%%% Début du préambule %%

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\title{Formulaire de d\'erivation matricielle}
\author{Ruocong Zhang  \and Marc Weber}

\newtheorem{prop}{Proposition}
%%% Fin du préambule %%%



%%% Début du document %%%
\begin{document}
%\maketitle

\thispagestyle{empty}
{
\begin{center}
\huge{Formulaire de d\'erivation matricielle}\\
\vspace{1cm}
\large
Marc Weber
\hspace{2cm}
Ruocong Zhang\\
\vspace{1cm}
Octobre 2009\\
\vspace{2cm}
\end{center}
}

D'autres formules plus g\'en\'erales peuvent se trouv\'ees ici:
\begin{itemize}
\item \url{http://www.cs.toronto.edu/~roweis/notes/matrixid.pdf}

\item \url{http://www.imm.dtu.dk/pubdb/views/edoc_download.php/3274/pdf/imm3274.pdf}

\end{itemize}

\begin{prop}
	\label{eq1}
	Soit $v \in \mathbb{R}^k$ et $a \in \mathbb{R}^k$
	\begin{equation*}
	\frac{\partial (v^{T}a)}{\partial v}=\frac{\partial (a^{T}v)}{\partial v}=a
	\end{equation*}
\end{prop}

\begin{prop}
	\label{eq2}
	Soit un vecteur $v \in \mathbb{R}^k$ et une matrice $M \in \mathbb{R}^{k \times k}:$
	\begin{equation*}
 	\frac{\partial (v^{T}Mv)}{\partial v}=(M+M^{T})v
	\end{equation*}
	En particulier, si M est symétrique, $M^{T}=M$ et
	\begin{equation*}
 	\frac{\partial (v^{T}Mv)}{\partial v}=2Mv
	\end{equation*}	
\end{prop}

\begin{prop}
	\label{eq3}
	Soit $M \in \mathbb{R}^{k \times k}:$
	\begin{equation*}
  		\frac{\partial (\log (\det(M)))}{\partial M}=M^{-1}
	\end{equation*}
\end{prop}

\begin{prop}
	\label{eq4}
	Soit $M \in \mathbb{R}^{k \times k}$ et $A \in \mathbb{R}^{k \times k}$ symétrique :
	\begin{equation*}
  	\frac{\partial (Tr(AM))}{\partial M}=A
	\end{equation*}
\end{prop}

\begin{prop}
	\label{eq5}
	Soit un vecteur $v \in \mathbb{R}^k$ et une matrice $M \in \mathbb{R}^{k \times k}$:
	\begin{equation*}
	\frac{\partial}{\partial v} \left(Mv\right)^\top\left(Mv\right)=2M^\top Mv
	\end{equation*}
\end{prop}

\end{document}