n+.(vn)n) = (λ.(un)n)+.(λ.(vn)n) :
      Pour n , on a :
      (λ . ((un )n+.(vn)n))n = λ ((un)n+.(vn)n)n (par définition de .) (λ . ((un )n+.(vn)n))n = λ (un + vn) (par définition de +.) (λ . ((un )n+.(vn)n))n = (λ un) + (λ vn) car (E,+,) est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3b) (λ . ((un )n+.(vn)n))n = (λ.(un)n)n + (λ.(vn)n)n (par définition de .) (λ . ((un )n+.(vn)n))n = ((λ.(un)n)+.(λ.(vn)n))n (par définition de +.)

      Donc λ.((un)n+.(vn)n) = (λ.(un)n)+.(λ.(vn)n).

    3. Montrons que λ.(μ.(un)n) = (λ μ).(un)n :
      Pour n , on a :
      (λ . (μ . ((un)n)))n = λ (μ.((un)n))n (par définition de .) (λ . (μ . ((un)n)))n = λ (μ un) (par définition de .) (λ . (μ . ((un)n)))n = (λ μ) un car (E,+,) est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3c) (λ . (μ . ((un)n)))n = ((λ μ).(un)n)n (par définition de .)

      Donc λ.(μ.(un)n) = (λ μ).(un)n.

    4. Montrons que 1.(un)n = (un)n :
      Pour n , on a :
      (1.(un)n)n = 1 un (par définition de .) (1.(un)n)n = ((un)n)n car (E,+,) est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3d)

      Puis, 1.(un)n = (un)n.

Ainsi (E,+.,.) est un 𝕂-espace vectoriel.


Propriété 2.1. Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel et soit u un élément de E. On a : 0 u = 0E.

Preuve Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel.
Soit u un élément de E.
On a :

0u = (0u) + 0E (car 0E est neutre) 0u = (0u) + ((0u) + ((0u))) (car  (0u) est l’inverse de 0u) 0u = ((0u) + (0u)) + ((0u)) (par associativité) 0u = ((0 + 0)u) + ((0u)) (Par la définition 2.1.(3a)) 0u = (0u) + ((0u)) 0u = 0E (car  (0u) est l’inverse de 0u)

Propriété 2.2. Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel, d’élément neutre 0E et soit λ un élément de 𝕂. On a : λ 0E = 0E.

Preuve Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel.
Soit λ un élément de 𝕂.

  1. Si λ = 0, alors, par la propriété 2.1, λ 0E = 0E ;
  2. Sinon.
    Soit u un élément de E.
    On a :
    λ0E + u = (λ0E) + (1u) (par la définition 2.1.(3d)) λ0E + u = (λ0E) + ((λ 1 λ) u) (car λ0) λ0E + u = (λ0E) + (λ (1 λ u)) (par la définition 2.1.(3c)) λ0E + u = λ(0E + (1 λu)) (par la définition 2.1.(3b)) λ0E + u = λ(1 λ u) (car 0E est neutre) λ0E + u = (λ 1 λ) u (par la définition 2.1.(3c)) λ0E + u = 1u λ0E + u = u (par la définition 2.1.(3d))

    Donc λ0E est un élément neutre.
    Puis λ0E = 0E.

Dans les deux cas, on a : λ0E = 0E.


Propriété 2.3. Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel et soit u un élément de E. On a : (1) u = u.

Preuve Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel.
Soit u un élément de E. On a :

u + ((1) u) = (1 u) + ((1) u) (par la définition 2.1.(3d)) u + ((1) u) = (1 + (1)) u (par la définition 2.1.(3a)) u + ((1) u) = 0 0E u + ((1) u) = 0E (par la propriété 2.1)

Donc (1)u est l’inverse de u.


Propriété 2.4. Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel, soit u un élément de E, et soit λ un élément de 𝕂. Si λ u = 0E, alors u = 0E ou λ = 0.

Preuve Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel.
Soit u un élément de E, et soit λ un élément de 𝕂. On suppose que λ u = 0E.

  1. Si λ = 0, alors u = 0E ou λ = 0.
  2. Si λ0, alors :
    u = 1 u (par la définition 2.1.(3d)) u = (1 λ λ)u (car λ0) u = 1 λ (λ u) (par la définition 2.1.(3c)) u = 1 λ 0E (car λ u = 0E) u = 0E (par la propriété 2.2).

    Puis u = 0E ou λ = 0.

Ainsi, dans les deux cas, on a : u = 0E ou λ = 0.


2.2 Sous-espaces

Définition 2.2. Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel. On appelle sous-espace vectoriel de E tout sous-ensemble non vide F E, tel que :

  1. pour tout u,v F, (u + v)F ;
  2. pour tout u F, λ 𝕂, (λ u) F.

Propriété 2.5. Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel et soit F un sous-espace vectoriel de E. Alors F contient l’élément neutre 0E de la loi + définie sur E.

Preuve Par la définition 2.2, F est non vide.
Soit u un élément de F.
Par la définition 2.2.(2), comme 1 𝕂 et u F, on a : (1) u F. Puis, par la définition, on a : 2.2.(1), u + (1) u F. Mais, par la propriété 2.3, on a : (1) u = u. Puis, par la définition 2.2.(2), on a : u + (u) F. Or comme E est un groupe, u + (u) = 0E, donc 0E F.


Propriété 2.6. Soit F un sous-espace vectoriel d’un 𝕂-espace vectoriel (E,+,). On note + |F la loi interne qui associe à une paire (u,v) d’éléments dans F, l’élément u + v, et .|F la loi externe qui associe à un scalaire λ 𝕂 et à un élément u F, l’élément λ u. Alors (F,+|F,.|F) est un 𝕂-espace vectoriel d’élément neutre 0E.

Preuve

  1. Montrons que (F,+|F) est un groupe abélien :
    Soient u, v, et w trois éléments de F.
    1. Montrons que + |F est bien une loi interne.
      On a : u + |Fv = u + |Fv par définition de + |F, or, u + v F (par définition 2.2.(1) et comme u F et v F), ainsi u + |Fv est une élément de F.
      Puis + |F est bien une loi interne.
    2. Montrons que + |F est associative.
      On a :
      ((u + |F v) + |Fw) = (u + |Fv) + w (par définition de  + |F) ((u + |Fv) + |Fw) = (u + v) + w (par définition de  + |F) ((u + |Fv) + |Fw) = u + (v + w) (car + est associative dans E) ((u + |Fv) + |Fw) = u + (v + |Fw) (par définition de  + |F) ((u + |Fv) + |Fw) = (u + |F(v + |Fw)) (par définition de  + |F)

      Puis, (u + |Fv) + |Fw = u + |F(v + |Fw) et + |F est associative.

    3. Montrons que + |F est commutative.
      On a :
      (u + |Fv) = u + v (par définition de  + |F) (u + |Fv) = v + u (car + est commutative dans E) (u + |Fv) = (v + |Fu) (par définition de  + |F)

      Puis, u + |Fv = v + |Fu et + |F est commutative.

    4. Montrons que 0E est un élément neutre :
      • D’après, la propriété 2.5, 0E E. puis, 0E F.
      • On a :
        (u + |F0E) = u + 0E (par définition de  + |F) (u + |F0E) = u (car 0E est neutre pour  + |F dans E)

        Puis, u + |F0E = u.

      Donc 0E est un élément neutre pour la loi + |F.

    5. Montrons que u est l’inverse de u :
      • On a u = (1) u, car u E, E est un 𝕂-espace vectoriel, et par la propriété 2.3. Puis comme 1 𝕂, et u F, par la définition 2.2.(2), on obtient : u F.
      • On a :
        (u + |Fu) = u + (u) (par définition de  + |F) (u + |Fu) = 0E (car  u est l’inverse de u)

        Puis, u + |F(u) = 0E.

      Donc u est l’inverse de u pour la loi + |F.

    Donc (F,+|F) est un groupe abélien.

  2. Montrons que |F est bien une loi externe.
    On a : λ |Fu = λ u par définition de |F, or, λ u F (par définition 2.2.(2) et comme u F et λ 𝕂), ainsi λ |Fu est une élément de F.
    Puis |F est bien une loi externe.
    1. Montrons que (λ + μ) |Fu = (λ |Fu) + |F(μ |Fu) :
      On a :
      ((λ + μ) |Fu) = (λ + μ) u (par définition de  |F) ((λ + μ) |Fu) = (λ u) + (μ u) car (E,+,) est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3a) ((λ + μ) |Fu) = (λ |Fu) + (μ |Fu) (par définition de  |F) ((λ + μ) |Fu) = ((λ |Fu) + |F(μ |Fv)) (par définition de  + |F)

      Donc (λ + μ) |Fu = (λ |Fu) + |F(μ |Fu).

    2. Montrons que λ |F(u + |Fv) = (λ |Fu) + |F(λ |Fv) :
      On a :
      (λ |F (u + |Fv)) = λ (u + |Fv) (par définition de  |F) (λ |F (u + |Fv)) = λ (u + v) (par définition de  + |F) (λ |F (u + |Fv)) = (λ u) + (λ v) car (E,+,) est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3b) (λ |F (u + |Fv)) = (λ |Fu) + (λ |Fv) (par définition de  |F) (λ |F (u + |Fv)) = ((λ |Fu) + |F(λ |Fv)) (par définition de  + |F)

      Donc λ |F(u + |Fv) = (λ |Fu) + |F(λ |Fv).

    3. Montrons que λ |F(μ |Fu) = (λ μ) |Fu :
      On a :
      (λ |F (μ |F(u))) = λ (μ |F(u)) (par définition de  |F) (λ |F (μ |F(u))) = λ (μ u) (par définition de  |F) (λ |F (μ |F(u))) = (λ μ) u car (E,+,) est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3c) (λ |F (μ |F(u))) = ((λ μ) |Fu) (par définition de  |F)

      Donc λ |F(μ |Fu) = (λ μ) |Fu.

    4. Montrons que 1 |Fu = u :
      On a :
      (1 |Fu) = 1 u (par définition de  |F) (1 |Fu) = (u) car (E,+,) est un espace vectoriel et par définition 2.1.(3d)

      Puis, 1 |Fu = u.

Ainsi (F,+|F,|F) est un 𝕂-espace vectoriel.


Propriété 2.7. Si (E,+,) est un 𝕂-espace vectoriel, alors {0E} et E sont deux sous-espaces vectoriels de E.

Preuve Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel.

  1. Montrons que {0E} est un sous-espace vectoriel de (E,+,).
    1. On a : 0E {0E} donc 0E est non vide.
    2. On a 0E E, donc {0E} E.
    3. Pour u,v {0E}, on a u = 0E et v = 0E. Puis, u + v = 0E + 0E. Or 0E est un élément neutre pour la loi + définie sur E, donc u + v = 0E. D’où u + v {0E}.
    4. Pour λ 𝕂 et u E, on a u = 0E. Puis λu = λ0E. Puis par la propriété 2.2, λ u = 0E. D’où, λ u {0E}.

    Donc {0E} est un sous-espace vectoriel de (E,+,).

  2. Montrons que E est un sous-espace vectoriel de (E,+,).
    1. On a : 0E E, donc E est non vide.
    2. On a E = E puis E E.
    3. Pour u,v E, on a u + v E car + est une loi interne.
    4. Pour u E et λ 𝕂, on a λ u E, car est une loi externe.

    Donc E est un sous-espace vectoriel de (E,+,).


Propriété 2.8. Soit (E,+,) est un 𝕂-espace vectoriel. Soit I un ensemble non vide et soit (Ei)iI une famille de sous-espaces vectoriel de (E,+,) indexée par I.

Alors l’interection iIEi de tous les sous-espaces Ei est un sous-espace de (E,+,).

Preuve Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel.
Soit I un ensemble non vide et soit (Ei)iI une famille de sous-espaces vectoriel de (E,+,) indexée par I.

Montrons que iIEi est un sous-espace vectoriel de (E,+,).

  1. Soit i I,

    On a 0E Ei (par la propriété 2.5).

    Donc 0E iIEi.

  2. Soit j un élément de l’ensemble I (car l’ensemble I est non vide).

    On a Ej E et iIEi Ej. Donc iIEi E.

  3. Soit u,v iIEi.
    Soit i I.
       On a : u Ei et v Ei, donc, par la définition 2.2.(1), on a : u + v Ei.
    Donc (u + v) iIEi.
  4. Soit λ 𝕂 et u F G.
    Soit i I.
       On a : u Ei et λ 𝕂, donc, par la définition 2.2.(2), on a : λ u Ei. Puis, (λ u iIEi.

Ainsi, iIEi est un sous-espace vectoriel de (E,+,).


Propriété 2.9. Il existe un espace vectoriel (E,+,) et deux sous-espaces vectoriels de (E,+,) tels que leur union ne soit pas un sous-espace vectoriel de (E,+,).

Preuve On se place dans (2,+.,.).
Montrons que les ensembles F et G définis par F=Δ{(x,0)|x et G=Δ{(0,y)|y } sont des sous-espaces vectoriels de (2,,+), mais F G n’est pas un sous-espace vectoriel de (2,+.,.).

    1. On a F 2.
    2. On a (0,0) F, donc F est non vide.
    3. Soient u,v F.
      Soient x,y tels que u = (x,0) et v = (y,0).
      On a : u+.v = (x + y,0 + 0).
      Puis, u+.v = (x + y,0).
      Donc u+.v F.
    4. Soient λ et u F.
      Soit x tel que u = (x,0).
      On a : λ.u = (λ x,λ 0).
      Puis λ.u = (λ u,0).
      Donc λ.u F.

    Donc F est un sous-espace vectoriel de (E,+.,.).

    1. On a G 2.
    2. On a (0,0) G, donc G est non vide.
    3. Soient u,v G.
      Soient x,y tels que u = (0,x) et v = (0,y).
      On a : u+.v = (0 + 0,x + y).
      Puis, u+.v = (0,x + y).
      Donc u+.v G.
    4. Soient λ et u G.
      Soit x tel que u = (0,x).
      On a : λ.u = (λ 0,λ x).
      Puis λ.u = (0,λ u).
      Donc λ.u G.
    5. On a : (1,0) F et (0,1) G. Donc (1,0) F G et (0,1) F G. On a : (1,0)+.(0,1) = (1,1), et (1,1)F et (1,1)G.
      Donc (1,1)F G. Donc F G n’est pas un sous-espace vectoriel de E.

    Donc G est un sous-espace vectoriel de (E,+.,.).


Exemple 2.6. 𝕂 et {0𝕂} sont les seuls sous-espaces vectoriels de (𝕂,+,).

Preuve

  1. Montrons que {0𝕂} est un sous-espace vectoriel de (𝕂,+,) :
    1. On a : 0𝕂 {0𝕂}, donc {0𝕂} est non vide.
    2. On a : 0𝕂 𝕂, donc {0𝕂} 𝕂.
    3. Soient u,v {0𝕂}.
      On a : u = 0𝕂 et v = 0𝕂.
      Puis, u + v = 0𝕂 + 0𝕂. D’où, u + v = 0𝕂.
      Puis, u + v {0𝕂}.
    4. Soient λ 𝕂 et u {0𝕂}.
      On a : u = 0𝕂.
      Puis, λ u = 0 0𝕂. D’où, en utilisant la propriété 2.2, λ u = 0𝕂.
      Puis, λ u {0𝕂}.

    Donc, {0𝕂} est un sous-espace vectoriel de (𝕂,+,).

  2. Montrons que 𝕂 est un sous-espace vectoriel de (𝕂,+,) :
    1. On a : 0𝕂 𝕂, donc 𝕂 est non vide.
    2. On a : 𝕂 = 𝕂, donc 𝕂 𝕂.
    3. Soient u,v 𝕂.
      Par la définition 2.1.(1), u + v 𝕂.
    4. Soient λ 𝕂 et u {0𝕂}.
      Par la définition 2.1.(2), λ u {0𝕂}.

    Donc, 𝕂 est un sous-espace vectoriel de (𝕂,+,).

  3. Soit F un sous-espace vectoriel de (𝕂,+,).
    Montrons que F = {0𝕂} ou F = {0𝕂} : Distinguonsdeuxcas :

    Ainsi {0𝕂} et 𝕂 sont les seuls sous-espaces vectoriels de (𝕂,+,).


Exemple 2.7. L’ensemble des fonctions continues de dans est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel ((),+.,.).

Preuve Montrons que l’ensemble des fonctions continues est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de dans .

  1. Une fonction continue de dans est bien une fonction de dans , donc 𝒞(, ) (, ).
  2. La fonction constante égale à zéro est une fonction continue de dans donc 𝒞(,).
  3. La somme, point à point, de deux fonctions continues de dans est une fonction continue de dans .
  4. Le produit externe, point à point, d’une fonction continue de dans par un scalaire dans est bien une fonction continue de dans .

Donc 𝒞(, ) est bien un sous-espace vectoriel de ((),+.,.)


Exemple 2.8. L’ensemble des suites réelles qui convergent est un sous-espace vectoriel de (,+.,.).

Preuve Montrons que l’ensemble des suites réelles qui convergent est un sous-espace vectoriel de -espace vectoriel.

  1. Une suite de qui converge est bien une suite de .
  2. La suite constance égale à zéro converge.
  3. La somme point à point de deux suites qui convergent, converge (vers la somme des deux limites).
  4. Le produit externe d’une suite qui converge par un scalaire par un scalaire, converge (vers le produit entre le scalaire et la limite de la suite).

Donc l’ensemble des suites réelles qui convergent est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel ((),+.,.).


Exemple 2.9. Si (E,+,.) est un 𝕂-espace vectoriel, alors l’ensemble des suites à valeur dans E qui stationnent est un sous-espace vectoriel de (E,+.,.).

Preuve Montrons que l’ensemble des suites réelles qui stationnent est un sous-espace vectoriel de -espace vectoriel.

  1. Une suite de qui stationne est bien une suite de .
  2. La suite constance égale à zéro stationne.
  3. Soit (un)n et (vn)n deux suites à valeur dans E, qui stationnent. Soit nu et nv deux entiers naturels tels que pour tout n > nu, un = unu et pour tout n > nv, vn = vnv. On a pour n > maxnu,nv, un + vn = unu + vnv. Donc la suite (un + vn)n stationne.
  4. Soit (un)n, une suite à valeur dans E, qui stationne. Soit λ 𝕂 un scalaire. Soit nu un entier naturel tel que pour tout n > nu, un = unu. On a pour n > nu, λ unu = λ un. Donc la suite (λ un)n stationne.

Donc l’ensemble des suites réelles qui stationnent est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel ((),+.,.).


Exemple 2.10. L’ensemble des couples de fonctions (x,y) de dans , telles que x et y soient dérivables et vérifient :

pour tout t , δx(t) δt = 2 x(t) 3 y(t) δy(t) δt = 3 x(t) 2 y(t),

est un espace vectoriel pour l’addition point à point composante par composante, et le produit externe point à point et composante par composante.

Montrons que l’ensemble des solutions dérivables du système :

pour tout t , δx(t) δt = 2 x(t) 3 y(t) δy(t) δt = 3 x(t) 2 y(t),

est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel des paires de fonctions de dans , muni de l’addition point à point et composante par composante, et du produit externe point à point et composante par composante.

  1. Une solution de ce système est bien une paire de fonction dérivable.
  2. La paire de fonction constante égale à 0 est solution.
  3. Soit (x1,y1) et (x2,y2) deux solutions. x1 et x2 sont deux fonctions dérivables. Donc x1+.x2 est une fonction dérivable. De même, y1+.y2 est une fonction dérivable.
    De plus, on a :
    δ(x1+ .x2)(t) δt = δx1(t) δt + δx2(t) δt δ(x1+ .x2)(t) δt = 2 x1(t) 3 y1(t) + 2 x2(t) 3 y2(t) δ(x1+ .x2)(t) δt = 2 (x1(t) + x2(t)) 3 (y1(t) + y2(t)) δ(x1+ .x2)(t) δt = 2 (x1+.x2)(t) 3 (y1+.y2)(t)

    et :

    δ(y1+ .y2)(t) δt = δy1(t) δt + δy2(t) δt δ(y1+ .y2)(t) δt = 3 x1(t) 2 y1(t) + 3 x2(t) 2 y2(t) δ(y1+ .y2)(t) δt = 3 (x1(t) + x2(t)) 2 (y1(t) + y2(t)) δ(y1+ .y2)(t) δt = 3 (x1+.x2)(t) 2 (y1+.y2)(t)

    Donc la paire (x1+.x2,y1+.y2) est une solution dérivable du système :

    pour tout t , δx(t) δt = 2 x(t) 3 y(t) δy(t) δt = 3 x(t) 2 y(t),
  4. Soit (x,y) une solution et λ un scalaire. x est une fonction dérivable. Donc λ.x est une fonction dérivable. De même, λ.y est une fonction dérivable.
    De plus, on a :
    δ(λ.x)(t) δt = λ x(t) δt δ(λ.x)(t) δt = λ (2 x(t) 3 y(t)) δ(λ.x)(t) δt = 2 (λ x(t)) 3 (λ y(t)) δ(λ.x)(t) δt = 2 (λ.x)(t) 3 (λ.y)(t)

    et :

    δ(λ.y)(t) δt = λ y(t) δt δ(λ.y)(t) δt = λ (3 x(t) 2 y(t)) δ(λ.y)(t) δt = 2 (λ x(t)) 2 (λ y(t)) δ(λ.y)(t) δt = 2 (λ.x)(t) 2 (λ.y)(t)

    Donc la paire (λ.x,λ.y) est une solution dérivable du système :

    pour tout t , δx(t) δt = 2 x(t) 3 y(t) δy(t) δt = 3 x(t) 2 y(t),

Donc l’ensemble des solutions dérivables du système :

pour tout t , δx(t) δt = 2 x(t) 3 y(t) δy(t) δt = 3 x(t) 2 y(t),

est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel des paires de fonctions de dans , muni de l’addition point à point et composante par composante, et du produit externe point à point et composante par composante.

2.3 Sous-espaces engendrés

Définition 2.3. Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel.
Soit (λi,ui)1in une famille finie de n couples dans 𝕂 × E.
On définit les sommes partielles Si pour 0 i n par :

S0 = 0E Sk = Sk1 + λk ukpour 1 k i

On appelle combinaison linéaire de la famille (ui)1in par les coefficients de la famille (λi)1in, le vecteur Sn E.

Preuve Par récurrence sur k compris entre 0 et n, on montre que la somme partielle Sk est bien définie et que Sk E.

Donc par récurrence, la somme Sn est bien définie et est un élément de E.


Notation 2.1. Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel.
On note :

i=1nλ i ui,

la combinaison linéaire de la famille (ui)1in par les coefficients de la famille (λi)1in.

Propriété 2.10. Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel, n un entier naturel, (ui)1in une famille d’éléments de E, (λi)1in une famille d’éléments de 𝕂, et σ une bijection de l’ensemble des entiers entre 1 et n dans lui-même.
Alors :

i=1nλ i ui = i=1nλ σ(i) uσ(i).

Preuve Par induction (longue preuve), en utilisant l’associativité et la commutativité de la loi +


Notation 2.2. Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel. Soit I un ensemble fini et (λi,ui)iI (𝕂 × E)I une famille de couple dans 𝕂 × E indexée par I. On note :

iIλiui=Δ k=1nλ σ(k)uσ(k).

où n est le cardinal de i, et σ une bijection de I dans {k|1 k n}.

Théorème 2.1. Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel. Soit A E une partie de E. Il existe un ensemble F tel que :

L’ensemble F est alors appelé le sous-espace de (E,+,) engendré par A.

Preuve On note 𝒢 l’ensemble des sous-espaces vectoriels de (E,+,) qui contiennent A. On sait que 𝒢 est non vide. En effet, par la propriété 2.7, E est un sous-espace de E et comme A E, on a E 𝒢. On définit 𝒢=Δ{u E|F 𝒢,u G}.

  1. Montrons que A 𝒢.
    Soit u A.
    Soit G 𝒢, par définition, on a : A G, donc u G.
    Puis u 𝒢.
  2. D’après la propriété 2.8, l’ensemble 𝒢 est un sous-espace de E.
  3. Soit G un autre sous-espace vectoriel de E contenant A. Montrons que 𝒢 G.
    Soit u 𝒢. Par définition, on a G𝒢, donc u G.
    Puis 𝒢 G.

Notation 2.3. Soit (E,+,.) un 𝕂-espace vectoriel et A une partie de E. Le sous-espace de (E,+,.) engendré par A est noté Vect(A).

Théorème 2.2. Soit (E,+,.) un 𝕂-espace vectoriel et A une partie de E. Alors :

Vect(A) = i=1nλ i ui n ,(ui)An,(λ i) 𝕂n .

Preuve On note F=Δ i=1nλi ui n ,(ui)An,(λi) 𝕂n. Montrons que F satisfait les hypothèses du théorème 2.1.

  1. Soit a A. Par la définition 2.1.(3d), on a a = 1 a. Posons, a1=Δ = a et λ1=Δ = 1. On a a = i{1}λi ai. Puis a F.
    Donc A F.
  2. Montrons que F est un sous-espace de (E,+,).
    1. On a 0E = i_ _. Donc F n’est pas vide.
    2. Soit u,u F. Soit n,n deux entiers, (λi)1in et (λi)1in deux familles de scalaires dans 𝕂 et (ui)1in et (ui)1in deux familles de vecteurs dans A, tel que u = i=1nλi ui et u = i=1n λi ui. Nous notons n=Δn + n. (λi)1in la famille de scalaires dans 𝕂 définie par :
      λi = λi si i n λinsinon,

      et (ui)1in la famille d’élément de A, définie par :

      ui = ui si i n uinsinon,

      On a, par associativité, i=1nλi ui + i=1n λi ui = i=1n λi ui. Puis u + u F.

    3. Soit λ 𝕂 un scalaire et soit u F un élément.
  3. Montrons maintenant que F le plus petit sous espace vectoriel de E qui contient A.

    Prennons G un sous-espace vectoriel de E qui contient l’ensemble A. Prennons u un élément de F. Nous voullons montrer que u est aussi un éléménet de G.

      

    -1cm-1cmSoit n un entier naturel, (λi)1in une famille de n scalaires dans 𝕂, et (ui)1in une famille de n vecteurs de A tel que u = i=1nλi ui.

    Montrons par récurrence que pour tout entier naturel k entre 0 et n, la combinaison linéaire i=1kλi ui est un élément de G.

    • Pour k = 0.

      Nous avons i=10λi ui = 0E et 0E G (d’après la propriété 2.5).

    • Supposons qu’il existe un entier k0 entre 0 et n 1 tel que i=1k0λi ui soit élément de G.

      Nous avons λk0+1 𝕂 et uk0+1 A.
      Or A G, donc λk0+1 𝕂 et uk0+1 G.
      Comme G est un sous-espace vectoriel, λk0+1 uk0+1 G.
      Puis comme G est un sous-espace vectoriel et que i=1k0λi ui, i=1k0λi ui + λk 0+1 uk0+1 G.

      Or i=1k0+1λi ui = i=1k0λi ui + λk 0+1 uk0+1.

      Donc i=1k0+1λi ui G.

    Ainsi par récurrence, la combinaison linéaire i=1nλi ui est un élément de G.

    Puis u G.

    Donc F G.

Remarque 2.1. Si F est un sous-espace vectoriel d’un 𝕂-espace vectoriel (E,+,), alors Vect(F) = F.

Preuve Soit (E,+,) un 𝕂-espace vectoriel.
Soit F un sous-espace vectoriel de E.

Puis Vect(F) = F.


Exemple 2.11. Si (E,+,) est un 𝕂-espace vectoriel, alors {0E} est le sous-espace de (E,+,) engendré par {0E} ; de plus, E est le sous-espace vectoriel engendré par E.

Preuve D’après la propriété 2.7, {0E} et E sont des sous-espaces vectoriels de (E,+,). Puis par la remarque 2.1, on a Vect({0E}) = {0E} et Vect(E) = E.


Exemple 2.12. Le sous-espace de (3,+.,.) engendré par {(1,0,0)} est {(λ,0,0)|λ }.

Preuve

  1. Montrons que {(λ,0,0)|λ }Vect({(1,0,0)}). Soit λ .
    On a : (λ,0,0) = λ.(1,0,0).
    Donc (λ,0,0) est une combinaison linéaire d’éléments de {(1,0,0)}.
    Puis, par le théorème 2.2, (λ,0,0) Vect({(1,0,0)}).
    D’où, {(λ,0,0)|λ }Vect({(1,0,0)}).
  2. Montrons que Vect({(1,0,0)}) {(λ,0,0)|λ }.
    Pour cela, il suffit de montrer que {(λ,0,0)|λ } est un sous-espace vectoriel de (3,+.,.) qui contient {(1,0,0)}.
    1. On a pour λ = 1, (λ,0,0) = (1,0,0), donc {(1,0,0)}{(λ,0,0)|λ }.
    2. Montrons que {(λ,0,0)|λ } est un sous-espace vectoriel de (3,+.,.).
      1. On a {(λ,0,0)|λ }, puisque (1,0,0) {(λ,0,0)|λ }.
      2. On a {(λ,0,0)|λ } .
      3. Soient u,v {(λ,0,0)|λ }.
        Soient λ,μ tels que u = (λ,0,0) et v = (μ,0,0).
        On a u+.v = (λ + μ,0,0) et λ + μ .
        D’où u+.v {(λ,0,0)|λ }.
      4. Soit u {(λ,0,0)|λ } et λ .
        Soit μ , tel que u = (μ,0,0).
        On a λ.u = (λ μ,0,0) et λ μ .
        D’où λ.u {(λ,0,0)|λ }.

      Donc {(λ,0,0)|λ } est un sous-espace vectoriel de (3,+.,.).

    Puis par le théorème 2.1, on a Vect({(1,0,0)}) {(λ,0,0)|λ }.

Puis Vect({(1,0,0)}) = {(λ,0,0)|λ }.


Exemple 2.13. Le sous-espace de (𝕂3,+.,.) engendré par {(1,1,0)} est {(λ,λ,0)|λ 𝕂}.

Preuve

  1. Montrons que {(λ,λ,0)|λ }Vect({(1,1,0)}). Soit λ .
    On a : (λ,λ,0) = λ.(1,1,0).
    Donc (λ,λ,0) est une combinaison linéaire d’éléments de {(1,1,0)}.
    Puis, par lé théorème 2.2, (λ,λ,0) Vect({(1,1,0)}).
    D’où, {(λ,λ,0)|λ }Vect({(1,1,0)}).
  2. Montrons que Vect({(1,1,0)}) {(λ,λ,0)|λ }.
    Pour cela, il suffit de montrer que {(λ,λ,0)|λ } est un sous-espace vectoriel de (3,+.,.) qui contient {(1,1,0)}.
    1. On a pour λ = 1, (λ,λ,0) = (1,1,0), donc {(1,1,0)}{(λ,λ,0)|λ }.
    2. Montrons que {(λ,λ,0)|λ } est un sous-espace vectoriel de (3,+.,.).
      1. On a {(λ,λ,0)|λ }, puisque (1,1,0) {(λ,λ,0)|λ }.
      2. On a {(λ,λ,0)|λ } .
      3. Soient u,v {(λ,λ,0)|λ }.
        Soient λ,μ tels que u = (λ,λ,0) et v = (μ,μ,0).
        On a u+.v = (λ + μ,λ + μ,0) et λ + μ .
        D’où u+.v {(λ,λ,0)|λ }.
      4. Soit u {(λ,λ,0)|λ } et λ .
        Soit μ , tel que u = (μ,μ,0).
        On a λ.u = (λ μ,λ μ,0) et λ μ .
        D’où λ.u {(λ,λ,0)|λ }.

      Donc {(λ,λ,0)|λ } est un sous-espace vectoriel de (3,+.,.).

    Puis par le théorème 2.1, on a Vect({(1,1,0)}) {(λ,λ,0)|λ }.

Puis Vect({(1,1,0)}) = {(λ,λ,0)|λ }.


Exemple 2.14. Le sous-espace de (𝕂3,+.,.) engendré par {(1,0,0),(0,1,0)} est {(λ,μ,0)|λ,μ 𝕂}.

Preuve

  1. Montrons que {(λ,μ,0)|λ,μ }Vect({(1,0,0),(0,1,0)}). Soit λ,μ .
    On a : (λ,μ,0) = λ.(1,0,0)+.μ.(0,1,0).
    Donc (λ,μ,0) est une combinaison linéaire d’éléments de {(1,0,0),(0,1,0)}.
    Puis, par le théorème 2.2, (λ,μ,0) Vect({(1,0,0),(0,1,0)}).
    D’où, {(λ,μ,0)|λ,μ }Vect({(1,0,0),(0,1,0)}).
  2. Montrons que Vect({(1,0,0),(0,1,0)}) {(λ,μ,0)|λ,μ }.
    Pour cela, il suffit de montrer que {(λ,μ,0)|λ,μ } est un sous-espace vectoriel de (3,+.,.) qui contient {(1,0,0),(0,1,0)}.
    1. On a pour λ = 1 et μ = 0, (λ,μ,0) = (1,0,0), donc {(1,0,0)}{(λ,μ,0)|λ,μ }.
    2. On a pour λ = 0 et μ = 1, (λ,μ,0) = (0,1,0), donc {(0,1,0)}{(λ,μ,0)|λ,μ }.
    3. Montrons que {(λ,μ,0)|λ,μ } est un sous-espace vectoriel de (3,+.,.).
      1. On a {(λ,μ,0)|λ,μ }, puisque (1,0,0) {(λ,μ,0)|λ,μ }.
      2. On a {(λ,μ,0)|λ,μ } .
      3. Soient u,u{(λ,μ,0)|λ,μ }.
        Soient λ,μ tels que u = (λ,μ,0).
        Soient λ,μ tels que u = (λ,μ,0).
        On a u+.u = (λ + λ,μ + μ,0) et λ + λ et μ + μ .
        D’où u+.u{(λ,μ,0)|λ,μ }.
      4. Soit u {(λ,μ,0)|λ,μ } et ν .
        Soit λ,μ , tel que u = (λ,μ,0).
        On a ν.u = (ν λ,ν μ,0) et ν λ et ν μ .
        D’où ν.u {(λ,μ,0)|λ,μ }.

      Donc {(λ,μ,0)|λ,μ } est un sous-espace vectoriel de (3,+.,.).

    Puis par le théorème 2.1, on a Vect({(1,0,0),(0,1,0)}) {(λ,μ,0)|λ,μ }.

Puis Vect({(1,0,0),(0,1,0)}) = {(λ,μ,0)|λ,μ }.


Exemple 2.15. Pour k , δk est la suite définie par :

δnk = 1si k = n δnk = 0 sinon

Le sous-espace de (𝕂,+.,.) engendré par les suites {δk|k } est l’ensemble des suites de 𝕂 qui stationnent en 0.

Preuve